1、数数 列列 第一章第一章 3 等比数列等比数列 第一章第一章 第第3课时课时 等比数列的前等比数列的前n项和项和 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明 者，问他想要什么发明者说：“请在棋盘 的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒， 第 2 个格子 里放上 2 颗麦粒， 第 3 个格子里放上 4 颗麦 粒， 依次类推， 每个格子里放的麦粒数都是 前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子请给我足 够的麦
2、粒以实现上述要求”国王觉得这个要求不高，就欣然 同意了假定千粒麦子的质量为 40g，据查，目前世界年度小 麦产量约 6 亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺 言要解决这个问题就需要学习本节的等比数列的前 n 项和. 1.等比数列前n项和公式 (1)等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn _；当q1时，Sn_. (2)推导等比数列前n项和公式的方法是_ a11qn 1q a1anq 1q na1 错位相减法 2等比数列前 n 项和公式与函数的关系 (1)当公比 q1 时， 令 A a1 1q， 则等比数列的前 n 项和公 式可写成 Sn_的形式由此可见，非常数列的等比数 列的前
3、 n 项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成 的，而指数式的系数与常数项互为_ 当公比 q1 时，因为 a10，所以 Snna1是 n 的 _(常数项为 0 的一次函数) (2)当 q1 时，数列 S1，S2，S3，Sn，的图像是函数 _图像上的一群孤立的点当 q1 时，数列 S1，S2， S3，Sn，的图像是正比例函数_图像上的一群孤 立的点 AqnA 相反数 正比例函数 yAqxA ya1x 1.等比数列an中，an2n，则它的前n项和Sn( ) A2n1 B2n2 C2n11 D2n12 答案 D 解析 等比数列an的首项为 2，公比为 2. Sna 11q n 1q 2
4、12 n 12 2n 12，故选 D 2已知等比数列的首项为2，公比为1，则前99项之和 是( ) A0 B2 C2 D198 答案 C 解析 S99211 99 11 2. 3等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和为 ( ) A81 B120 C168 D192 答案 B 解析 公式 q3a5 a2 243 9 27，q3，a1a2 q 3， S4313 4 13 120. 4已知等比数列的前n项和Sn4na，则a( ) A4 B1 C0 D1 答案 B 解析 解法 1：设等比数列为an，由已知得 a1S14 a，a2S2S112， a3S3S248，a2 2a1 a3， 即
5、144(4a)48，a1. 解法 2： 数列an是非常数列的充要条件是前 n 项和公式为 SnAqnA，由此可见 a1. 5若数列an满足a11，an12an(nN )，则a5 _；前8项的和S8_.(用数字作答) 答案 16 255 解析 数列an为等比数列，qa n1 an 2，a5a1 q4 12416. S812 8 12 281255. 课堂典例讲练课堂典例讲练 等比数列前n项和公式的基本运算 在等比数列an中， (1)S230，S3155，求 Sn； (2)a1a310，a4a65 4，求 S5； (3)a1an66，a2an1128，Sn126，求 q； (4)S33a3，求 q
6、. 分析 根据条件列方程组，然后再求所要求的量 解析 (1)由题意知 a11q30， a11qq2155， 解得 a15， q5 或 a1180， q5 6， 从而 Sn1 45 n15 4或 Sn 1 08015 6 n 11 . (2)方法一：由题意知 a1a1q210， a1q3a1q55 4， 解得 a18， q1 2， 从而 S5a 11q 5 1q 31 2 . 方法二：由(a1a3)q3a4a6，得 q31 8，从而 q 1 2. 又 a1a3a1(1q2)10， 所以 a18， 从而 S5a 11q 5 1q 31 2 . (3)因为 a2an1a1an128， 所以 a1，a
7、n是方程 x266x1280 的两根 从而 a12， an64 或 an2， a164. 又 Sna 1anq 1q 126， 所以 q2， n6 或 q1 2， n6， 所以 q 为 2 或1 2. (4)当 q1 时，S33a13a3，显然成立 当 q1 时，由已知得a 11q 3 1q 3a1q2， 化简得 2q2q10，q1 2，q1(舍) 综上知 q1 或 q1 2. 方法总结 (1)在等比数列中，对于 a1，an，q，n，Sn五 个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量 (2)等比数列前 n 项和问题，必须注意 q 是否等于 1，如果 不确定，应分 q1 或 q1 两种情况讨论 (
8、3)等比数列前 n 项和公式中，当 q1 时，若已知 a1，q， n 利用 Sna 11q n 1q 来求；若已知 a1，an，q，利用 Sna 1anq 1q 来求 在等比数列an中，S37 2，S6 63 2 ，求 an. 解析 S62S3， q1， 又S37 2，S6 63 2 ， a11q3 1q 7 2， a11q6 1q 63 2 ， 整理，得 1q39， 解得 q2. 将 q2 代入a 11q 3 1q 7 2，得 a1 1 2， 故 ana1qn 12n2. 等比数列前n项和公式与函数关系 已知等比数列an的公比为 q，且有 1q3a1， 求an的前 n 项和 分析 由题意，知
9、公比为 q 的取值未定，所以需分情况 讨论， 又知道q与a1的关系， 所以可考虑利用公式Sn a1 1q q n a1 1q求解an的前 n 项和 解析 由题意得，等比数列an的公比 q 的取值未定，需 分情况讨论 当 q1 时，由于 3a11q0， 即 a10，与an是等比数列矛盾， q1， 即 a1 1q 1 3. 又等比数列前 n 项和公式为 Sn a1 1q q n a1 1q， Sn1 3q n1 3. 若an是等比数列， 前 n 项和 Sn2n1， 则 a2 1a 2 2a 2 3 a2 n( ) A(2n1)2 B1 3(2 n1)2 C4n1 D1 3(4 n1) 答案 D 解
10、析 Sn2n1，an是首项为 1，公比为 2 的等比 数列，则a2 n是首项为 1，公比为 4 的等比数列，故 a 2 1a 2 2a 2 3 a2 n14 n 14 1 3(4 n1). 等比数列前n项和公式的实际应用 从社会效益和经济效益出发， 某地投入资金进行 生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少1 5，本年度当地旅游业收 入估计 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今 后的旅游业收入每年会比上年增加1 4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总 收入为 bn万元，写出表达式； (2)至少经
11、过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解析 (1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800(1 1 5)万元，第 n 年的投入为 800(1 1 5) n1 万元 所以， n 年内的总投入为： an800800(11 5)800(1 1 5) n14 0004 000(4 5) n(万元)； 第一年旅游业收入为 400 万元， 第二年旅游业收入为 400(11 4)万元， 第 n 年旅游业收入为 400(11 4) n1 万元 所以 n 年内的旅游业总收入为 bn400400(11 4)400(1 1 4) n1 1 600(5 4) n1 600(万元) (2)设至少经过 n 年旅游
12、业的总收入才能超过总投入，由此 bnan0， 即 1 600(5 4) n1 6004 0004 000(4 5) n0， 化简得 2(5 4) n5(4 5) n70， 设(4 5) nx，代入上式得 5x27x20. 解此不等式，得 x1(舍去)， 即(4 5) n2 5，由此得 n5. 答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入 国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩，2014 年底西部 已退耕还林的土地面积为 515 万亩，以后每年退耕还林的面积 按 12%递增 (1)试问从 2014 年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕 还林计划？(1.1282.476,1.1272.2
13、11)(精确到年) (2)为支持退耕还林工作，国家财政从 2015 年起补助农民 当年退耕地每亩 300 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元折算，并且补 助当年退耕地每亩 20 元试问：西部完成退耕还林计划，国家 财政共需支付多少亿元？(精确到亿元) 解析 设从 2014 年底起以后每年的退耕还林的土地依次 为 a1，a2，a3，an，万亩则 (1)a1515(112%)，a2515(112%)2，an515(1 12%)n， Sna1a2an51510.1211.12 n 11.12 6 370515 5151.12(1.12n1)5 8550.12 1.12n2.22， n7. 故到 2021
14、 年底西部地区才能完成退耕还林计划 (2)设财政补助费为 W 亿元 则 W(3000.720)(6 370515)10 4 134.6(亿元) 所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付 134.6 亿 元. 等比数列前n项和公式的应用 在数列an中，a12，an14an3n1，nN . (1)证明数列ann是等比数列； (2)求数列an的前 n 项和 Sn. 分析 证明一个数列是等比数列常用定义法，第二问可 运用分组求和求解 解析 (1)证明：由题设 an14an3n1， 得 an1(n1)4(ann)，nN. 又 a111，所以数列ann是首项为 1，且公比为 4 的 等比数列 (2)由(
15、1)可知 ann4n 1，于是数列a n的通项公式为 an 4n 1n.所以数列a n的前 n 项和 Sn4 n1 3 nn1 2 . 方法总结 数列an由一个等差数列与一个等比数列组 合而成，因此，求和时可分别对等差数列、等比数列求和再相 加 已知等差数列an，a29，a521. (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn2an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设等差数列an的公差为 d，由 a29，a521， 得 a1d9， a14d21， 解得 a15， d4. 数列an的通项公式为 an5(n1)44n1. (2)由 an4n1，得 bn2an24n 1， 数列bn是首
16、项为 b12532， 公比 q2416 的等比数 列 于 是 得 数 列 bn 的 前 n 项 和 为 Sn 25124n 124 3224n1 15 . 易混易错点睛易混易错点睛 求数列 1， aa2， a3a4a5， a6a7a8a9， 的前 n 项和 误解 所求数列的前 n 项和 Sn1aa2a3 ann1 2 1 1ann1 2 1a . 辨析 所给数列除首项外，每一项都与 a 有关，而条件 中没有 a 的范围，故应对 a 进行讨论 正解 由于所给数列是在数列 1，a，a2，a3，中依次取 出 1 项，2 项，3 项，4 项，的和所组成的数列因而所求 数列的前 n 项和中共含有原数列的前(12n)项所以 Sn 1aa2ann1 2 1.当 a0 时，Sn1.当 a1 时，Snnn1 2 .当 a0 且 a1 时，Sn 1ann1 2 1a . 本节思维导图本节思维导图 等比数列 的前n项和 等比数列前n项和公式Sn na1，q1 a11qn 1q ，q1 等比数列前n项和公式与函数的关系
