1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 11.3 导数的几何意义导数的几何意义 三维目标 1知识与技能 理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程 的方法 2过程与方法 通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较 和归纳的能力并通过对问题的探究体会逼近、类比、由己知探讨未 知、从特殊到一般的数学思想方法 3情感、态度与价值观 让学生在观察、思考、发现中学
2、习，启发学生在研究问题时，抓住问 题本质，严谨细致思考，规范得出解答 重点难点 重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问 题 难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解 课标 解读 1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方 程(重点) 2.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会 求其方程(易混点) 【问题导思】 如图115所示，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1，2，3，4，)，P的 坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线 图 115 1割线PPn的斜率kn是多少？ 【提示】 割线 PPn的斜率 knf（x n）f（x0） xnx0 . 2
3、当点当点Pn无限趋近于点无限趋近于点P时时，割线割线PPn的斜率的斜率kn与切线与切线PT 的斜率的斜率k有什么关系有什么关系？ 【提示】 kn无限趋近于切线PT的斜率k. 2导数的几何意义 曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数f(x0)的几何意义为 _ 曲线曲线yf(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率 求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程 已知曲线 C：y1 3x 34 3. (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？ 【思路探究】 (1)先求切点坐标，再求y|x2，最后利用导
4、数的几何 意义写出切线方程 (2)将切线方程与曲线C的方程联立求解 【自主解答】 (1)将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4. 切点 P(2，4) y|x2 y x 1 3（2x） 34 3 1 32 34 3 x 42x1 3(x) 24. ky|x24. 曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40. (2)由 y4x4， y1 3x 34 3， 可得(x2)(x22x8)0. 解得 x12，x24. 从而求得公共点为 P(2，4)或 M(4，20)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点 (4，20) 1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
5、 (1)求出函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)； (2)写出切线方程，即 yy0f(x0) (xx0) 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为 2 ，此时所 求的切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 xx0. 2曲线的切线与曲线的交点可能不止一个 已知曲线 y 2x22，用切线斜率的定义求曲线过点 P(1，2)的切线方程 【解】 y 2（1x）222， y x 2（1x）222 x ， k y x 2（1x）222 x 2（x）24x x（ 2（1x）222） 2x4 2（1x）2221. 故曲线经过 P(1，2)的切线方程是 y2x1， 即 xy10. 已知抛物线y2x
6、21.求 (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? 求函数的平均变化率求函数的平均变化率 【思路探究】 设点的坐标 求出在该点处的导数 利用条件建立方程求出点的坐标 【自主解答】 设点的坐标为(x0，y0)，则 y2(x0x)212x2 014x0x2(x) 2. y x4x02x. f(x0) (4x02x)4x0， (1)抛物线的切线的倾斜角为 45， 斜率为 tan 451. 即 f(x0)4x01，得 x01 4，该点为 1 4， 9 8 . (2)抛物线的切线平行于直线4xy20， 斜率为4， 即f(x0)4x04，得x01，该点为
7、(1，3) 根据切线斜率求切点坐标的步骤： (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f(x)； (3)求切线的斜率f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标 本例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 【解】 抛物线的切线与直线x8y30垂直 抛物线的切线的斜率为8. 由本例知f(x0)4x08，x02，y09. 即所求点坐标为(2，9). 已知曲线C：f(x)x21，求过点P(0，0)且与曲线C相切的切线l 的方程 【思路探究】 点P不是切点，故可设出切点P0的坐
8、标，并用其表示 出切线l的方程，然后利用切点在曲线上和点P在切线上，建立P0点坐 标的方程组，解出点P0后进一步求切线方程 求函数的平均变化率求函数的平均变化率 【自主解答】 设切点 P0(x0，y0)，则 f(x0) f（x0x）f（x0） x （x0x）21（x2 01） x (2x0x)2x0， 故曲线 C 在点 P0处的切线 l 方程为 yy02x0(xx0)， 即 l：yy02x0x2x2 0. 又 P0在 C 上，即 y0x2 01， l 为：yx2 012x0x2x 2 0. 又切线 l 过点 P(0，0)，故x2 012x 2 0，x 2 01， 即 x0 1， 当 x01 时
9、， 切线 l 的方程为 y(1)212x2(1)2， 即 y2x. 当 x01 时， 切线 l 的方程为 y1212x212， 即 y2x. 所以过点 P(0，0)且与曲线 C 相切的切线方程为 y2x 或 y 2x. 1 本题中的切线 l 的方程 yx2 012x0(xx0)具有一般 性，即它代表了曲线 C 上任意一点处的切线方程 2求过曲线 yf(x)外点 P(x1，y1)的切线的步骤 (1)设切点(x0，f(x0) (2)利用所设切点求斜率 k y x. (3)用(x0，f(x0)，P(x1，y1)表示斜率 (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k. (5)根据点斜式写出切线方程
10、试求过点P(3，5)且与曲线yx2相切的直线方程 【解】 y y x （xx）2x2 x 2x. 设所求切线的切点为 A(x0，y0) 点 A 在曲线 yx2上， y0x2 0， 又A 是切点， 过点 A 的切线的斜率 y|xx02x0， 所求切线过 P(3，5)和 A(x0，y0)两点， 其斜率为y 05 x03 x2 05 x03. 2x0x 2 05 x03， 解之得 x01 或 x05. 从而切点 A 的坐标为(1，1)或(5，25) 当切点为(1，1)时，切线的斜率为 k12x02； 当切点为(5，25)时，切线的斜率为 k22x010. 所求的切线有两条，方程分别为 y12(x1)
11、和 y 2510(x5)，即 y2x1 和 y10x25. 求函数yx33x2x的图象上过原点的切线方程 混淆曲线混淆曲线“在某点在某点”和和“过某点过某点”的切线致误的切线致误 【错解】 yf(x)f(0)(x)33(x)2x， y x13x(x) 2， f(0)13x(x)21. 故所求切线方程为 yx. 【错因分析】 本题中原点在函数的图象上，误认为原点就是切点， 混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别，导致解题失 误 【防范措施】 求曲线的切线时，注意区分“求曲线yf(x)上过点M 的切线”与“求曲线yf(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过 M点，M点未必是切点，因此求
12、解时应先设出切点坐标；而后者则很 明确，切点就是M点 【正解】 设切点坐标为(x0，y0)，则 y0x3 03x 2 0x0， yf(x0x)f(x0) (x0x)33(x0x)2(x0x)(x3 03x 2 0x0) 3x2 0x3x0(x) 26x 0x(x) 33(x)2x， y x3x 2 03x0x6x01(x) 23x， f(x0) y x3x 2 06x01. 切线方程为 y(x3 03x 2 0x0)(3x 2 06x01) (xx0) 切线过原点， x3 03x 2 0x03x 3 06x 2 0x0， 即 2x3 03x 2 00， x00 或 x03 2， 故所求切线方程
13、为 xy0 或 5x4y0. 1求曲线在点(x0，y0)处的切线方程 已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然 后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0) 2求曲线过点(x0，y0)的切线方程 已知点(x0，y0)不论在不在曲线上都不一定是切点，故先设出切 点坐标，写出切线方程，然后利用已知点(x0，y0)在切线上，求 出切点坐标进而求出切线方程 3若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的导数f(x0)不存在，则切线与 y轴平行或重合；若f(x0)0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若 f(x0)f(xB) Bf(xA)f(xB) Cf(xA)
14、f(xB) D不能确定 图 116 【解析】 由图象易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kAkB0.由导 数的几何意义，得f(xA)f(xB) 【答案】 B 3如图 117 所示，函数 yf(x)的图象在点 P 处的 切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)_ 图 117 【解析】 点P(5，y)在直线yx8上， f(5)3. 又由导数的几何意义可知f(5)1， f(5)f(5)312. 【答案】 2 4已知曲线f(x)x2的一条过点P(x0，y0)的切线，求： (1)切线平行于直线yx2时切点P的坐标及切线方程； (2)切线垂直于直线2x6y50时切点P的坐标及切线方程； (3)切线与x
15、轴正方向成60的倾斜角时切点P的坐标及切线方程 【解】 f(x0) （x0x）2x2 0 x 2x0. (1)因为切线与直线 yx2 平行， 所以 2x01，x01 2， 即 P 1 2， 1 4 ， 所以切线方程为 y1 4 x1 2 ，即 4x4y10. (2)因为切线与直线 2x6y50 垂直， 所以 2x01 31，x0 3 2，即 P 3 2， 9 4 . 所以切线方程为 y9 43 x3 2 ，即 12x4y90. (3)因为切线与 x 轴正方向成 60的倾斜角， 所以切线的斜率为 3， 即 2x0 3，x0 3 2 ， 所以 P 3 2 ，3 4 ， 所以切线方程为 y3 4 3
16、 x 3 2 ， 即 4 3x4y30. 已知曲线f(x)x21和g(x)x3x在其交点处两切线的夹角为，求cos . 【思路探究】 要求cos 的值，需求两曲线的交点及两曲线在切点处 切线的斜率，利用向量的数量积求解 (教师用书独具教师用书独具) 【自主解答】 由 yx21， yx3x 得 x3x2x10，即(x 1)(x21)0，得 x1， 交点为 P(1，2) f(1) （1x）212 x 2， g(1) （1x）31x（11） x 4， 切线 l1的方向向量为 a(1， 2)， 切线 l2的方向向量为 b(1，4)， 则 cos a b |a|b| 9 5 17 9 85 9 85 8
17、5. 与导数几何意义相关题目的解题策略： (1)导导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的 相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题 (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导 数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常 设的未知量 求证：函数 yf(x)x1 x图象上各点处的切线斜率都小 于 1. 【证明】 y f（xx）f（x） x xx 1 xx x1 x x xx（xx）x （xx） x x （xx）x1 （xx）x x 21 x2 1 1 x2， 因为对于定义域内的任意 x， 都有 1 1 x21， 所以 yx1 x图象上各点处的切线斜率都小于 1.
