1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 11.2 瞬时速度与导数瞬时速度与导数 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 (1)了解瞬时速度了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；瞬时变化率的概念； (2)理解导数的概念理解导数的概念，会求函数在某点的导数或瞬时变化会求函数在某点的导数或瞬时变化 率率 2过程与方法 (1)通过对大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程，了解导
2、数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； (2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； (3)通过问题的探究体会逼近、类比、从已知探求未知、从特殊到一般 的数学思想方法 3情感、态度与价值观 (1)通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的 科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想； (2)通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难， 从而激发学生学习数学的兴趣； (3)通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于 反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和 合作精神 重点难点 重点：函数在某点处附近的瞬时
3、速度、瞬时变化率的概念及导数概念 的形成 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数概念的理解 课 标 解 读 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点处的瞬时变化率(重点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难 点) 4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念( 易混点) 瞬时速度、导数的概念瞬时速度、导数的概念 【问题导思】 物体作自由落体运动的方程是 s(t)1 2gt 2. 1试求物体在3，3 t这段时间内的平均速度？ 【提示】 s1 2g(3t) 29 2g3gt 1 2g(t) 2，
4、 vs t 3g1 2gtg 31 2t . 2当t趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速 度？ 【提示】 当t 趋近于 0 时， s t 趋近于 3g，这时的平 均速度即为 t3 时的瞬时速度 1物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当_时，函数f(t) 在t0到t0t之间的平均变化率_趋近于常数，这个常 数称为t0时刻的瞬时速度 t趋近于趋近于0 还可以说：当 x0 时，函数平均变化率的极限等于函 数在 x0的瞬时变化率 l，记作 f（x0 x）f（x0） x l. 4函数的导数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 的，则称f(x)在区间(a，
5、b)可 导，这样，对开区间(a，b)内的每个值x，都对应一个 ，于是在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为 函数yf(x)的导函数，记为 都是可导都是可导 确定的导数确定的导数f(x) f(x)或或y(或或yx) 求物体运动的平均速度与瞬时速度求物体运动的平均速度与瞬时速度 若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)： s 3t22， 293（t3）2， t3， 0t3. 求：(1)物体在 t3，5内的平均速度； (2)物体在 t1 时的瞬时速度； (3)物体的初速度 v0. 【思路探究】 (1)求s t ，注意解析式的选择 (2)先求s t ，再求瞬时速度 s(1) (
6、3)初速度 v0为 t0 时的瞬时速度 s(0) 【自主解答】 (1)物体在 t3，5内的时间变化量为 t532， 物体在 t3，5内的位移变化量为 s3522(3322)3(5232)48， 物体在 t3，5上的平均速度为 s t 48 2 24(m/s) (2)物体在 t1 时的瞬时速度即为函数在 t1 处的瞬时 变化率 物体在 t1 附近的平均变化率为 s t 293（1t3）2293（13）2 t 3t 12， 物体在 t1 处的瞬时变化率为 s(1) s t (3t12)12(m/s)， 即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s. (3)求物体的初速度 v0，即求物体在 t0 时的
7、瞬时速度 物体在 t0 附近的平均变化率为 s t f（0t）f（0） t 293（0t）3 2293（03）2 t 3t18， 物体在 t0 处的瞬时速度为 s(0) s t (3t18)18 (m/s)， 即物体的初速度为18 m/s. 1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率，导致无从下手 是解答本题的常见错误 2若物体运动路程与时间的关系为ss(t)，则物体在tt0时刻的瞬时 速度即为s(t0) 3求运动物体瞬时速度的三个步骤： 第一步：求时间改变量t 和位置改变量ss(t0t) s(t0)； 第二步：求平均速度 vs t ； 第三步：求瞬时速度：当t 无限趋近于 0，s t 无限
8、趋 近于常数 v，即为瞬时速度 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位： s)若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值 【解】 ss(2t)s(2) a(2t)21a 2214ata(t)2， s t 4aat， 在 t2 s 时，瞬时速度为 s(2) (4aat)4a. 4a8， a2. (1)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点 处的导数 (2)求函数y3x2在x1处的导数 【思路探究】 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率， 再求f(x0) 函数在某点处的导数函数在某点处的导数 【自主解答】 (1)yf(1x)
9、f(1)(1 x)2(1x)23x(x)2， y x 3x（x）2 x 3x， f(1) y x (3x)3. (2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3( x)2， y x63x， f(1) y x (63x)6. 1通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于y 与x的比值，认识和理解在x逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常 数A这一现象 2求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤： 简称：一差、二比、三极限简称：一差、二比、三极限 求函数 f(x)x1 x在 x1 处的导数 【解】 y(1x) 1 1x 11 1 x1 1 1xx x 1x， y x x x 1x x
10、1 1 1x， f(1) y x 1 1 1x 2. 【思路探究】 利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极 限式恒等变形，转化为导数定义的结构形式 求函数的平均变化率求函数的平均变化率 设函数 f(x)在点 x0处可导，试求下列各式的值 (1) f（x0 x）f（x0 x） 2 x ； (2)若 f(x0)5，求 f（x0 x）f（x0） 2 x . 【自主解答】 (1)原式 f（x0x）f（x0）f（x0）f（x0x） 2x 1 2 lim x0 f（x0x）f（x0） x lim x0 f（x0x）f（x0） x 1 2f(x0)f(x0)f(x0) (2)f(x0) f（
11、x0x）f（x0） x 5， f（x0x）f（x0） 2x 1 2 fx0（x）f（x0） x 1 2f(x0) 5 2. 概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，才 能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导 数定义的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决 这类问题的关键就是等价变形，使问题转化 设函数 f(x)在 x0处可导，求下列各值 (1) f（x02 x）f（x0） x ； (2) f（x0m x）f（x0） x . 【解】 (1) f（x02x）f（x0） x 2 f（x02x）f（x0） 2x 2f(x0) (2) f（x0mx）
12、f（x0） x m f（x0mx）f（x0） mx mf(x0) 忽视导数定义中x与y的对应关系 设 函 数y f(x) 在x x0处 可 导 ， 且 f（x03 x）f（x0） x 1，则 f(x0)等于( ) A1 B1 C1 3 D. 1 3 【错解】 f（x03x）f（x0） x f（x03x）f（x0） 3x 3 3f(x0)1，所以 f(x0)1 3，故选 D. 【答案】 D 【 错 因 分 析 】 在 导 数 的 定 义f(x0) f（x0x）f（x0） x 中，x 是 f(x0x)与 f(x0)中的两个 自变量的差，即(x0x)x0.初学者在求解此类问题时容易 忽略分子与分母相
13、应的符号的一致性 【防范措施】 在利用导数的定义求函数在某一点的 导数时， y x中x 是分子中被减数的自变量减去减数的 自变量的差，要深刻理解以防出错 【正解】 f（x03x）f（x0） x f（x03x）f（x0） 3x （3） 3f(x0)1， f(x0)1 3，故选 C. 【答案】 C 本节课通过实例，引出了瞬时速度、瞬时变化 率的概念，进而形成了导数的概念，体现了从特殊 推向一般的思想和方法， 利用导数的定义求函数在 某一点的导数包含着函数平均变化率的求法， 揭示 了函数平均变化率与函数瞬时变化率之间的关系， 其中在求 y x时要注意分子与分母的一致性 1已知函数 yf(x)，下列说
14、法错误的是( ) A yf(x0 x)f(x0)叫函数增量 B. y x f（x0 x）f（x0） x 叫函数在x0，x0 x上 的平均变化率 Cf(x)在点 x0处的导数记为 y Df(x)在点 x0处的导数记为 f(x0) 【解析】 f(x)在点x0处的导数应记为f(x0) 【答案】 C 【解析】 根据导数的定义知，C正确 【答案】 C 2物体自由落体的运动方程为 s(t)1 2gt 2，g9.8 m/s2，若 v lim s（1 t）s（1） t 9.8 m/s，那么下列说法中正确的是 ( ) A9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率 B9.8 m/s 是 1 s
15、 到(1 t)s 这段时间内的速率 C9.8 m/s 是物体在 t1 s 这一时刻的速率 D9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1 t)s 这段时间内的平均速率 3 若 f(1)2 014， 则 f（1 x）f（1） x _ 【解析】 f（1x）f（1） x f（1x）f（1） x f(1) 2 014. 【答案】 2 014 4(2014 大连高二检测)如果一个质点由定点 A 开始运 动，在时间 t 的位移函数为 yf(t)t33， (1)当 t14， t0.01 时，求 y 和比值 y t ； (2)求 t14 时， y t 的值； (3)说明 y t 的几何意义 【解】 (1)yf(t
16、1t)f(t1) 3t2 1t3t1(t) 2(t)3，故当 t 14，t0.01 时， y0.481 201，y t 48.120 1. (2) y t 3t2 13t1t(t) 23t2 148. (3)y 是质点在t 这段时间内的位移，所以y t 表示质 点在t 这段时间内的平均速度，故 y t 表示质点在时刻 t1 的瞬时速度 航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)5t330t245t4， 其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义 【思路探究】 (1)
17、明确h、t的含义，然后解答 (2)求函数h(t)从t0到t1的平均变化率 (3)即求h(1) (教师用书独具教师用书独具) 【自主解答】 (1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度， h(1)表示航天飞机发射 1 s 后的高度 (2)h t h（1）h（0） 10 80(m/s)， 即第 1 s 内高度的平均变化率为 80 m/s. (3)h(1) h t h（1t）h（1） t 5(t)245 t120120 m/s，即第 1 s 末高度的瞬时变化率为 120 m/s. 它说明在第 1 s 末附近，航天飞机的高度大约以 120 m/s 的速度增加 1平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均
18、速度，物体受 热膨胀率，高度(重量)的平均变化率，等等解决这些问题的关键在 于找准自变量和因变量 平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函 数值在减少 2瞬时变化率的几种变形形式： f（x0 x）f（x0） x f（x0 x）f（x0） x f（x0n x）f（x0） n x f（x0 x）f（x0 x） 2 x f(x0) “菊花”是最壮观的烟花之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆 裂如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t) 4.9t214.7t18，求烟花在t2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后 的运动状况 【解】 因为h t h（tt）h（t） t 9.8t4.9t14.7， 所以 h(t) h t (9.8t4.9t14.7) 9.8t14.7， 所以h(2)4.9， 即在t2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降 由h(t)0得t1.5，所以在t1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为 0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，所以烟 花以越来越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越 大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地
