1、第十九章第十九章 虚数理论虚数理论引入虚数概念的好处在于：引入虚数概念的好处在于：不必再由实变量的限制而区分各种情况，并使一些定不必再由实变量的限制而区分各种情况，并使一些定理得到统一的阐述而不致有例外的情况。理得到统一的阐述而不致有例外的情况。两个方面的拓展：两个方面的拓展：将虚数引入齐次坐标将虚数引入齐次坐标，研究二次曲线极线系统。，研究二次曲线极线系统。一、一、1 1 平面上引入齐次坐标平面上引入齐次坐标,并允许并允许 取复值，将（取复值，将（0,0,0）除外。）除外。与线性方程与线性方程 其中（其中（1）为一条）为一条二次曲线二次曲线的方程，（的方程，（2）为）为一次曲线一次曲线的方程
2、即一条的方程即一条直线直线 联立（联立（1），（），（2），得这个方程组正好有两组解），得这个方程组正好有两组解结论结论1：二次曲线与一次曲线有两个交点。二次曲线与一次曲线有两个交点。这两个交点可以是这两个交点可以是实的或复的实的或复的，有限的或无穷的有限的或无穷的，不同的或重合的不同的或重合的。类似的情形类似的情形,我们考虑两条二次曲线相交则有如下定理：我们考虑两条二次曲线相交则有如下定理：结论结论2：两曲线总有两曲线总有4个公共点。个公共点。一、一、2 2 空间中引入齐次坐标空间中引入齐次坐标结论结论3 3：一个二次曲面与一个平面的交线为一条二次曲线；一个二次曲面与一个平面的交线为一条二次
3、曲线；结论结论4 4：两个曲面的交线为一条空间四次曲线，它与任一平面两个曲面的交线为一条空间四次曲线，它与任一平面 相交相交4 4个点个点。并指定为除（并指定为除（0 0，0 0，0 0，0 0）以外的任意值。）以外的任意值。这这4 4个变量的个变量的 线性齐次方程的全部解，称为线性齐次方程的全部解，称为一次曲面一次曲面（平面）；（平面）；二次齐次方程的全部解，则为二次齐次方程的全部解，则为二次曲面二次曲面。彭赛列（17881867）Poncelet，Jean-Victor 法国数学家。1788年7月1日生于梅斯，1867年12月22日卒于巴黎。1810年毕业于巴黎综合工科学校，后到梅斯工程学
4、校任工程教官。1812年随拿破仑军队远征俄国，在克拉斯诺耶被俘。在俘虏营的2年中，他回忆、思考了所学过的数学，创立了射影几何学。1815年把在俘虏营中取得的成果写成论图形的射影性质一书。1831年选入巴黎理学院。1835年成为国防委员会的成员。18381848年，任巴黎大学力学教授，18481858年以将军衔任巴黎综合工科学校校长。彭赛列致力于研究图形经过任意中心射影的不变性，提出交比的概念。引进“无穷远”元素，并且作了系统的发展。他还研究了二次曲线和曲面的配极理论，并由此导致一般的对偶原理。此外，他直观地讨论了一类图在一定范围内连续变动时所保持的性质，并应用于虚元素。他的工作对19世纪数学的
5、发展有重大的影响。从圆的方程出发：从圆的方程出发：将之写成齐次坐标形式：将之写成齐次坐标形式：彭赛列的成就：彭赛列的成就：虚圆点虚圆点 用同样的方法我也可以证明，用同样的方法我也可以证明，每个球面与无穷远直线每个球面与无穷远直线交与相同的虚圆锥曲线交与相同的虚圆锥曲线其逆也是对的：其逆也是对的：每个二次曲线如果通过在它的平面的虚圆点，则是一个圆；每个二次曲线如果通过在它的平面的虚圆点，则是一个圆；每个二次曲面如果包含虚球面圆，则是球面。每个二次曲面如果包含虚球面圆，则是球面。圆 与 球 面 的特 征彭赛列的成就：彭赛列的成就：虚球面圆 从原点到虚圆点的距离具有形式：从原点到虚圆点的距离具有形式
6、：=0/0 此式为不定式，根据趋向虚圆点的方式可以对他们此式为不定式，根据趋向虚圆点的方式可以对他们指定任意的极限值，也就是说从原点到虚圆点的距离指定任意的极限值，也就是说从原点到虚圆点的距离而并不一定是无穷。而并不一定是无穷。从原点到虚圆点的距离是无穷的吗？从原点到虚圆点的距离是无穷的吗？类似地，任何有限点到虚圆点的距离是不定的，类似地，任何有限点到虚圆点的距离是不定的，空间任意点到虚球面圆的距离也是不定的。空间任意点到虚球面圆的距离也是不定的。问题：虚变换它表示一个具有虚系数的共线变换，并虚变换它表示一个具有虚系数的共线变换，并能把我们考虑的虚点变成实点。因此在虚圆点理论能把我们考虑的虚点
7、变成实点。因此在虚圆点理论中，可以利用变换：中，可以利用变换：什么是什么是“虚变换虚变换”？问题我们应该如何想象平面上的一条二次曲线？我们应该如何想象平面上的一条二次曲线？在一维的范围内当我们用一条直线，例如在一维的范围内当我们用一条直线，例如，轴，轴 与曲线相交时，无论交点是否为实的，都由实系数方与曲线相交时，无论交点是否为实的，都由实系数方程程给出。给出。同样地，在出现复根的情形下，能否对它们赋予几同样地，在出现复根的情形下，能否对它们赋予几何意义？何意义？二、二次曲线极线系统二、二次曲线极线系统斯图特的思想如下：斯图特的思想如下：首先，从二次曲线的极线系统入手：首先，从二次曲线的极线系统
8、入手：轴的极线系统为：轴的极线系统为：用用 轴与该曲线相交，将得到一个由方程：轴与该曲线相交，将得到一个由方程：给出的一维的极线系统。给出的一维的极线系统。都是实系都是实系数数 在这个极线系统中，总是使两个实点处于彼此可互逆的在这个极线系统中，总是使两个实点处于彼此可互逆的关系中。关系中。X X轴与曲线的各个交点是在这个极线系统中的两个轴与曲线的各个交点是在这个极线系统中的两个自相对应的点称之为自相对应的点称之为基本点或阶点基本点或阶点。它们可以是实的也可以。它们可以是实的也可以是虚的，这对于我的研究来说只是次要的，主要的还是在于是虚的，这对于我的研究来说只是次要的，主要的还是在于这个这个极线关系是它的实表示极线关系是它的实表示。因为因为A、D、F都是实的都是实的从而，从点从而，从点做出的两条直线是垂直的。做出的两条直线是垂直的。主要内容：一：虚点、平面、圆锥曲线相交的解析表示。一：虚点、平面、圆锥曲线相交的解析表示。二：虚点、平面、圆锥曲线的纯几何意义。二：虚点、平面、圆锥曲线的纯几何意义。
