1、考纲要求考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.本节内容是高考的热点之一，考查时，常将奇偶性、周期性与单调性综合在一起周期与三角函数结合比较明显，也常出现在抽象函数中，多为求值问题2.题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大.一、函数的奇偶性奇偶性定义函数图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内 x都有 ，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内 x都有 ，那么函数f(x)是奇函数关于对称任意一个f(x)f(x)任意一个f(x)f(x
2、)y轴原点1奇(偶)函数的定义域有何特点？提示：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性二、奇偶函数的性质1奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)2在相同的定义域内(1)两个奇函数的和是，两个奇函数的积是(2)两个偶函数的和、积是 (3)一个奇函数，一个偶函数的积是 3若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.4若f(x)是偶函数，则有f(x)f(x)f(|x|)相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数2若f(x)是偶函数且在x0处有定义，是否有f(0)0?提示：
3、不一定，如f(x)x21，而f(0)1.三、周期性1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个 正数就叫做f(x)的最小正周期f(x)存在一个最小最小3对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期；(2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期；(3)若函数f(x)关于点(a,0)和
4、直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期3一个函数若具有周期性，其周期唯一吗？提示：若T为函数yf(x)的周期，则kT(k0)也为函数的周期，故周期不唯一1设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析：函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)令F(x)f(x)|g(x)|，F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)故F(x)为偶函数，即f
5、(x)|g(x)|是偶函数答案：A2若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，2)(2，)D(2,2)解析：f(x)是偶函数且在(，0上是减函数，且f(2)f(2)0，可画示意图如图所示，由图知f(x)0的解集为(2,2)答案：D3(2013长沙模拟)函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数若f(0.5)9，则f(8.5)等于()A9 B9C3 D0解析：f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(2x)f(x)f(x)，则f(4x)f(x2)f(x)，即4是函数f(x)的一个周
6、期，f(8.5)f(0.5)9，故应选B.答案：B5设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，下面关于f(x)的判定，其中所有正确命题的序号为_f(4)0；f(x)是以4为周期的函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)的图象关于x2对称解析：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，f(4)f(0)0.又f(x2)f(x)f(x)，f(x)的图象关于x1对称综上正确答案：【考向探寻】1运用函数奇偶性的定义判断2运用函数图象判断3抽象函数的奇偶性的判断，注意挖掘函数“原形”，常采用“赋值”等策略(1)令xy0，得f(0)；然后令yx，判断f(x)与f(x)
7、的关系即可(2)首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)(1)解析：显然f(x)的定义域是R，关于原点对称又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数答案：奇【互动探究】在本例(1)中增加条件“若x0时，f(x)x1，则f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)x2x1，x2x10，f(x2x1)0，f(x2)0时
8、，f(x)x22x，求当x0时，f(x)_.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上是减函数，若f(a)f(2)，求实数a的取值范围(2)解析：当x0，则f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)故f(x)f(x)(x22x)，因此当x0时，f(x)x22x.答案：x22x(3)解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(|a|)f(a)，则f(a)f(2)f(|a|)f(2)，又f(x)在0，)上是减函数，f(|a|)f(2)|a|2，解得2a2.根据奇偶性讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在两个对称区间上的单调性相同；偶函数在两个对称区间上的单调性相反所
9、以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可函数的奇偶性体现的是一种对称关系【活学活用】1(1)函数f(x)(a1)x2(a21)x1是偶函数，则a的值为_解析：由f(x)为偶函数得f(x)f(x)，即(a1)x2(a21)x1(a1)x2(a21)x1.a210，a1.答案：1(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x0时，f(x)log2(x1)，则f(3)_.解析：f(3)f(3)log2(31)2.答案：2【考向探寻】1求函数的周期；2利用函数的周期性求值【典例剖析】(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)f(x)，则f(2 012)等于_(2)设f(
10、x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2.求证：f(x)是周期函数；当x2,4时，求f(x)的解析式；计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)题号分析(1)根据f(x1)f(x)求出周期，根据周期及f(0)0求值(2)根据定义求解；由奇偶性确定2,0上的解析式，再根据周期性求2,4上的解析式；利用周期性求和.(1)解析：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)函数f(x)的周期为2.f(2 012)f(0)又f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0.答案：0(2)解：证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)
11、是周期为4的周期函数当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x，x2,0又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)0f(2
12、012)f(2 013)f(0)f(1)1.(2)如果T是函数yf(x)的周期，则kT(kZ，k0)也是函数yf(x)的周期，即f(xkT)f(x)；若已知区间m，n(mn)上的图象，则可画出区间mkT，nkT(kZ，k0)上的图象函数的周期性通常通过函数的奇偶性得到【活学活用】2(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x
13、4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)故选D.答案：D(2)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1x)f(1x)，则“f(x)为偶函数”是“2为函数f(x)的一个周期”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若f(x)是偶函数，则f(x2)f(1(1x)f(1(1x)f(x)f(x)，即f(x)的一个周期为2.若2是f(x)的一个周期，则f(x)f(x2)f(1(1x)f(1(1x)f(x)，即f(x)是偶函数，综
14、上知“f(x)为偶函数”是“2为函数f(x)的一个周期”的充要条件答案：C (12分)函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对任意x1，x2D都有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.2分(2)f(x)为偶函数，证明如下：4分令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数.7分(3)f(4
15、4)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.8分由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64).9分 解函数不等式的问题一般步骤第一步，确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步，利用奇偶性将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步，运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步，解不等式或不等式组确定解集；第五步，反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范 函数的奇偶性主要体现为f(x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(xT)与f(x)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题活 页 作 业谢谢观看！谢谢观看！
