1、5从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积 内容要求1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)AOB 0180 同向 反向|b|cos|b|cos 知识点2向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，我们把 叫作a与b的数量积(或内积)，记作 ，即ab .(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影 的乘积，或b的长度 与a在b方向上投影 的乘积(3)物理意义：力对物体做功
2、，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积 .|a|b|cos ab|a|b|cos|b|cos|b|a|cos Fs|a|cos ab0 (5)运算律：交换律：ab .结合律：(a)b 分配律：a(bc).ba(ab)a(b)abac 答案A题型一数量积的基本概念【例1】下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影长其中正确的是_（填序号）解析由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a
3、，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错；对于，应有|a|b|ab，所以错；对于，应该是aaa|a|2a，所以错；对于，a2b22|a|b|2ab，故正确；对于，当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；对于，|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故错综上可知正确答案规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等【训练1】给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，
4、则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确答案题型二数量积的运算【例2】已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab，a(ab)解当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118，a(ab)a2ab91827.若a与b反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1)18，
5、a(ab)a2ab9189.规律方法(1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“”来连接而不能用“”连接，也不能省略(2)求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，分别求|b|和|a|.求它们的数量积，即ab|a|b|cos.【训练2】已知|a|3，|b|4，a与b的夹角120，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(ab)(ab)；(4)(a2b)(3ab)解(1)ab|a|b|cos 34cos 1206.(2)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|27.(3)(ab)(ab)a22abb2|a|22|a|b|cos|b|213.(4)(a2b)(3ab)3a25a
6、b2b225.方向1求向量的模【例31】已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|；(3)|(ab)(a2b)|.方向2求向量的夹角【例32】设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角方向3数量积的综合应用【例33】设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，向量e1与e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围规律方法1.求向量夹角时要注意：(1)当已知ab是非坐标形式时，需求得ab及|a|，|b|或它们之间的关系；(2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解(3)注意夹角的范围0，2对于a2|a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.解析因为|ab|a|b|cos|(为向量a与b的夹角)|a|b|cos|，当且仅当0或 时，使|ab|a|b|，故B错答案B答案C3若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.答案25已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？课堂小结1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)
