1、数数 列列 第一章第一章 1 数数 列列 第一章第一章 第第2课时课时 数列的函数特性数列的函数特性 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 古语云：“勤学如春起之苗，不 见其增，日有所长；辍学如磨刀之 石，不见其损，日有所亏”如果 对“春起之苗”每日用精密仪器 度量，则每日的高度按日期排在一 起， 可组成一个数列 同样， 对“磨 刀之石”用精密仪器度量，则每日 的质量按日期排在一起，也可组成一个数列，那么数列如何 定义呢？“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之
2、石” 的质量组成的数列又有何特征呢？ 几种数列的概念 (1)数列按照项与项之间的大小关系可分为_数列， _数列，_数列和_数列 (2)一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大 于它前面的一项，即_，那么这个数列叫做_数 列； (3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一 项，即_，那么这个数列叫做_数列； 递增 递减 摆动 常 an1an 递增 an10可知an1an，所以数列 an是递增数列 答案 B 2已知an满足：an1， an1 an 1 2，则数列an是( ) A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 解析 an11 2an， 且 a110， 所以an是递减的数
3、列 答案 B 3数列an中，ann211n，则此数列最大项的值是 ( ) A121 4 B30 C31 D32 解析 ann211n n11 2 2121 4 ， nN，当 n5 或 6 时，an取最大值 30，故选 B 答案 A 4已知数列 2n 3n1，那么这个数列是( ) A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 解 析 因 为 an 1 an 2n1 3n11 2n 3n1 2 3n43n10，所以 an 1an，故该数列是递增数列 答案 C 解析 D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故 选C 5下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) A1，1 2， 1 3，
4、1 4， Bsin 7，sin 2 7 ，sin3 7 ， C1，1 2， 1 4， 1 8， D1， 2， 3， 21 课堂典例讲练课堂典例讲练 (1)根据数列的通项公式填表： (2)画出数列an的图像，其中an3n1. 分析 (1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所 求的项，解关于n的方程得项对应的n值 数列的表示法的应用 n 1 2 5 n an 153 3(34n) (2)在直角坐标系下，描出点(n，an) 解析 (1)由第n项可知此数列的通项公式为：an3(4n 3)， 所以a13(413)21，a23(423)33，a5 3(453)69. 令3(4n3)153，解得n12.
5、 故填充完整的表格为： n 1 2 5 12 n an 21 33 69 153 3(34n) (2)an3n1，列表： 在直角坐标系中图像如下： n 1 2 3 4 an 1 3 9 27 方法总结 (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间 的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应 关系；(2)数列an3n1的图像是函数y3x1(x0)上的无穷多个 孤立的点 已知数列an的通项公式为an2n1，作出该数列的图 像 解析 分别取n1,2,3，得到点(1,1)，(2,3)， (3,5)，描点作出图像如图，它的图像是直线y2x1上 的一些等间隔的点 分析 只需证明an1an0(nN
6、*)即可 数列单调性的判断 已知数列an的通项公式为 an n2 n21.求证：此数列为 递增数列 证明 对于任意 nN*，由公式 an n2 n21，有 an1an n12 n121 n2 n211 1 n121(1 1 n21) 1 n21 1 n121 n12n2 n21n121 2n1 n21n1210， 即 an1an(nN*)故数列an是递增数列 方法总结 判断一个数列的单调性，可以利用递增数 列、递减数列、常数列的定义进行，即通过判断一个数列an 的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的单调性 (1)利用作差比较法 若an1an0恒成立，则数列an是递增数列； 若an1an0 则
7、 当a n1 an 1 时，数列an是递增数列； 当a n1 an 1 时，数列an是递减数列； 当a n1 an 1 时，数列an是常数列 若 an0，则 当a n1 an 1 时，数列an是递减数列 当a n1 an 1 时，数列an是常数列 (1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 已知数列an的通项公式是 an 1 n25n4. 解 析 (1) 对 任 意n N*， an 1 an 1 n125n14 1 n25n4 2n3 n125n14n25n40， 数列an为递减数列 (2)令 an0，即 1 n25n40， n25n40，解得4n1， 而 nN*
8、，故数列an没有负项. 已知数列an的通项公式为ann27n50，求 数列中的最小项 分析 方法一：数列的通项an与n之间构成二次函数关 系，可结合二次函数知识进行探求，同时要注意n的取值范围 是正整数集这一约束条件 方法二：设an中的第n项最小，则有anan1，anan1， 解不等式组即可 数列中的最大(小)项问题 解析 方法一：ann27n50(n7 2) 2151 4 ，其对 称轴为 n7 2，所以当 n3 或 4 时，an 取最小值，为 a3a4 32735038. 方法二：设数列an中第 n 项最小，则 anan1， anan1 ， 即 n27n50n127n150， n27n50n
9、127n150， 解得 n4， n3， 所以当 n3 或 4 时，an取得最小值，且 最小项为 a3a438. 方法总结 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项， 其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域，对于 给出二次函数的形式问题，我们一般采用配方法求解，也可画 出函数的图像，根据图像可能更能说明问题 已知数列an的通项公式为ann25n4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值 解析 (1)由n25n40，解得1n4. nN，n2,3. 数列有两项是负数 (2)ann25n4 n5 2 29 4，可知对称轴方程为 n 5 22.5. 又nN
10、，n2 或 3 时，an有最小值，其最小值为 225242. 分析 运用归纳猜想的方法，可以发现该数列是一个周 期数列 数列的周期性 若数列an满足 a12， an11a n 1an， 则该数列的前 2 011 项的乘积 a1 a2 a2 011_. 答案 3 解析 由题意可知 a12，an11a n 1an， 所以 a212 123，a3 13 13 1 2，a4 11 2 11 2 1 3，a5 11 3 11 3 2，.可知该数列是一个周期为 4 的数列，所以 a1 a2 a2 011a1a2a33. 方法总结 若存在非零整数T，使得amTam对于任意的 正整数m均成立，那么称数列an为
11、周期数列，其中T叫做数列 an的周期 答案 A 已知数列an满足 an1 2an0an1 2 2an11 2an1 ， 若 a16 7， 则 a2014( ) A6 7 B5 7 C3 7 D2 7 解析 a16 7，a22a11 5 7，a32a21 3 7.a42a3 6 7，所以an是周期为 3 的周期数列，于是 a2 014a1 6 7. 易混易错点睛易混易错点睛 已知数列an的通项公式为an2n221n，求 该数列中的数值最大的项 误解 误解一：an2n221n2(n21 4 )2441 8 ， an的最大值为441 8 ， 该数列中数值最大的项为441 8 . 误解二：an2n22
12、1n2(n21 4 )2441 8 ， nN*，n5 或 6 时，an最大， 该数列中数值最大的项为第 5 项或第 6 项 辨析 误解一注意到了数列是函数可用二次函数求最 值的方法，求数列中的最大(小)项，但忽视了数列中，自变 量 n 只能是正整数，n 取不到21 4 . 误解二注意到了数列是特殊的函数，运用二次函数求最 值的方法，求数列中的最大(小)项也注意到了 nN*，但没 注意到 n5 和 n6 时，哪一个距离 n21 4 更近，从而找出 最大项，另外把求最大项的值误为求最大项的的项数 正解 an2(n21 4 )2441 8 ， nN*，当 n5 或 6 时 an最大， a555，a654， 数值最大的项为第 5 项，最大值为 55. 本节思维导图本节思维导图 数列 几种数列 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 应用 单调性的判断 最大小项问题 周期性
