1、第八章第八章 柱体扭转柱体扭转圆轴扭转平面假设非圆截面柱体横截面翘曲柱体扭转精确求解是十分困难的 目录目录8.1 扭转问题的基本解法扭转问题的基本解法8.2 薄膜比拟法薄膜比拟法8.3 椭圆截面杆件的扭转椭圆截面杆件的扭转8.4 矩形截面杆件的扭转矩形截面杆件的扭转8.5 开口薄壁杆件的扭转开口薄壁杆件的扭转8.1 扭转问题的基本方程扭转问题的基本方程柱体扭转柱体扭转横截面翘曲翘曲自由扭转翘曲不受限制约束扭转翘曲受到限制弹性力学讨论自由扭转自由扭转柱体自由扭转计算模型自由扭转假设 1.刚截面假设 2.翘曲假设位移解法基本方程 8.1 基本方程基本方程2z 单位长度相对扭转角 xzvyzu),(
2、yxw022222yx调和方程柱体扭转边界条件侧面边界条件侧面边界条件xmylmylx翘曲函数表达端面边界条件困难端面边界条件端面边界条件T=GD 8.1 基本方程基本方程3柱体扭转应力解法扭转应力函数y(x,y)普朗特（Prandtl）扭转应力函数 8.1 基本方程基本方程4xyyzxzyy,Cy2)(,)(xyGxyxGyyyG2yc=const SyxTdd2y边界条件侧面侧面端面端面单连域取为08.2 薄膜比拟薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）基本思想：作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布 薄膜比拟T22
3、222FqZyZxZ薄膜边界垂度 Z=0 SyxZVdd22薄膜垂度微分方程 薄膜所围的体积调整薄膜的高度，使2V=T，则Z=y 薄膜垂度薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式与扭转应力具有相同的函数形式yc=0 SyxTdd2yCy2 8.1 基本方程基本方程4薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布薄膜的等高线 8.1 基本方程基本方程40sZ0synsyysn,0切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方向导数成正比切应力与等高线相切切应力线 s8.3 椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转应力函数)1(),(2222byaxmyxy)1(2222byaxabT最大切
4、应力横截面翘曲xbaTyabTyzxz332,24242222byaxabTyzxzbaTabT2min2max2,2xybGabaTyxw3322),(8.3 椭圆截面杆件椭圆截面杆件2扭转应力8.4 矩形截面杆件扭转矩形截面杆件扭转矩形截面杆件扭转应力函数构造困难应力解法基本方程为泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。协调方程 特解 yG22)(222byG)(),(),(220byGyxyxyy协调方程侧面边界条件002y0cy0),(,)(),(,0220bxbybyGyaaxyy 8.4 矩形截面杆件矩形截面杆件2)(),(),(220byGyxyxyy
5、协调方程侧面边界条件002y0),(,)(),(,0220bxbybyGyaaxyy设)()(),(0yYxXyxy0 XYYX0022YYXX 8.4 矩形截面杆件矩形截面杆件32YYXXyDxyCYsincosxBxAXsinhcosh根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以 yxAyxycoscosh),(0协调方程的特解线性迭加就是方程通解 yxAyxnnnycoscosh),(00根据边界条件 0coscoshbxAnnn0coshxAn0cosbn)2,1,0(,2)12(nbnn所以 ybnxbnAyxn2)12(cos2)12(cosh),(00y 8.4 矩形截面杆件矩形
6、截面杆件4根据边界条件根据边界条件)(),(220byGyay则)(2)12(cos2)12(cosh220byGybnabnAn两边同时乘以 yybnd2)12(cos并在（-b，b）区间积分，可得 aGnbAnnncosh)12(32)1(3321应力函数)(coscoshcosh)12(32)1(),(2203321byGyaxnGbyxnnnny 8.4 矩形截面杆件矩形截面杆件5yaxnbGyyaxnbGnnnnyznnnnxzcoscoshsinh)12(1)1(162sincoshcosh)12(1)1(16022022由端面面力边界条件确定 05543tanh)12(11032
7、316dd2anbGabGyxTnAy 8.4 矩形截面杆件矩形截面杆件6取取n=0一项一项 babGabGTbybabxbGyGbybabxbGyzxz2tanh10323162cos2cosh2sinh1622sin2cosh2cosh1654322)2cosh81(2|20maxbabGbyxxz 8.4 矩形截面杆件矩形截面杆件7max8.5 开口薄壁杆件开口薄壁杆件狭长矩形杆件a/b10b和g 0.333最大切应力 单位长度扭转角2max3aTGaT33开口薄壁杆件横截面由等宽度的狭长矩形组成 333332iiiiiiiiiiaGTGaTaT 8.5 开口薄壁杆开口薄壁杆2iiiiiaGTT33iiiiiiaaT33333332iiiiiiiiiiaGTGaTaTiiiiiiiiaTaT3333 8.5 开口薄壁杆开口薄壁杆3应力集中长边中点切应力给出了相当精确的解答 局部切应力 局部max与圆弧半径r与狭长矩形的短边i的比值有关 8.5 开口薄壁杆开口薄壁杆4
