1、 1.不等式理论的应用主要体现在如下几个方面不等式理论的应用主要体现在如下几个方面: （1）运用不等式研究函数问题（定义域）运用不等式研究函数问题（定义域,值域值域,最值最值,单调性）单调性）; （2）运用不等式研究方程解的问题）运用不等式研究方程解的问题; （3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.诸如方程的根诸如方程的根 分布问题分布问题,解集之间的包含关系解集之间的包含关系,解析几何中的范围问题等等解析几何中的范围问题等等. 2.不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产, 科研和日常生活中的问题科研和
2、日常生活中的问题. 特别警示特别警示:【1】运用不等式求最值运用不等式求最值,要注意公式成立的三个要注意公式成立的三个 条件条件,如果取等号的条件不成立如果取等号的条件不成立,就要考虑用函数的单调性来解就要考虑用函数的单调性来解 决决. 【2】解决取值范围问题时解决取值范围问题时,要注意主变量要注意主变量,参变量的分离参变量的分离, 并注意区别恒成立并注意区别恒成立,存在性问题的区别存在性问题的区别 【3】应用不等式解应用题时应用不等式解应用题时,应弄清题意根据题意列出不应弄清题意根据题意列出不 等式或函数式等式或函数式,再利用不等式的知识求解再利用不等式的知识求解.为此为此,解应用题要解应用
3、题要 过四关过四关:首先是首先是阅读关阅读关,即读懂题目即读懂题目,能够概括出问题涉及能够概括出问题涉及 哪些内容哪些内容;其次是其次是理解关理解关,即能准确理解和把握这些量之即能准确理解和把握这些量之 间的关系间的关系;然后建立数学模型然后建立数学模型,再讨论不等关系再讨论不等关系;最后得出最后得出 结论结论. 本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题: 例例1某住宅小区为了使居民有一个舒适的生活环某住宅小区为了使居民有一个舒适的生活环 境境,计划建一个八边形的休闲小区计划建一个八边形的休闲小区,它的主体构造它的主体构造 的平面图形是由两个
4、矩形的平面图形是由两个矩形ABCD,EFGH构成的面构成的面 积为积为200平方米的十字架地域现计划在正方形平方米的十字架地域现计划在正方形 上建造一花坛造价为上建造一花坛造价为4200元平米，元平米， 在四个相同的矩形上（阴影）铺花岗地坪，造价在四个相同的矩形上（阴影）铺花岗地坪，造价 为为210元平米，在四个空角铺草坪，造价为元平米，在四个空角铺草坪，造价为80 元平米元平米 （）设总造价为（）设总造价为S元，元，AD的边长为的边长为X（m）试建立）试建立S关关 于于X的函数关系式；的函数关系式； （）计划至少要投资多少元，才能建造这个休闲小区？（）计划至少要投资多少元，才能建造这个休闲小
5、区？ 分析分析： 解：（）设解：（）设AM=y则则 2 2 200 4200, 4 x xxyy x - += () 22 2 2 1 4200210480 2 400000 380004000010 2 Sxxyy xx x =+? =+ （2） 28 2 400000 380004000380002 16 10 118000 Sx x =+? = 当且仅当当且仅当 2 2 400000 4000x x = 答：计划至少要投资答：计划至少要投资11.8万元才能建造这样的休闲小区万元才能建造这样的休闲小区 即即 时时 10x=( ) min 118000S=元 例例2、甲、乙两电脑批发商每次在
6、同一电脑耗材厂甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂 以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次， 每次的芯片价格不同，甲公司每次购每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙片芯片，乙 公司每次购公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪家公司平均元芯片，两次购芯片，哪家公司平均 成本低？请给出证明过程。成本低？请给出证明过程。 分析：分析： 设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，列元，列 出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等式知识论证。出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等式
7、知识论证。 解：解： 设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，元， , 220000 10000 片元的平均价格为那么甲公司两次购芯片 baba , 11 2 1000010000 20000 片元均价格为乙公司两次购芯片的平 baba , 2 故等号不成立不相等由于baab ba abbaba 211 2 11 又 ab ba 11 2 答：乙答：乙 公司平均成本较低。公司平均成本较低。 例3、某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案，某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案， 租用起步价租用起步价a元，每千米价为元
8、，每千米价为b元的出租车；第二种方案，起步价为元的出租车；第二种方案，起步价为c(c0 y x ay ax myy xya 即, 0故采光条件变好了。故采光条件变好了。 例5 A P B H b a 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生 的水平视线上方的水平视线上方a米和米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角 最大？最大？ 则学生看黑板的视角为其中 的夹角分别为水平视线 下边缘与学生的黑板上米距黑板设学生解 , , ,: BPHAPHPH xP ,tan,tan由此可得由 x b
9、 x a x ab x ba x ab x b x a 2 1 tantan1 tantan tan ,tan,22最大时当且仅当因为abxab x ab x x ab x ,为锐角由于,最大此时 .时看黑板的视角最大即学生距墙壁 ab 例例6、 某县一中计划把一块边长为某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形米的等边三角形ABC的边角地辟为的边角地辟为 植物新品种实验基地，图中植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，需把基地分成面积相等的两部分，D在在AB 上，上，E在在AC上。上。 （1） 设设AD=x(x10)，ED=y，试用，试用x表示表示y的函数关系式；的函数关系
10、式； （2） 如果如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应的位置又应 该在哪里？说明现由。该在哪里？说明现由。 分析 分析要求要求y与与x的函数关系式，就是找出的函数关系式，就是找出 DE与与AD的等量关系。的等量关系。 （1）三角形）三角形ADE中角中角A为为600 故由余弦定理可得故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。三者关系。 ABCADE SS 2 1 （2） 解：（解：（I）ABC的边长为的边长为20米，米
11、，D在在AB上，则上，则10x20。 220 4 3 2 1 60sin 2 1 2 1 AExSs ABCADE 则则 . 200 x AE 在三角形在三角形ADE中，由余弦定理得：中，由余弦定理得： )2010(200 104 2 4 2 x x xy (2)若若DE做为输水管道，则需求做为输水管道，则需求y的最小值的最小值 ,210 104 ,210200400200 104 2 4 2 2 4 2 时即 当且仅当 x x x x xy 若若DE做为参观线路，须求做为参观线路，须求y的最大值。的最大值。 200 104 ,400,100 4 2 t tytx令令 设设 ,400100, 104 )( 21 4 tt t ttf任取 21 4 21 21 2 4 2 1 4 121 104 )() 104 () 104 ()()( t t t t tt t t t ttftf 当当100t1f(t2)， 则则f(t)在在100，200上是减函数。上是减函数。 当当200t1f（x）min， ，而在 而在xa,b 时，时，mf（x）恒成立，则需要）恒成立，则需要mf（x）max。 。 如如P195（P144例例3）
