1、 正弦定理正弦定理 正弦定理正弦定理 回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? A B C c b a 222 cba Acasin Bcbsin A b a tan 90BA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？ c B b A a sinsin 1sin C C c B b A a sinsinsin 即正弦定理，定理对任意三角形均成立即正弦定理，定理对任意三角形均成立 正弦定理正弦定理 C c B b A a sinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等，即相等，即 正弦定理可以解什么类型的
2、三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角可以求出三角形的其他的边和角。 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边和它的对边a,b,c叫做三角叫做三角 形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形 正弦定理正弦定理 例题讲解例题讲解 解三角形 中，已知，在例 ,9 .42 ,8 .81,0 .321 cma BAABC 2 .6
3、6)8 .810 .32(180)(180BAC 定理，解：根据三角形内角和 )( 1 .80 0 .32sin 8 .81sin9 .42 sin sin cm A Ba b 根据正弦定理， )( 1 .74 0 .32sin 2 .66sin9 .42 sin sin cm A Ca c 根据正弦定理， 正弦定理正弦定理 例题讲解例题讲解 )11( ,40,28,202 cm AcmbcmaABC ，边长精确到角度精确到 解三角形。中，已知，在例 .8999.0 20 40sin28sin sin a Ab B解：根据正弦定理， 116,64,1800BBB或所以因为 ).(30 40si
4、n 76sin20 sin sin ,76)6440(180)(18064)1( cm A Ca c BACB 时， 当 ).(13 40sin 24sin20 sin sin ,24)11640(180)(180116)2( cm A Ca c BACB 时， 当 正弦定理正弦定理 例题讲解例题讲解 例例3 在在 中，中， ，求，求 的面积的面积S ABC )13(2,60,45 aCBABC BacCabsin 2 1 sin 2 1 Abcsin 2 1 h A B C aABC ahS 2 1 三角形面积公式三角形面积公式 解：解： 75)(180CBA 由正弦定理得由正弦定理得 4
5、4 26 ) 2 2 )(13(2 sin sin A Ba b 326) 2 3 (4)13(2 2 1 sin 2 1 CabS ABC 正弦定理中的比值常数正弦定理中的比值常数 典例典例1 .在在ABC中，中，A，B，C所对的三边分别为所对的三边分别为a，b，c， 若若a=2bsinA，求，求B。 （1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. （2）若）若A,B,C是是ABCABC的三个内角，则的三个内角，则 sinA+sinB_sinC.sinA+sinB_
6、sinC. )( sin 3sin ,2)3(等于则中，在 B B BCABC A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a c B 正弦定理正弦定理 练习：练习： （1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. C ABC （2）在在 中中，若若 ，则则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形 2 cos 2 cos 2 cos C c B b A a ABC D 正弦定理正弦定理 练习：
7、练习： （3）在任一）在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa 证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边左边 代入左边得：代入左边得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立 =右边右边 0 在在ABC中，若中，若acosA=bcosB,求证：求证：ABC是等腰三角形或是等腰三角形或 直角三角形。直角三角形。 利用正弦定理证明“角平分线定理”利用正弦定理证明“角平分线定理” 典例典例2 已知已
8、知a，b，c分别是分别是ABC中角中角A，B，C的对边，的对边， 已知已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)(AB)，试判断，试判断 ABC的形状。的形状。 典例典例3在在ABC中，有中，有 试判断此三角试判断此三角 形的形状。形的形状。 典例典例4 在在ABC中，求证：中，求证： 典例典例5在在ABC中，如果中，如果 且且 B为锐角，试判断此三角形的形状。为锐角，试判断此三角形的形状。 三角形面积计算公式三角形面积计算公式 典例典例1 在在ABC中，中，a=3，b=5，cosC为方程为方程10x229x 21=0的根，求的根，求ABC的面积。的面积。 典例典例2在在ABC中，若中，若AB=2，BC=5，S ABC =4，求 ，求 的值。的值。
