1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 5 从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2体会平面向量的数量积与向量射影的关系 3能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平 行、垂直的几何问题 【核心扫描】 1数量积的定义、运算性质、向量间的夹角、垂直、长度(模) 等(重点) 2本节内容常与三角函数、平面几何、解析几何等知识结合命 题(难点) 3数量积的运算律同实数乘法的运算律的区别与联系(疑点) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 1
2、向量的夹角 如图，已知两个非零向量 a 和 b，作OA a， OB b，则 叫作向量 a 与 b 的 夹角，其范围是 当 时，a 与 b 同向；当 时，a 与 b 反向；当 2 时，a 与 b 垂直， 记作 .规定零向量可与任一向量 AOB 0 垂直 0， ab 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2向量的数量积 已知两非零向量a与b，它们的夹角为，则把 叫 做a与b的数量积(或 )，记作 ，即a b . 3射影 向量a在b方向上的射影为 ，向量b在a方向上的射 影为 . |a|b|cos 内积 a b |a|b|cos |a|cos |b|cos 课前探究学习课前探究学习 课
3、堂讲练互动课堂讲练互动 ：a b的符号与a与b的夹角有哪些关系？ 提示 (1)若a b0为锐角或零角 当0 时，a与b共线同向，a b0. (2)a b0 2或a与b至少有一个为0. (3)a b0为钝角或平角， 当180 时，a与b反向共线，a b0. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 4a b的几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影 的乘 积，或b的长度|b|与a在b方向上射影 的乘积 5向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，为a与b的夹角 (1)若e是单位向量，则e aa e|a|cos . (2)若ab，则a b0；反之，若a b0，则ab.
4、通常记作ab a b0. (3)|a| a a. (4)cos a b |a|b|(|a|b|0) (5)对任意两个向量a，b，有|a b|a|b|. |b|cos |a|cos 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 6向量数量积的运算律 (1)a b (交换律)； (2)(a) b (结合律)； (3)(ab) c (分配律) b a (a b) a (b) a cb c 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 1对平面向量的数量积的理解 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可 以为正(当a0，b0,0 90 时)，也可以为负(当a0，
5、 b0,90 180 时)，还可以为0(当a0或b0或90 时) (2)两向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的 数的乘法是有区别的，在书写时，一定要把它们严格区分开 来，决不可混淆 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (3)向量b在a上的投影不是向量而是数量，其值为 |ba，b，也可写成 a b |a| ，投影可正可负如图所示，即为 |b|cos ，它的符号取决于角的范围 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2平面向量数量积性质的应用 (1)利用性质(2)，可以解决关于两个非零向量垂直的问题由a b，可得a b0；反之，由a b0，可得ab. (2)
6、利用a a|a|2或|a| a a可进行向量的运算及求向量的模 (3)根据平面向量数量积的定义可知，cosa，b a b |a|b| ，利 用这一关系，可求两个平面向量a与b的夹角，称为夹角公式， 它的实质是平面向量数量积的逆运用 特别地，若0 ，则a b|a|b|；若180 ，则a b|a|b|； 若90 ，则a b0，运用这一结论不仅可以判断三角形的形 状，还可以判断a与b是否共线或垂直等 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (4)性质 (5)是一个与不等式有关的性质，可以用来证明不等式或求有 关函数的最值 3a a|a|2的推广 (a b)2|a b|2|a|2 2a b
7、|b|2； a2b2(ab)(ab)； a3b3(ab)(a2a bb2) 以上结论仍可作为公式使用 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型一 数量积的基本运算 【例1】 已知|a|4，|b|5，当(1)ab，(2)ab，(3)a与b的 夹角为30 时，分别求a与b的数量积 思路探索 已知|a|与|b|，求a b，只需确定其夹角.需注意到 ab时，有0 和180 两种可能 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 设a，b的夹角为 (1)ab，若a与b同向，则0 ，a b|a| |b|cos 0 45 20； 若a与b反向，则180 ，a b|a| |b|cos
8、 180 45(1) 20. (2)当ab时，90 ，a b|a| |b|cos 90 0. (3)当a与b的夹角为30 时，a b|a| |b|cos 30 45 3 2 10 3. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 (1)求平面向量数量积的步骤是：求 a 与 b 的夹角 ， 0 ， 180 ； 分别求|a|和|b|； 求数量积， 即 a b|a|b|cos ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“”连接，而不能 用“”连接，也不能省去 (2)非零向量 a 和 b，ab a b0. (3)非零向量 a 与 b 共线的等价条件是 a b |a|b|. 解此类
9、题主要应用化归的思想及定义法 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 已知两个单位向量 e1，e2的夹角为 3，若向量 b1 e12e2，b23e14e2，则 b1 b2_. 解析 由题设知|e1|e2|1，且 e1 e21 2，所以 b1 b2(e1 2e2) (3e14e2)3e2 12e1 e28e 2 2321 286. 答案 6 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 利用数量积求长度问题 【例2】 已知向量OA a，OB b，AOB60 ，且|a|b| 4.求|ab|，|ab|，|3ab|. 思路探索 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练
10、互动课堂讲练互动 解 a b|a|b|cosAOB441 28， |ab| ab2 a22a bb2 1616164 3， |ab| ab2 a22a bb2 1616164， |3ab| 3ab2 9a26a bb2 91668164 13. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 在化简中遇到a2可直接写成|a|2，根据数量积的运算 律，可知实数运算中的有些公式仍成立，如：(a b)2|a|2 2a b |b|2，|a|2|b|2(ab) (ab)等，此类题主要应用化归的思 想方法 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练2】 已知向量a与b的夹角1
11、20 ，且|a|4，|b|2，求： (1)a b；(2)(a2b) (ab)；(3)|3a4b|. 解 (1)a b|a|b|cos 42cos 120 8 1 2 4. (2)(a2b) (ab)a (ab)2b (ab) |a|2a b2a b2|b|2 |a|2a b2|b|2 16(4)2412. (3)因为(3a4b)29|a|224a b16|b|291624(4)164 1619， 所以|3a4b| 3a4b2 16194 19. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 利用数量积求夹角问题 【例3】 (12分)已知单位向量e1 、e2夹角为60 ，求向量ae
12、1 e2，be22e1的夹角 审题指导 (1)向量夹角公式cos a b |a|b|的计算中涉及了多种形 式的向量运算和数量运算，计算时不仅要防止计算错误的发 生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证计 算结果准确无误 (2)要注意0，当cos 0时， 0， 2 ；当cos 0 时， 2， ；当cos 0时， 2. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【解题流程】 求|a|及|b|求a b求cosa，b求夹角 规范解答 e1，e2为单位向量且夹角为60 ， e1 e211cos 60 1 2. (3分) a b(e1e2) (e22e1) 2e1 e2121 21
13、3 2， |a| a2 e1e22 121 21 3， |b| b2 e22e12 1441 2 3. (8分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 cos a b |a|b| 3 2 1 3 3 1 2. (10 分) 又0,180 ，120 ，a 与 b 的夹角为 120 . (12 分) 【题后反思】 求向量夹角题应用数量积的变形公式 cos a b |a|b|，一般要求两个整体 a b，|a| |b|，不方便求出的，可寻求两 者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观， 另外本题还可以利用坐标形式解决，特别要注意 0， 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课
14、堂讲练互动 【训练 3】 已知向量 a，b 满足(a2b) (ab)6，且|a|1，|b| 2，则 a 与 b 的夹角为_ 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，依题意有(a2b) (ab)a2a b 2b272cos 6，所以 cos 1 2，因为 0，所以 3. 答案 3 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 误区警示 因向量数量积的运算律与实数的运算律混淆而出错 【示例】 设a，b，c为平面向量，下面的命题中正确的个数是 ( ) a (bc)a ba c；(a b) ca (b c)；(ab)2|a|2 2|a|b|b|2；若a b0，则a0或b0. A3 B2 C1 D4 错
15、解 A 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算，它只 满足交换律、数乘结合律及分配律，不满足结合律及消去 律在解有关题目时往往与实数的乘法相混淆，误认为向量的 数量积也满足结合律及消去律，从而得出错误判断 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 正解 C 没有正确理解向量数量积的运算律，其中结合律 和消去律在向量数量积的运算中不适合故是错误的 由向量数量积的运算律知正确因为(ab)2|a|22a b |b|2|a|22|a|b|cos |b|2(为a与b的夹角)，所以不正 确又a b0a0或b0或ab，故不一定有a0或b0， 因此不正确 正确理解与熟练掌握数量积及其运算律是正确判断 问题的关键
