1、1.1 正弦定理正弦定理 问题提出 1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系 180 CBA cbacba , 大角对大边 三角形的边与角之间有什么关系? 问题提出 C c B b A a sinsinsin sinA= 那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？ c a c b c c 在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c， C=900 ,则有: A C B c b a ,sinB= , sinC=1= . 分析理解分析理解 O (A) B C c b a x y C 如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐 标系,C点在y轴上的射影为C. ACBCy因为
2、向量与在 轴上的射影均为| OC|,即 sinAbA| OC|=| AC |cos( -90 )= sinsinB aB| OC|=|BC |= sinsinaBbA sinsin ab AB 即 sinsin ac AC 同理, sinsinsin abc ABC 正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比 相等,即 C c B b A a sinsinsin 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1 1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2 2）已知两边和其中一边的对角
3、，求另一边和两角。）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。 例1 1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破 损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确 到0.01cm)? 分析分析 如图,将BD,CE分别延长相交于一点A.在ABC中已 知BC的长及角B与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长. 解 将BD,CE分别延长相交于一点A.在ABC中, B C D E A BC=2.57cm, B=45O, C=120O A=180O-(B+C)=15O , sinsin ACBC
4、 BA sin2.57sin45 , sinsin15 BCB AC A 利用计算器算得 7.02(cm).AC 同理, 3.15(cm).AB 答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm. 例：台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速 度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响. 如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种 影响持续多长时间(结果精确到0.1h)? 分析分析 如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移 动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的 距离不大于250km时,该市受台风影响. A B D
5、C1 C2 N 解解 设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动,该市位于点B 正西方向300km处的点A. 假设经过t h,台风中心到达点C,则在ABC中 AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理. , sinsinsin ACABBC BCA 知 sin300sin453 sin20.8485 2505 ABB C AC 解得 12 58.05 ,121.95CC 当 1 58.05,C 时 1 180()ABC 180(4558.05 ) 76.95 1 1 sin250sin76.95 344.4(km) sinsin45 ACA BC B 1 1
6、344.4 8.6(h) 4040 BC t 同理,当 2 121.95,C 时 22 79.83(km),2.0(h)BCt 12 6.6(h)tt 答 约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时. 已知两边一对角，三角形解的个数 角A a 解的情况 锐 角 absinA 无解 a=bsinA 一解 bsinAab 一解 正弦定理的推论： A B D C . O b a c sinsinsin abc ABC =2R (R为ABC外接圆半径） 证明：如图，圆O为ABC的外接圆， BD为直径, 则 A=D, 2 ; sinsinsin90 aaBD R AD 2 ,2 ; sinsin bc R
7、R BC 同理， sinsinsin abc ABC =2R (R为ABC外接圆半径） 例3 3：如图,在ABC中, 求证: ABC的面 积 . 证明证明 ( , ),( , ).ABx y ACu v 1 | 2 Sxvyu O (A) B(x,y) C(u,v) x y 1 |sin 2 SABACA 222 1 | sin 2 ABACA 222 1 | (1cos) 2 ABACA 222 1 |(|cos) 2 ABACABACA 22 1 (|)() 2 ABACABAC ( , ),( , ).ABx y ACu v 22222 1 ()()() 2 Sxyuvxuyv 2 1
8、() 2 xvyu 1 | 2 xvyu (1)正弦定理适应的范围 A)直角三角形 B)锐角三角形C)钝角三角形D)任意三角形 (2)在三角形ABC中如果 b B a Acossin ，则B的值为 A) 30A) 30o o B) 45B) 45o o C) 60C) 60o o D) 90D) 90o o (3)在ABC中，A=60o,C=45o, b=2,则此三角形 的最小边长为 _ ( B )( B ) 232 ( ( ) ) （4）在任一）在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa 证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边左边 代入左边得：代入左边得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立 =右边右边 0 （）正弦定理的证明 （）正弦定理的应用 （）正弦定理的内容
