1、数数 列列 第一章第一章 2 等差数列等差数列 第一章第一章 第第1课时课时 等差数列的概念及通项公式等差数列的概念及通项公式 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会第一届现代奥 运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会 如因故不能举行，届数照算学了本节知识后，你将知道举行 奥运会的年份1896,1900,1904，构成一个等差数列，你运 用等差数列的知识，能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？ 你能写出
2、举行前30届奥运会的所有年份吗？2050应该举行奥运 会吗？ 1.等差数列 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的 _是_，我们称这样的数列为等差数列 2等差中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数 列，那么 A 叫做_ a与b的等差中项 差 同一个常数 3等差数列的判断方法 (1)要证明数列an是等差数列，只要证明：当 n2 时， _. (2)如果 an1a nan2 2 对任意的正整数 n 都成立，那么 数列an是_ (3)若 a，A，b 成等差数列，则 A_. 等差数列 anan1d(常数) ab 2 4等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为
3、_，它的推广 通项公式为_ 5等差数列的单调性 当 d0 时，an是_数列；当 d0 时，an 是_数列；当 d1)不是一个常数，而是一 个与n有关的变数 已知数列an的通项公式为anpn2qn(p，qR且p，q为 常数) (1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？ (2)求证：对任意的实数p和q，数列an1an是等差数 列 解析 (1)欲使an是等差数列，则an1anp(n1)2 q(n1)(pn2qn)2pnpq， q应是一个与n无关的常数， 所以只有2p0， 即p0时，数列an是等差数列 (2)证明：因为an1an2pnpq， 所以an2an12p(n1)pq. 而(an2an1
4、)(an1an)2p为一个常数， 所以an1an是等差数列. 在等差数列an中： (1)已知a51，a82，求a1与d； (2)已知a1a612，a47，求a9. 分析 根据等差数列的通项公式ana1(n1)d，由条 件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a1、d 等差数列的通项公式 解析 (1)由题意知 a151d1 a181d2 ， 解得 a15 d1 . (2)由题意知 a1a161d12 a141d7 ， 解得 a11 d2 . a9a1(91)d18217. 方法总结 (1)构成等差数列的基本量是 a1和 d，根据 已知条件列出关于 a1和 d 的方程组，求出 a1和 d，进而求出
5、 通项公式 ana1(n1)d (2)根据通项公式的变形公式为：aman(mn)d，m， nN，进一步变形为 da man mn ，应注意掌握对它的灵活应 用 已知数列an为等差数列，且a511，a85，求a11. 解析 解法一：设数列an的首项为 a1，公差为 d，由 等差数列的通项公式及已知，得 a14d11 a17d5 解得 a119 d2 . a1119(111)(2)1. 解法二：a8a5(85)d， da 8a5 85 511 3 2. a11a8(118)d53(2)1. 已知b是a，c的等差中项，且lg(a1)，lg(b 1)，lg(c1)成等差数列，同时abc15，求a，b，
6、c的值 分析 先由等差中项与条件等式解得b值，然后再利用等 差中项公式求解 等差中项的应用 解析 2bac，abc15，3b15，b5. 设等差数列 a，b，c 的公差为 d，则 a5d，c5d 由 2lg(b1)lg(a1)lg(c1)知 2lg4lg(6d)lg(4d) 从而 16(6d)(4d)， 即 d22d80. d4 或 d2. a，b，c 三个数分别为 1,5,9 或 7,5,3. 方法总结 (1)涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差 中项求解 (2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2anan1an 1；实际上，等差
7、数列中的某一项是与其等距离的前后两项的 等差中项，即2ananmanm(m、nN*，m0，d1， 故所求的四个数为2,0,2,4. 方法总结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化 计算一般的有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：，a 2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中 间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a 3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量 在1与7之间顺次插入三个数a、b、c，使这五个数成等 差数列，求此数列 解析 设这些数组成等差数列为an， 由已知a11，a57， 71(51)d，解得
8、d2， 所求数列为1,1,3,5,7. 易混易错点睛易混易错点睛 已知数列an中，a11，a22,2an12an 3(n2，nN*)，判断an是否是等差数列 误解 2an12an3，an1an3 2，故数列an 是等差数列 辨析 审题错误，没有注意条件 n2.当 n2 时，an 1an3 2，这说明这个数列从第二项起，后一项与前一项的 差为同一个常数， 而 a2a113 2.漏审条件而误认为是等差 数列 正解 当 n2 时，由 2an12an3，得 an1an3 2. 但 a2a113 2，故数列an不是等差数列 方法总结 a2a11，a3a23 2，不满足等差数列 的定义，故数列an不是等差数列 本节思维导图本节思维导图 等差数列 等差数列的概念 等差数列的概念 等差中项 等差数列的 通项公式 等差数列通项公式的推导 等差数列的通项公式变形 通项公式与一次函数关系 等差数列的设项法 等差数列的判定方法
