1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 思思 想想 方方 法法 技技 巧巧 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 32 复数的运算 32. 1 复数的加法与减法 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 掌握复数代数形式的加法掌握复数代数形式的加法、减法运算法则减法运算法则，能进行复数能进行复数 代数形式加法代数形式加法、减法运算减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几理解并掌握复数加法与减法的几 何意义何意义 2过程与方法 培养学生渗透转化、数形结合的数学思
2、想方法，提高学生分析问题、 解决问题以及运算的能力 3情感、态度与价值观 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培 养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研 精神 重点难点 重点：复数代数形式的加、减法的运算法则及几何意义 难点：复数加法、减法的几何意义 【问题导思】 1多项式的加减实质就是合并同类项，想一想复数如何加减？ 【提示】 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相 加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 2复数的加法满足交换律和结合律吗？ 【提示】 满足 复数的加法与减法 (1)复数的加法与减法运算法则 设abi和cd
3、i是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a bi)(cdi) ， (abi)(cdi) ，即两个复数相加(减)就是实部与 实部、虚部与虚部分别 ，其结果仍然是一个 (2)复数加法的运算律 交换律：z1z2z2z1； 结合律：(z1z2)z3z1(z2z3). (ac)(bd)i (ac)(bd)i 相加相加(减减) 复数复数 【问题导思】【问题导思】 设向量设向量OZ1 ，OZ2 分别与复数分别与复数 abi，cdi 对应对应 1试写出试写出OZ1 ，OZ2 及及OZ1 OZ2 ，OZ1 OZ2 的坐的坐 标标 【提示】【提示】 OZ1 (a，b)，OZ2 (c，d)，OZ1 OZ2
4、 (ac，bd)，OZ1 OZ2 (ac，bd) 2向量向量OZ1 OZ2 ，OZ1 OZ2 对对应的复数分别是什应的复数分别是什 么？么？ 【提示】【提示】 向量向量OZ1 OZ2 对应的复数是对应的复数是(ac)(b d)i，也就是，也就是 z1z2，向量，向量OZ1 OZ2 对应的复数是对应的复数是(a c)(bd)i，也就是，也就是 z1z2. 复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义 设复数设复数 z1，z2对应的向量为对应的向量为OZ1 ，OZ2 ，则复数，则复数 z1 z2是以是以OZ1 ，OZ2 为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的 所所 对应的复数，对应的复数，z1z2是
5、连接向量是连接向量OZ1 和和OZ2 的终点的终点并指向并指向 _所对应的复数所对应的复数 对角线对角线OZ OZ1 的向量的向量 【思路探究】 (1)根据复数的加、减法法则计算 (2)设zabi(a，bR)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通 过移项求解 (1) 1 3 1 2i (2i) 4 3 3 2i _； (2)已知复数已知复数 z 满足满足 z13i52i，求，求 z； (3)已知复数已知复数 z 满足满足|z|z13i，求，求 z. 【答案】 1i (3)设设 zxyi(x，yR)，则，则|z| x2y2，再根据复，再根据复 数相等求解数相等求解 【 自 主 解 答 】【
6、自 主 解 答 】 (1) 1 3 1 2i (2 i) 4 3 3 2i 1 3 24 3 1 2 13 2 i 1i. (2)法一 设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(1 3i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i. 法二法二 因为因为 z13i52i，所以，所以 z(52i)(1 3i)4i. (3)设设 zxyi(x，yR)，则，则|z| x2y2，又，又|z|z 13i，所以，所以x2y2xyi13i，由复数相等得，由复数相等得 x2y2x1， y3， 解得解得 x 4， y3， 所以所以 z43i. 1复数加减运算的方法技巧： (1)可把复数运算
7、类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没 有括号，可以从左到右依次进行 (2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运 算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错 2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设za bi(a，bR) 若把本例(3)中的等式改为|z|iz13i，如何求z? 【解】【解】 设设 zxyi(x，yR)，则，则|z| x2y2， 又又|z|iz13i，所以，所以 i x2y2xyi13i，由，由 复数相等得复数相等得 x2y2y3， x1， 解得解得 x1， y4 3， ， 所以所以 z14 3i. 如图321所示，平行四边
8、形OABC的顶点O，A，C分 别表示0，32i，24i.求： (1)AO 表示的复数；表示的复数； (2)对角线对角线CA 表示的复数；表示的复数； (3)对角线对角线OB 表示的复数表示的复数 【思路探究】 明确向量运算与复数运算的关系，先求向量再计算复 数 【自主解答】【自主解答】 (1)因为因为AO OA ，所以，所以AO 表示的表示的 复数为复数为32i. (2)因为因为CA OA OC ，所以对角线，所以对角线CA 表示的复数为表示的复数为 (32i)(24i)52i . (3)因为对角线因为对角线OB OA OC ，所以对角线，所以对角线OB 表示的表示的 复数为复数为(32i)(
9、24i)16i. 任何向量所对应的复数都是这个向量的终点所对应的复数减去起点所 对应的复数所得的差，切不可把被减数与减数搞错 (1)已知复平面内的平面向量已知复平面内的平面向量OA ， AB 表示的复数分表示的复数分 别是别是2i， 32i， 则向量， 则向量OB 所表示的复数的模为所表示的复数的模为( ) A. 5 B. 13 C. 10 D. 26 (2)复平面内三点复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为点对应的复数为 2i， 向量向量BA 对应的复数为对应的复数为 12i， 向量， 向量BC 对应的复数为对应的复数为 3i， 求点求点 C 对应的复数对应的复数 【答案】 C 【解】
10、【解】 (1)OB OA AB ， 向量向量OB 对应的复数是对应的复数是(2i)(32i)13i， 且且|13i| 19 10. (2)BA 对应的复数为对应的复数为 12i，BC 对应的复数为对应的复数为 3i. AC BC BA 对应的复数为对应的复数为 (3i)(12i)23i. 又又OC OA AC ， C 点对应的复数为点对应的复数为(2i)(23i)42i. 数形结合思想在复数中的应用 (12分)复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，42i，由 ABCD按逆时针顺序作ABCD，求|. 【思路点拨】 首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由 点B的坐标求解出点D的坐
11、标 【规范解答】【规范解答】 如图，设如图，设 D(x，y)，F 为为 ABCD 的对的对 角线的交点，则点角线的交点，则点 F 的坐标为的坐标为 2，3 2 ， 4 分分 所以所以 x 14， y03，即 即 x 3， y3. 8 分分 所以点所以点D对应的复数为对应的复数为z33i， 所以， 所以BD OD OB 33i123i，所以，所以|BD | 13. 12 分分 1(2014商洛高二检测)复数(1i)(2i)3i等于( ) A1i B1i Ci Di 【解析】 原式(12)(113)i1i. 【答案】 A 2已知复数z3i333i，则z( ) A0 B6i C6 D66i 【解析】
12、 z3i333i， z(33i)(3i3)66i. 【答案】 D 【答案】 55i 3设设 O 是原点，向量是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为对应的复数分别为 2 3i，32i，那么向量，那么向量BA 对应的复数是对应的复数是_ 【解析】【解析】 因为因为BA OA OB ，所以，所以BA 对应的复数对应的复数 是是(23i)(32i)55i. 4计算：计算： (1) 21 2i 1 2 2i ； (2)(32i)( 32)i； (3)(12i)(ii2)|34i|； (4)(63i)(32i)(34i)(2i) 【解】【解】 (1)原式原式 21 2 1 2 2 i5 2 5 2i；
13、 ； (2)原式原式3(2 32)i3 3i； (3)原式原式(12i)(i1) 3242 ( (115)(21)i53i； (4)原式原式633(2)32(4)1i 82i. 设z为复数，且|z|z1|1，求|z1|的值 【思路探究】 由待定系数法，设zabi(a，bR)，代入已知条件 求出a、b的值，再求|z1|的值 【自主解答】【自主解答】 设设 zabi(a，bR)，则，则 z1(a 1)bi， 又又|z|z1|1， a2b21， （a1）2b21， 即即 a2 b21， a2b22a0，解得 解得 a 1 2， ， b23 4， ， |z 1| |(a bi) 1| |(a 1) bi| （a1）2b2（1 2 1）23 4 3. 求复数的模应把复数化简成abi的形式然后根据复数模的定义求 解 在本例中，若将“条件|z|z1|1”改为“|z|1”，则|z1| 的取值范围如何？ 【解】【解】 设设 zxyi(x， yR)， 则由， 则由|z|1可得可得 x2y2 1， 即即 x2y21，x，y1，1 则则|z1| （x1）2y2 22x， 又因为又因为 x1，1，所以，当，所以，当 x1 时，时，|z1|有有 最大值，最大值为最大值，最大值为 2， 当x1时，|z1|有最小值，最小值为0.|z1|0，2
