1、庄河高中数学组庄河高中数学组 李天作李天作 异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0, 2 A B CD 1 D ,与 的关系？CD AB 思考：思考： ,与 的关系？DC AB 结论：结论： |cos,|a b | 一、线线角：一、线线角： ab ，ab ， abCDAB设直线方向向量方的的向向量为 ，为 a a b b 所以 与 所成角的余弦值为 A 1 A B 1 B C 1 C 1 D1 F x y z 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz 1 1CC (1,0,0),(0,1,0),AB 11 11 1 ( ,0,1),( ,1) 22 2
2、 FD 所以： 1 1 (,0,1), 2 AF 1 11 ( ,1) 22 BD 11 cos,AF BD 11 11 | AF BD AFBD 1 1 30 4 1053 42 1 BD 1 AF 30 10 例一：例一： 0 90 ,中，现将沿着Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC 1 ，BCCACC 11 求与所成的角的余弦值.BDAF 111 平移到位置，已知ABC 1111 取、的中ABAC 111111 取、的中点 、 ，ABACDF 斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角 平面的一条斜线平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影 所成的所成的锐角锐角 A
3、O B 二、线面角二、线面角 当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是线与平面所成的角是90 当直线在平面内或当直线在平面内或 与平面平行时，与平面平行时， 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 是是0 斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角 （ 0, 90） 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 0, 90 异面直线所成的角异面直线所成的角 （ 0, 90 A O B M 如图如图,直线直线OA与平面与平面所成的角为所成的角为 1,平平 面面内一条直线内一条直线OM与与OA的射影的射影OB所所 成的角为成的角为 2,设设AOM为为 求证求证:cos = cos 1 co
4、s 2 最小角原理最小角原理 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。 若直线若直线 l1与平面所成的角为与平面所成的角为60 ，则这条直线与，则这条直线与 平面内的直线所成的一切角中最小的角为平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ， 最大的角为最大的角为 。 90 60 S A B O F E 如图，如图， ACB=90 ，S为平面为平面 ABC外一点，外一点， SCA= SCB= 60 ，求，求SC与平面与平面ACB所成的角所成的角 4 2 n BA ， 直线与平面所成角的范围： 0,
5、2 A B O , 设平面 的法向量为 ，则 与 的关系？ n n BA 思考：思考： 结论：结论： sin|cos,|n AB 二、线面角：二、线面角： n n B A A B 2 n BA ， 例1： 1111 ABCDABC D的棱长为1. 111 .BCABC求与面所成的角 正方体 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D x y z (0 0 0)A ， ，1(101)B， ， (110)C ， ， 设正方体棱长为设正方体棱长为1， 1 AB AD AA， ， 为单以以 1 (101)(110)ABAC， ， ， 1(111) C， ， 11 (010)BC 则， ， 1 ()
6、ABCnxyz设为， ，平平面面的的法法向向量量 1 00n ABn AC则， 0 =1 0 = -1 xz xy n = (1 -1 -1) ， ， ， ， x yz 所所以以取取 得得故故 位位正正交交基基底底，可可得得 11 0 1 03 cos 313 n BC ， 111 3 所以与面所成的角的正弦值为。 3 BCABC 例例2、如图所示，在四棱锥、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是 正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中的中 点。点。 (1)证明：证明：PA/平面平面EDB； (2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正
7、切值。所成的角的正切值。 A B C D P E G x y z A B C D P E G x y z (1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点 DADC DP以， ， 为正交基底建立空间 直角坐标系。如图所示。则 (0 0 0)(0 01)(10 0) (010)(110) DPA CB ， ， ， ， ， ， ，(101)PA， ， 1 1 (0) 2 2 EPCE又 为中点，点坐标为 ， 1 1 (0) 2 2 GBDG 为中点，点坐标为， 11 (0) 22 EG， ， 2/PAEGPAEGPAEGPAEG可得。因为与
8、不共线，所以 /PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面 (2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。 A B C D P E G x y z (1)(0 0 0)(0 01) 1 1 (110)(0) 2 2 DP BE 由知， ， ， ， ， PDABCDPDABCD解：因为平面，所以是平面的法向量。 11 (0 01)(1) 22 PDEB， ， ， 1 00 6 2 cos 63 1 2 PD EB ， 所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为 6 6 所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为 5
9、5 庄河高中数学组庄河高中数学组 李天作李天作 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成分成 两个部分两个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两分成两 个部分个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射线射线。 2 O B A A B 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做图形叫做二面角二面角。 这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。 这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。 3 定义: A B 二面角二面角 AB l
10、 二面角二面角 l 二面角二面角CAB D A B C D 5 O B A AOB 表示方法： l O O1 A B A1 B1 A O B A1O1B1 ？ 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在 两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这于棱的两条射线，这 两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 平面角是平面角是直角直角的二的二 面角叫做面角叫做直二面角直二面角 9 二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量 度量： 二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边
11、都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在 两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这 两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 10 l O A B :0, 范围 A B D C A1 B1 D1 C1 在正方体在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD 的大小？的大小？ O l l 三、面面角：三、面面角： 二面角的范围： 0, 法向量法法向量法 1 n 1 n 2 n 2 n12 n n， 12
12、 n n， 12 n n， 12 n n， cos 12 cos,n ncos 12 cos,n n 注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 解：以解：以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 则则B(0,1,0) )0, 4 1 , 4 3 (D 取取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1n y x z C A D B C1 B1 A1 由由 得得 mDBm
13、DC, 1 1 312 0, 442 C D mxyz0 4 3 4 3 yxmDB 解得解得 zyx 2 6 3 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m 二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD 1 nm , cos = nm , 2 2 23 3 nm nm 即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD 1 2 2 ) 2 2 , 0 , 0( 1 C) 2 2 , 4 1 , 4 3 ( 1 DC ) 0 , 4 3 , 4 3 ( DB 例例.正三棱柱正三棱柱 中中，D是是AC的中点的中点， 当当 时时，求二面角求二面角 的余弦值的余弦值。 111 CBAABC 11 BC
14、AB CBCD 1 证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底， 建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得 1 DA DC DD、 、 1 (2 0 0)(0 2 0)(0 01) (2 2 2)(110) ACM BO ， ， ， ， ， ， ，。 1 (2 01)(0 21) ( 112) MAMC BO 所以， ， ， ， ， ， ， 11 20200220BO MABO MC ， 11 BOMABOMC所以 ， 11 BOMABOMCMAMCC即 ， 。又 1 BOMAC所以平面 1.1.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2， O为为AC和和BD的交点，的交点
15、，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. . 1111 DCBAABCD 1 DD OB 1 1 BMA C B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z 1 BOMAC由知 平面 B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z 1 BOMAC所以是平面的一个法向量 1 (2 0 0)(0 01)(2 2 2)AMB由， ， ， ，得 1 ()BMAnxyz设平面的一个法向量为， ， 1 (201)(2 21)MAMB， ， ， ， 1 00 200 21-2 220 n MAn MB
16、xz zxy xyz 所以， 即 取 = 得 = ， = 1 (12 2) BMA n 所以平面的一个法向量为 ， ， 1 ( 112)BO 且， ， 1 1 246 cos 669 BOn ， 1 6 6 BMAC所以二面角的余弦值为。 小结：小结： 1.异面直线所成角： cos|cos,|a b 2.直线与平面所成角： sin cos,n AB | A B CD 1 D A B O n a b a n l coscos, AB CD AB CD AB CD D C B A 3.二面角： l l 1 n 1 n 2 n 2 n 一进一出，一进一出， 二面角等于二面角等于 法向量的夹法向量的夹 角；角； 同进同出，同进同出， 二面角等于二面角等于 法向量夹角法向量夹角 的补角。的补角。 cos 12 cos,n n cos 12 cos,n n 欢迎你的提问！ 课本第 108.111页练习题、习题 能力培养
