人教B版高中选修2-1数学课件:2.2 椭圆的定义与标准方程 .ppt

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1、 用一个平面去截一个圆锥面,当平面经过圆锥 面的顶点时,可得到两条相交直线; 当平面与圆锥面 的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个 圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截 线的变化情况,并思考: 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具 有哪些几何特征? 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线 探究 :椭圆有什么几何特征? 动手试一试 数学史: 1 F 2 F M 1、椭圆的定义、椭圆的定义: 1 F 2 F M 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离的距离之之和和等于等于 常数常数(大于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做)的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆

2、的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点,两焦点间的距离,两焦点间的距离 叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。 cFF2 21 为椭圆时,022 ca 2a2aMFMFMFMF 2 21 1 思考:是否平面内到两定点之间的距离和为定长 的点的轨迹就是椭圆? 结论:(若 PF1PF2为定长) )当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1 PF2 F1F2时,P点的轨迹是椭圆。 )当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1 PF2 F1F2时,P点的轨迹是一条线段F1F2 。 )当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1 PF20),M与与F1、F2的距离的和为的距离的和为2a 1212

3、1 21 2 如如图图,以以经经过过椭椭圆圆两两焦焦点点F ,FF ,F的的直直线线为为x x轴轴, 线线段段FFFF的的垂垂直直平平分分线线为为y y轴轴,建建立立直直角角坐坐标标系系xOy.xOy. 12121212 设设M(x,y)M(x,y)是是椭椭圆圆上上任任意意一一点点,椭椭圆圆的的焦焦距距为为2c(c0),2c(c0), 那那么么焦焦点点F ,FF ,F 的的坐坐标标分分别别为为(-c,0),(c,0).(-c,0),(c,0).又又设设MM与与F ,FF ,F 的的距距 离离的的和和等等于于2a.2a. 1212 由由椭椭圆圆的的定定义义,椭椭圆圆就就是是集集合合P = M M

4、F + MF = 2a .P = M MF + MF = 2a . 2 2 22222222 222222 1212 因因为为 MF =(x+c) +y , MF =(x-c) +yMF =(x+c) +y , MF =(x-c) +y (x+c) +y + (x-c) +y(x+c) +y + (x-c) +y , , 所所以以 =2a.=2a. 1 F 2 Fx y O ),(yxM 对于含有两个对于含有两个 根式的方程,根式的方程, 可以采用可以采用移项移项 两边平方或两边平方或 者者 分子有理化分子有理化 进进 行化简。行化简。 22222222222222 将将这这个个方方程程两两边

5、边平平方方,得得 (x+c) +y =4a -4ax+c) +y =4a -4a(x-c) +y +x-c) +y + (x+c) +y ,x+c) +y , 22222222 为为化化简简这这个个方方程程,将将左左边边的的一一个个根根式式移移到到右右边边,得得 (x+c) +y =2a-x+c) +y =2a- (x-c) +y ,x-c) +y , 4222222222242222222222 上上边边两两式式再再平平方方,得得 a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y ,a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y , 222222 整整理

6、理得得 a -cx = a (x-c) +y , a -cx = a (x-c) +y , 2222222222222222 (a -c )x +a y =a (a(a -c )x +a y =a (a整整得得 -c-c理理) ), , 令 2222 2222 2 2 222222 2 2 2 2 . . 由由椭椭圆圆的的定定义义可可知知,2a 2c,2a 2c, 即即a c,a c,所所以以a -c 0.a -c 0. b b xyxy = a= a +=1+=1 aacaac -c-c - - 0 0b ba a 1 1 b b y y a a x x 2 2 2 2 2 2 2 2 叫做

7、叫做椭圆的标准方程,焦点在椭圆的标准方程,焦点在x 轴上。轴上。 焦点在焦点在y 轴上,可得出椭圆轴上,可得出椭圆 0 0b ba a 1 1 b b x x a a y y 2 2 2 2 2 2 2 2 它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。 1 1 2 2 y o F F M x 222222 abcabc 0 0c ca a0, 0,b ba a 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 1 2 2 y o F F M x y x o F 2 F 1 M 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 定定 义义 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点 F(F(c c,0)0)

8、 F(0F(0,c)c) a,b,c之间之间 的关系的关系 c c2 2=a=a2 2- -b b2 2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 求法: 一定定焦点位置;二设设椭圆方程;三求求a、b的值. 例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是(椭圆的两个焦点的坐标分别是(4,0) (4,0),椭圆上一点),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10, 求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 1 1 2 2 y o F F M x . 解:解: 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c

9、=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 925 22 yx 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 (1)首先要)首先要判断判断类型,类型, (2)用)用待定系数法待定系数法求求 ba, 定义法 例例2.2. 已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为(-2-2,0 0), 5353 (2 2,0 0)并并且且经经过过点点( , - -),求求它它的的标标准准方方程程. . 2222 2222 2222 解解: :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上,所所以以设设它它的的标标准准方方

10、程程为为 xyxy +=1(ab0).+=1(ab0). abab 22222222 222222 由由椭椭圆圆的的定定义义知知 53535353 2a =+2+ -+-2+ -= 2 102a =+2+ -+-2+ -= 2 10 22222222 所所以以a = 10.a = 10. 又又因因为为c = 2,c = 2,所所以以b = a -c =10-4=6.b = a -c =10-4=6. 2222 2222 因因此此,所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为 xyxy +=1.+=1. 106106 1 111 11 变变式式引引申申:求求焦焦点点在在y y轴轴上上,且且经经过过点

11、点A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的 3 323 32 椭椭圆圆的的标标准准方方程程. . 2222 2222 2222 yxyx 解解:设设所所求求椭椭圆圆的的方方程程为为+=1,+=1, abab 1 111 11 将将A(,),B(0,-)A(,),B(0,-)代代入入得得: 3 323 32 2222 1111 3333 +=1+=1 2222 abab , , 2 2 1 1 - - 2 2 =1=1 2 2 a a 1 1 2 2 a=,a=, 4 4 解解得得: 1 1 2 2 b=.b=. 5 5 yxyx 故故所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为+=1.+=1

12、. 1111 4545 ?思考一个问题思考一个问题:把“焦点在把“焦点在y轴上”这句话去掉,怎么办?轴上”这句话去掉,怎么办? 待定系数法 2222 xyxy 例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆,则则 mnmn m,nm,n满满足足什什么么条条件件,并并指指出出焦焦点点坐坐标标. . 2222 xyxy 解解:若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆,则则 mnmn mn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n, 所所以以,焦焦点点坐坐标标为为( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0). 222

13、2 变变式式引引申申: : 若若焦焦点点在在y y轴轴上上; 如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上; 若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, m,nm,n应应满满足足什什么么条条件件. . 2222 (3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n, 当当mn0mn0,表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆;当当nm0nm0, 表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. . 2222 xyxy 解解:(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆, mnmn

14、 则则 nm0, nm0,且且c =n-m,c =n-m, 所所以以,焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m). 2222 xyxy (2)(2)若若+=1+=1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn.n. mnmn 2222 分分析析:点点P P在在圆圆x +y =4x +y =4上上运运动动, ,点点P P的的运运动动引引起起 点点MM的的运运动动. .我我们们可可以以由由MM为为线线段段PDPD的的中中点点得得到到点点MM 与与点点P P坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点P P的的坐坐标标满满足足圆圆

15、的的方方 程程得得到到点点MM的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. . 2222 例例4.4.在在圆圆x +y = 4x +y = 4上上任任取取一一个个点点P P,过过点点P P作作 x x轴轴的的垂垂线线PDPD,D D为为垂垂足足. .当当点点P P在在圆圆上上运运动动时时,线线 段段PDPD的的中中点点M M的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ? 0000 0 0 0 0 2222 0000 2222 0000 0000 2222 2 2 2 2 解解: :设设点点的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点的的坐坐标标为为(x ,y ),(x ,y ),则则 y y x

16、= x ,y =.x = x ,y =. 2 2 因因为为点点(x ,y )(x ,y )在在圆圆x +y =4x +y =4上上,所所以以 x +y =4.x +y =4. 把把x = x,y = 2yx = x,y = 2y代代入入方方程程, ,得得 x +4y =4,x +4y =4, 即即 x x +y =1.+y =1. 4 4 所所以以点点的的是是轨轨迹迹一一个个椭椭圆圆. . 代入法 . 2222 变变式式引引申申:已已知知圆圆x +y = 9,x +y = 9,从从这这个个圆圆上上任任意意一一点点 P P向向x x轴轴作作垂垂线线PPPP ,点点M M在在PPPP 上上, ,并

17、并且且PM = 2MP ,PM = 2MP , 求求点点 M M的的轨轨迹迹 0000 0 0 000000 0000 0 0 0000 2222 0000 2222 2 2 2 2 解解:设设点点MM的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点P P的的坐坐标标为为(x ,y )(x ,y ),则则 点点P P 的的坐坐标标为为(x ,0).(x ,0). 由由PM=2MPPM=2MP 得得:(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y),即即 x-x =2(x -x)x-x =2(x -x) , , y-y =2(-y)y-y =2(-y) 即即x

18、 = x,y =3y.x = x,y =3y. P(x ,y )P(x ,y )在在圆圆x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得 x +9y =9x +9y =9, x x 即即+y =1,+y =1,点点MM的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. . 9 9 2 112 22 1 32 66 1 2516 3 2 xy FFF FMMFMF M xy P P += =+= += 2 212 1.已知椭圆方程为,则这个椭圆的焦距为( ) 23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2. 、是定点,且,动点满足, 则点的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

19、3.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为 ,则 到另一焦点的距离为( ) (A) (B)37 (C)5 (D) 变式题组一变式题组一 2222 2 2 1 1 1 1 1 1 xyxy 4.4.已已知知经经过过椭椭圆圆+=1+=1的的右右焦焦点点F F 作作垂垂直直于于x x轴轴 25162516 的的直直线线AB,AB,交交椭椭圆圆于于A,BA,B两两点点,F F是是椭椭圆圆的的左左焦焦点点. . (1)(1)求求AFBAFB的的周周长长; (2)(2)如如果果ABAB不不垂垂直直于于x x轴轴,AFBAFB的的周周长长有有变变 化化吗吗?为为什什么么? A D D 20 没变化 xky

20、y k xy m m 22 22 1.如果方程+=1表示焦点在 轴上的椭圆, 那么实数 的取值范围是( ) (A)(0,+) (B)(0,2)(C)(1,+)(D)(0,1) 2.椭圆+=1的焦距是2,则实数 的值是( ) 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 变式题组二变式题组二 3.方程方程 1033 2 2 2 2 yxyx表示表示_ 1033 2 2 2 2 yxyx 4.方程方程 表示表示_ 5.方程方程 的解是的解是_ 104343 22 xx D C 椭圆 椭圆 5 3 2 一个概念;一个概念; 二个方程;二个方程; 三个意识:三个意识:求美意识,求美意识, 求简意识,

21、求简意识, 猜想的意识。猜想的意识。 二个方法:二个方法: 去根号的方法;求标准方程的方法去根号的方法;求标准方程的方法 |MF1|+|MF2|=2a 1 1 b b y y a a x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0b ba a 1 1 b b x x a a y y 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪个大,焦点就在哪个轴上分母哪个大,焦点就在哪个轴上 222 =+abc 平面内到两个定点平面内到两个定点F1,F2的距离的和等的距离的和等 于常数(大于于常数(大于F1F2)的点的轨迹)的点的轨迹 12 - , 0 , 0,FcF c 1 2 0,-0,,FcFc 标准方程标准方程 不不 同同 点点 相相 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标 定定 义义 a、b、c 的关系的关系 焦点位置的判断焦点位置的判断 x y F1 1 F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O 欢迎你的提问! 课本第 42.43页练习题、习题 能力培养

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