1、两个原理两个原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理计数原理计数原理排列排列组合组合定义定义排列应用题排列应用题排列数排列数定义定义公式公式定义定义组合应用题组合应用题组合数组合数定义定义公式公式性质性质排排列列组组合合的的综综合合应应用用 名称内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同点相同点不同点不同点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成每次得到的是最后结果每次得到的是最后结果间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成每次得到的是中间结果每次得到的是中间结果做一
2、件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2
3、m3mn 种不同的方法种不同的方法.1.1.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!(!mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的
4、个数所有组合的个数11mmnnAnA例1 北京市丰台区高三练习如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（）63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种分析:由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知 222222-1=63一一.把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础小结：本题主要考查了二个原理、分类讨论的思想。以物理问题为背景（或其它背景如以英语单词）的排列、组合应用题，显得小巧有新意.练习将3种作物种植在如图所示的5块实验田里，每块种植一种作物
5、且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有_种(以数字作答)解析分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c.不妨设放入b，第三块田也有2种方法a或c.一一.把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础练习1 北京朝阳区高三练习在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有10人，则可能出现的录用情况有_种（用数字作答）。21110872520CCC解法解法1:解法解法2:42210422520CCA一一.把握分类原理、分步原理是基础把
6、握分类原理、分步原理是基础 本题考查了乘法原理或先组后排。高考突出考查本题考查了乘法原理或先组后排。高考突出考查运算能力，排列、组合的选择填空题都要求以数字作运算能力，排列、组合的选择填空题都要求以数字作答，同学们千万要注意。答，同学们千万要注意。二、注意区别二、注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”例例2 云南省高考模拟试题从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）(A)480种（B）240种 （C）180种 （D）120种小结：小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用
7、“排除法”。解：12116522240CCCC练习2 云南省高考模拟从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_种解：44141262()255CCC三、特殊元素（或位置）优先安排三、特殊元素（或位置）优先安排例3 西安市高考模拟试题将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种解：4113433378AAAA练习练习3 北京东城区高考模拟试题从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_种不同的摆放方法（用数字作答）
8、。解：14561800AA小结：小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案四、四、“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例例4 广州市二模七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种（A）960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种
9、解：242245960AAA另解：251254960AAA小结：小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.练习练习4 黄冈5月高考模拟试题某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种 （D）种38C38A39C311C注:上题中熄灭三盏灯,改为将其中三盏灯改成红、黄、绿色灯,且它们不相邻也不在两端如何解?解：38C解：3833
10、6A 四、四、“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”五、混合问题，先“组”后“排”例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能41144644576CCAA练习练习5 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA小结：小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排
11、列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。例66个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演(1)每排4人，问共有多少种不同排法？(2)领唱站在前排，男同志站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？分析排队问题与排数问题相似，首先要看有无特殊元素，特殊位置；进而是如何安排特殊元素等六.平均分堆（分配）问题六.平均分堆（分配）问题例7把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？六.
12、平均分堆（分配）问题 分析平均分组问题与次序无关，应注意分组的基本方法；同时还应注意分组的其他要求，使之分成的各组满足题目的要求六.平均分堆（分配）问题六.平均分堆（分配）问题例例8 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?解：（1）123109712600CCC（2）12331097375600CCCA(3)336222110642()3150ACCCC七、分清排列、组合、等分的算法区别七、分清排
13、列、组合、等分的算法区别小结：小结：排列与组合的区别在于元素是否有序;m等分的组合问题是非等分情况的;而元素相同时又要另行考虑.练习练习6 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:(1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC六、分清排列、组合、等分的算法区别六、分清排列、组合、等分的算法区别七、分类组合七、分类组合,隔板处理隔板处理构造“小球投盒小球投盒”模型：把n个相同的小球放到m个（mn）不同盒子中，有多少种放法？(1)若每个盒
14、子中至少放一球，则只需在n个小球的（n1）个空档中放置（m1）块隔板把它隔成m份，共有 种放法。(2)若恰有k个盒子不放球，则只需在n个小球的(n1)个空档中放置（mk1）块隔板，把它分隔成(mk)份，共有 种放法。11mnCkmC11m knC 七、分类组合七、分类组合,隔板处理隔板处理例例9 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C练习：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高（一）10个班的学生组成，每个班级至少一
15、个，名额分配方案共有 种。练习：将5个相同的小球投入到4个不同的盒子中，求：（1）每个盒子中至少有1个球的放法有多少种？（由公式一知：=4种）七、分类组合七、分类组合,隔板处理隔板处理2424141141514CCCC2414241241524CCCC10 1918 117CC1415C34C=（2）恰有1个空盒的放法有多少种？（由公式二知：（3）恰有2个空盒的放法有多少种？（由公式二知：解 构造一个隔板模型，18个名额有17个空档，在空档中插入9个隔板，插入数为小结：把小结：把n个相同元素分成个相同元素分成m份每份份每份,至少至少1个元素个元素,问问有多少种不同分法的问题可以采用有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法隔板法”得出共得出共有有 种种.11mnC
