1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2 两角和与差的三角函数 21 两角差的余弦函数 22 两角和与差的正弦、余弦函数 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式， 两角和的 正弦、余弦公式 3会利用公式解决简单的化简求值问题 【核心扫描】 1两角和与差的正弦、余弦公式(重点) 2常与诱导公式、三角函数的图像及性质、同角三角函数的关 系等知识结合命题(难点) 3数形结合思想的应用(方法) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 1两角和与差的余弦
2、公式 C：cos() . C：cos() . ：你认为 cos()cos cos 正确吗？ 提示 不正确对 、 取特值验证，如 60 ，30 ，可 判断该式不成立 cos cos sin sin cos cos sin sin 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2两角和与差的正弦公式 S：sin() . S：sin() . sin cos cos sin sin cos cos sin 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 1对公式的理解 公式中的 、 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”， 比如 cos 2 2 中的“ 2 ”相当于角 ，
3、“ 2 ” 相当于角 .可用两角差的余弦公式展示因此对公式的理解要 注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把 、 视为 一个“代号”，将公式记作 cos()cos cos sin sin . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2公式记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系 C 以代 C 诱导公式 S 以代 S (2)注意公式的结构特征和符号规律 对于公式 C，C可记为“同名相乘，符号相反”； 对于公式 S，S可记为“异名相乘，符号相同” 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型一 化简求值问题 【例 1】 (1)sin 70 sin 65 sin 20 sin
4、25 ； (2)sin 12 3cos 12； (3)sin 50 (1 3tan 10 ) 思路探索 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小， 化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选 择公式 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 (1)原式sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 sin(70 25 )sin 45 2 2 . (2)法一 原式2 1 2sin 12 3 2 cos 12 2 sin 6sin 12cos 6cos 12 2cos 6 12 2cos 4 2. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 法二 原式2
5、1 2sin 12 3 2 cos 12 2 cos 3sin 12sin 3cos 12 2sin 12 3 2sin 4 2. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (3)原式sin 50 1 3sin 10 cos 10 sin 50 cos 10 3sin 10 cos 10 2sin 50 cos60 10 cos 10 2sin 50 cos 50 cos 10 sin 50 cos 50 cos 50 sin 50 cos 10 sin 100 cos 10 cos 10 cos 10 1. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 该类问题融两
6、角和与差的三角函数及诱导公式于其 中，求解时先借助诱导公式分析角之间的关系，在此基础上逆 用两角和与差的正弦、余弦公式化简求值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 化简sin2sin cos 2sin sin cos . 解 原式sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin costan(). 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 已知三角函数值求值 【例 2】 已知 2 3 4 ，cos()12 13，sin() 3
7、 5， 求 sin 2 的值 思路探索 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 因为 2 3 4 ， 所以 0 4， 3 2. 又 cos()12 13，sin() 3 5， 所以 sin() 1cos2 1 12 13 2 5 13， cos() 1sin2 1 3 5 24 5. 所以 sin 2sin()() sin()cos()cos()sin() 5 13 4 5 12 13 3 5 56 65. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 该类问题属于给值求值问题，求解此类问题时，应 首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角的关系，如 题中巧用
8、 2()()的关系，把待求角的三角函数与 已知角的三角函数巧妙的建立了等量关系，而不是盲目的套用 S及 C公式求解 常见的角的变换有： ()， 2 2 2 等等，具体如何变换，常 因题设所给的角而定 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 2】 设 cos 2 1 9，sin 2 2 3且 2，0 2， 求 cos 2 . 解 2，0 2， 4 2， 4 2 2， sin 2 1 1 9 24 5 9 ， cos 2 1 2 3 2 5 3 ， 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1
9、 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 已知三角函数值求角 【例3】 已知cos()12 13， cos() 12 13， 且 2， ， 3 2 ，2 ，求角 的值 思路探索 解答本题可由已知条件求出 、 的正弦值， 再由 2()()求出 cos 2 的值，从而得 2 的值，最 后求角 的值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 由 2， ，且 cos() 12 13， 得 sin() 5 13. 又由 3 2 ，2 ，且 cos()12 13， 得 sin() 5 13. cos 2cos()() cos(
10、)cos()sin()sin() 12 13 12 13( 5 13) 5 131. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 又 3 2，2 ， 2， 2 2， 3 2 . 2，则 2. 规律方法 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某 一个三角函数值；(2)确定所求角的范围此类题常犯的错误是 对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出 的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪 一种三角函数值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 3】 已知 ， 均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ，求 . 解 ， 均为锐角，s
11、in 5 5 ，cos 10 10 ， cos 2 5 5 ，sin 3 10 10 . sin sin ， 20， sin()sin cos cos sin 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 ， 4. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型四 有关 f(x)asin xbcos x 的性质问题 【例 4】 (12 分)若函数 f(x)(1 3tan x)cos x,0x 2. (1)把 f(x)化成 Asin(x)或 Acos(x)的形式； (2)判断 f(x)在 0， 2 上的单调性，并求 f(x)的最大值 审题指导 辅助角公式的推导 asin bc
12、os a2b2 a a2b2 sin b a2b2cos . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (1) a a2b2 2 b a2b2 21， 故可令 cos a a2b2，sin b a2b2， 则有 asin bcos a2b2sin()，其中 tan b a. (2)同理令 sin a a2b2，cos b a2b2， 则有 asin bcos a2b2cos()，其中 tan a b. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【解题流程】 规范解答 (1)f(x)(1 3tan x)cos x cos x 3sin x (2 分) 2 1 2cos x 3
13、 2 sin x (4 分) 2sin x 6 . (7 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)0x 2， f(x)在 0， 3 上单调递增， 在 3， 2 上单调递减， (10 分) 当 x 3时，f(x)有最大值 2. (12 分) 【题后反思】 涉及到 asin xbcos x 的最值、图像等性质问题 时，常利用两角和与差的三角函数公式先把该式转化成 f(x) a2b2sin(x)的形式；再利用研究 yAsin(x)的相关 方法去处理 f(x)中的有关性质 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 4】 已知 RtACB 中，两直角边 ACb，
14、BCa，斜边 ABc，周长为定值 1，求斜边 c 的最小值 解 在 RtACB 中，C 2，ACb，BCa， ac sin A，bc cos A又abc1， c 1 1sin Acos A 1 1 2sin A 4 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2 2 sin A 4 1， c 1 1 2sin A 4 1 1 2， 所以当 sin A 4 1 即 A 4时， 斜边 c 最小， 最小值为 1 1 2 21. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 方法技巧 三角函数中的数形结合思想 数形结合思想，能使抽象思维与形象思维有机结合起来，化抽 象为形象，以达到化难为
15、易的目的三角函数中可利用的图形 有三角函数的图像和三角函数线两类 【示例】 若方程 3sin xcos xa 在0,2上恰有两个不同的 实数解，求 a 的取值范围 思路分析 求出函数 y 3sin xcos x(x0,2)的值域， 利用 函数 ya 与 y 3sin xcos x(x0,2)的图像有两个不同的 交点求解 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 3sin xcos xa， a2sin x 6 ，x0,2 作出函数 f(x)2sin x 6 ，x0,2的图像如下 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 由已知方程 3sin xcos xa 在0,2上恰有两个不同的实数 解，知函数 f(x)2sin x 6 ，x0,2的图像与直线 ya 有两 个不同的交点，结合图像，易得 a 的取值范围为(2,1)(1,2) 方法点评 本题将方程有两个不同的实数解转化为两个函数的 图像有两个不同的交点是一种很好的方法今后遇到此类问题 时，可先观察方程两边是否为基本初等函数，能否比较方便地 作出两边函数的图像，如果能，则利用数形结合思想可有效提 高解题速度
