1、数数 列列 第一章第一章 3 等比数列等比数列 第一章第一章 第第4课时课时 等比数列的综合应用等比数列的综合应用 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 如今手机越来越普遍，大街小巷都可看到手机的风采，用手 机发送信息传达情谊也成为年轻人的 时尚一条温馨的信息会带给我们无 穷的温暖一条信息，一种关怀，设 想一人收到某信息后用 10 分钟将它 传给两个人，这两 个人又用 10 分钟将此信息各传给未知此信 息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给 多
2、少人？ 1用错位相减法求数列的前 n 项和 如果数列an是等差数列， 公差为 d； 数列bn是等比数列， 公比为 q，则求数列anbn的前 n 项和就可以运用_ 方法如下： 设 Sna1b1a2b2a3b3anbn. 当 q1 时，bn是常数列， Snb1(a1a2a3an)nb 1a1an 2 ； 错位相减法 当 q1 时，则： _qa1b1qa2b2qa3b3qanbn a1b2a2b3an1bnanbn1， (1q)Sna1b1b2(a2a1)b3(a3a2)bn(anan1) anbn1 a1b1d b1 q1qn 1 1q anbn1. Sn a1b1b 1dq1q n1 1q an
3、bn1 1q . qSn 2等比数列前 n 项和性质 (1)数列an为等比数列，Sn为其前 n 项和，则 Sn，S2nSn， S3nS2n，仍构成_(Sn0) (2)若某数列前 n 项和公式为 Snan1(a0，a 1，n N)，则an成_ (3)若数列an是公比为 q 的等比数列，则 Snm_. 在等比数列中，若项数为 2n(nN)，则S 偶 S奇_. 等比数列 等比数列 SnqnSm q 1.已知等比数列an中， an23n 1， 则由此数列的偶数项 所组成的新数列的前 n 项和为( ) A3n1 B3(3n1) C1 4(9 n1) D3 4(9 n1) 答案 D 解析 a26，q9，
4、S n619 n 19 3 4(9 n1) 2等比数列an的前 n 项和 Sn1 3 2 n1a，则 a 的值为 ( ) A1 3 B1 6 C1 6 D1 3 答案 B 解析 Sn1 3 2 n1a1 6 2 na， 又SnAqnA， a1 6. 3等比数列an的公比为1 2，且 S31，则 S6 等于( ) A 9 16 B9 8 C16 9 D27 8 答案 B 解析 q1 2，S3 a1 1 1 2 3 11 2 2a1 11 8 7 4a11， a14 7. S6 4 7 1 1 2 6 11 2 8 7 1 1 64 9 8. 4若等比数列an的前n项和Sn2n1r，则r的值为 _
5、 答案 2 解析 解法一：a1S14r， a2S2S18r4r4， a3S3S216r8r8， 又an为等比数列， a2 2a1a3， 168(4r)， r2. 解法二：Sn2n1r22nr， 数列an为等比数列， SnAqnA22nr， r2. 5设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1， Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_ 答案 2 解析 Sn1，Sn，Sn2成等差数列， 2SnSn1Sn2 (Sn1Sn)(Sn2Sn)0， an1an1an20， 2an1an2， a n2 an12， q2. 课堂典例讲练课堂典例讲练 与前n项和有关的等比数列的性质问题 各项都是正实数的等比
6、数列an， 前 n 项的和记 为 Sn，若 S1010，S3070，则 S40等于( ) A150 B200 C150 或200 D400 或50 答案 A 分析 本题思路较为广泛，可以运用等比数列前 n 项和 公式列方程，确定基本量 a1，q 后求解，也可以应用等比数列 前 n 项和的性质求解 解析 解法一：设首项为 a1，公比为 q，由题意知 q 1. 由 a11q10 1q 10 a11q30 1q 70 ，由以上两式相除得 q20q106 0，解得 q102 或 q103(舍去)，代入有 a1 1q10， S40a 11q 40 1q 10(15)150. 解法二：易知 q 1，由 S
7、10，S20S10，S30S20，S40S30 成公比为 q10的等比数列，则 S30S10(S20S10)(S30S20)S10q10S10q20S10， 即 q20q1060，解得 q102 或 q103(舍去)， S40S10(S20S10)(S30S20)(S40S30)10(12 2223)150. 解法三：运用性质 SmnSmqmSn求解， S30S20q20S10S10q10S10q20S10 从而有 q20q1060，解得 q102 或 q103(舍去) S40S30q30S1070810150. 解法四： 易知 q 1， S30 1q30 S10 1q10， q 20q106
8、0， 解得 q102 或 q103(舍去) 又 S30 1q30 S40 1q40，所以 S40150. 方法总结 在与等比数列的和有关的问题中，合理应用 和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当 q1 时， 数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列，公比为 qm，解 法三运用了等比数列的性质： SmnSmqmSn， 解法四运用了等 比数列的性质：当 q 1 时， Sm 1qm Sn 1qn. (2014 全国大纲卷文，8)设等比数列an的前 n 项和为 Sn. 若 S23，S415，则 S6( ) A31 B32 C63 D64 答案 C 解析 考查了等比数列前 n 项和 由条
9、件知：an0，且 a1a23 a1a2a3a415 ， a11q3 a11qq2q315 q2. a11，S612 6 12 63，关键是推出 an0，是要熟记 公式. 用错位相减法求和 已知数列an是等差数列，且 a12，a1a2a3 12， (1)求数列an的通项公式； (2)令 bnan 3n，求数列bn的前 n 项和公式 分析 解答本题可先依据条件求出 an再求数列bn的前 n 项和 解析 (1)设数列an的公差为 d，则 a1a2a33a13d12， 又 a12，得 d2，an2n. (2)由 bnan 3n2n 3n，得 Sn2 34 32(2n2) 3n 12n 3n 3Sn2
10、324 33(2n2) 3n2n 3n 1 得 2Sn2(332333n)2n 3n 1 3(3n1)2n 3n 1， 所以 Sn313 n 2 n 3n 1. 方法总结 如果数列an是等差数列，bn是公比为 q 的 等比数列，则数列anbn的前 n 项和一般可采用这一“错项相 减”求和法，解题的关键是在等式 Sna1b1a2b2anbn的 两 边同乘以等比数列an的公比 q，得 qSn，由 SnqSn消去相 同的项，或合并同类项化简得 Sn，在写 Sn与 qSn表达式时，应 特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出 Sn. (2014 安徽文，18)数列an满足 a11，nan1(n1)a
11、n n(n1)，nN* (1)证明：数列an n 是等差数列； (2)设 bn3nan，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解析 (1)由已知得 an1 n1 an n 1，即 an1 n1 an n 1， an n 是以a1 1 1 为首项，1 为公差的等差数列 (2)由(1)得an n 1(n1)1n， ann2， bnn 3n Sn1 312 323 33n 3n 3Sn1 322 32(n1) 3nn 3n 1 得2Sn3132333nn 3n 1 313 n 13 n 3n 13 n112n3 2 Sn2n13 n13 4 . 数列与函数的综合应用 以数列an的任意相邻两项为横、纵坐标
12、的点 Pn(an，an1)(nN*)均在一次函数 y2xk 的图像上，数列 bn an1an(nN*，b10) (1)求证：数列bn是等比数列； (2)设数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6T4， S59，求 k 的值 分析 (1)本题考查等比数列与函数知识先由点P(an， an1)在一次函数y2xk上，结合bnan1an，求出bn与bn1 之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利 用S6T4，S59，求k的值 解析 (1)由题意，得 an12ank，bnan1an， bn2ankanank， bn1an1k(2ank)k2(ank) 即 bn12
13、bn. b10，b n1 bn 2(nN*)， 数列bn是以 2 为公比的等比数列 (2)由(1)，得 bnank 及bn是公比为 2 的等比数列，得 Tnb 112 n 12 b1(2n1)， 由 bnank 得 TnSnnk， Snb1(2n1)nk. S6T4，S59， 63b16k15b1， 31b15k9， 解得 k8. 方法总结 本题是等比数列与函数、方程组合的综合性 问题注意由bnank可得b1b2bna1a2an nk，即TnSnnk. 已知 f(x)a1xa2x2a3x3anxn，且 a1，a2，a3， an组成等差数列(n 为正偶数)，又 f(1)n2，f(1)n. (1)
14、求数列的通项公式 an； (2)试比较 f(1 2)与 3 的大小，并说明理由 解析 (1)f(x)a1xa2x2a3x3anxn， f(1)n2，f(1)n， f(1)a1a2a3ann2， f(1)a1a2a3a4an1ann. 由题意，得na 1an 2 n2，n 2dn. a1an2n，d2，2a1(n1)22n，a11， an2n1. (2)f(1 2) 1 23( 1 2) 2(2n1)(1 2) n， 1 2f( 1 2)( 1 2) 23(1 2) 3(2n3)(1 2) n(2n1)(1 2) n 1.以上两式左右两边分别相减，得1 2f( 1 2) 1 22( 1 2) 2
15、2(1 2) 3 2(1 2) n(2n1)(1 2) n1， f(1 2)12( 1 2)2( 1 2) 22(1 2) n1(2n1)(1 2) n 12 1 21 1 2 n1 11 2 (2n1) 1 2n3 1 2n 2(2n1) 1 2n3， 综上所述，f(1 2)3. 易混易错点睛易混易错点睛 若数列an的前 n 项和为 Snan1(a0)， 则数 列an是( ) A等比数列 B等差数列 C可能是等比数列，也可能是等差数列 D可能是等比数列，但不可能是等差数列 误解 A 由 Snan1，得 an(a1)an 1，则有an1 an a1(常数)，故选 A 辨析 错误的原因在于：当 a1 时，an0，an是等差 数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中 an0 而造 成的 正解 C 由 Snan1，得 an(a1)an 1. 当 a1 时，an0，数列an为等差数列； 当 a1 时，a n1 an a1，(不为零的常数)， 则数列an为等比数列，故选 C 本节思维导图本节思维导图 等比数列 的综合应用 错位相减求和法 等比数列前n项和性质 数列与函数的应用
