1、数数 学学 新课标（新课标（HKHK） 八年级下册八年级下册 本本 章章 总总 结结 提提 升升 本章知识框架本章知识框架 本章总结提升本章总结提升 整合拓展创新整合拓展创新 类型之一类型之一 有关二次根式的概念问题有关二次根式的概念问题 本章总结提升本章总结提升 例例 1 2013 襄阳襄阳 使代数式使代数式 2x1 3x 有意义的有意义的 x 的取值范围的取值范围 是是_ x1 2且 且 x3 解析解析 要使要使二次根式有意义二次根式有意义，必须使被开方数为非负数必须使被开方数为非负数， 同时式子中含有分母同时式子中含有分母，式子有意义式子有意义，分母不能为零分母不能为零，二者综合考二者综
2、合考 虑列出不等式组解答虑列出不等式组解答 由题意由题意，得得 2x 10， 3x0， 解得解得 x1 2且 且 x3. 本章总结提升本章总结提升 点评点评 求含有二次根式的代数式有意义的条件时求含有二次根式的代数式有意义的条件时，若被开方若被开方 数中含字母数中含字母，要综合考虑被开方数为非负数且分母不等于要综合考虑被开方数为非负数且分母不等于0， 列出不等式列出不等式(组组)，求出解集即可求出解集即可 本章总结提升本章总结提升 类型之二类型之二 二次根式的运算二次根式的运算 计算：计算： (1)(1) 24.524.5 1 1 3 3 2 2 3 3 6 6 9 9 8 8 0.120.1
3、2 ； (2)(2) 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 2 2 3 31 1 本章总结提升本章总结提升 解析解析 多个二次根式的乘法与两个二次根式相乘的法则一样多个二次根式的乘法与两个二次根式相乘的法则一样， 根号外面系数相乘根号外面系数相乘，根号里面被开方数相乘根号里面被开方数相乘，结果能开方的就结果能开方的就 开方开方二次根式的混合运算按照运算顺序进行二次根式的混合运算按照运算顺序进行，能用乘法公式能用乘法公式 的用乘法公式进行计算较为简单的用乘法公式进行计算较为简单 本章总结提升本章总结提升 解解：(1)原式原式 3 10 5 3 （2） 5ab c 2ac b 15bc a
4、5253abc5 6abc. (2)原式原式 49 2 2 1 3 26 9 8 3 0.123 7 2 1 6 69 2 60.629 10 14 3 6. (3)原式原式1(2 3)2(2 3)24 31 112124 31244 3. 本章总结提升本章总结提升 点评点评 对于第对于第(3)题能用乘法公式的用公式计算较为简单题能用乘法公式的用公式计算较为简单， 本题还可以先提取公因式本题还可以先提取公因式 12 3，然后再计算然后再计算 本章总结提升本章总结提升 类型之三类型之三 二次根式中的隐含条件问题二次根式中的隐含条件问题 例例 3 已知已知 x1 1xy4，求求 xy的平方根的平方
5、根 解析解析 由于二次根式的双重非负性，即由于二次根式的双重非负性，即0且且a0，因此在解决，因此在解决 有关二次根式的问题时应注意这些隐含条件的应用有关二次根式的问题时应注意这些隐含条件的应用 解解：由题意可得由题意可得 x10，1x0，所以所以 x1，将将 x1 代代 入已知的等式中入已知的等式中，得得 y4， 因此因此，xy141，xy的平方根是的平方根是 1. 本章总结提升本章总结提升 点评点评 在二次根式的概念、性质中在二次根式的概念、性质中，涉及较多的涉及较多的“隐含隐含”条条 件件，如如 a b ab， a b a b， ，对于被开方数中对于被开方数中 a，b 的取值的取值， 有
6、一定范围要求解决这类问题时有一定范围要求解决这类问题时，要注意这些隐含条件要注意这些隐含条件 本章总结提升本章总结提升 类型之四类型之四 二次根式化简中的分类思想二次根式化简中的分类思想 例例 4 化简：化简： （a1）2 （a2）2. 解析解析 因为因为 （a1）2 （a2）2|a1|a2|，由由 于于 a 的取值可以为一切实数的取值可以为一切实数，但如何将绝对值符号去掉但如何将绝对值符号去掉，则要对则要对 a 的取值情况进行分类的取值情况进行分类，分别令分别令 a10，a20，得得 a1， a2， 则在数轴上则在数轴上， a 的取值可分为三种情况：的取值可分为三种情况： a1， 2a 1，
7、a1 时时，原式原式a1a22a3； 当当2a1 时时，原式原式a1a21； 当当 a2 时时，原式原式a1a22a3. 点评点评 由二次根式的性质可知： 当由二次根式的性质可知： 当 a0 时时， a2a； 当； 当 a0 时时， a2a.因此解答此题一定要对被开方数进行分类讨论因此解答此题一定要对被开方数进行分类讨论 其其 实数学里面的许多问题实数学里面的许多问题，只有用分类讨论的思想才能保证解答只有用分类讨论的思想才能保证解答 问题的完整问题的完整，做到做到“不重不漏不重不漏” 本章总结提升本章总结提升 类型之五类型之五 二次根式求值中的整体思想二次根式求值中的整体思想 例例 5 已知已
8、知 x52 6，y52 6，求求 x x y y y x的值 的值 解析解析 如果直接代入可见计算量非常大如果直接代入可见计算量非常大，可以先化简可以先化简，然后把然后把 xy，xy整体代入较为简单整体代入较为简单 本章总结提升本章总结提升 解解： x x y y y x x xy y2 y xy x2 x y xyy x xy(x y y x) xy （xy）22xy xy xy. 因为因为 xy52 652 610，xy(52 6) (52 6) 25241， 所以原式所以原式10 2 21 1 198. 章内专题阅读章内专题阅读 本章总结提升本章总结提升 二次根式的有理化及应用二次根式的
9、有理化及应用 二次根式的有理化：如果两个含有二次根式的代数式的积不含二次根式的有理化：如果两个含有二次根式的代数式的积不含 有二次根式，我们就称这两个代数式互为有理化因式如果含有二有二次根式，我们就称这两个代数式互为有理化因式如果含有二 次根式的代数式是单项根式，即形如次根式的代数式是单项根式，即形如 m m a a的式子，它的有理化因式的式子，它的有理化因式 就是就是a a( (a a是最简二次根式是最简二次根式) )如果含有二次根式的代数式是二项如果含有二次根式的代数式是二项 式，那么它的有理化因式也是二项式，其中有一项与原二项式中的式，那么它的有理化因式也是二项式，其中有一项与原二项式中
10、的 一项完全相同，另一项与原二项式中一项完全相同，另一项与原二项式中的另一项只差一个符号，即它的另一项只差一个符号，即它 们相乘恰好满足平方差公式们相乘恰好满足平方差公式 本章总结提升本章总结提升 一般常见的互为有理化因式有两种类型：一般常见的互为有理化因式有两种类型：m m a a与与 a a； a a b b与与 a a b b( (其中其中 a a， b b都是最简二次根式都是最简二次根式) )由于由于 二次根式化简的一个重要目的就是使根号内不含分母或分母中二次根式化简的一个重要目的就是使根号内不含分母或分母中 不含根号，因此常常要分母有理化，即用分母的有理化因式同不含根号，因此常常要分
11、母有理化，即用分母的有理化因式同 时去乘分子和分母，从而去掉分母中的根号时去乘分子和分母，从而去掉分母中的根号 本章总结提升本章总结提升 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 把把 2 2 3 31 1分母有理化 分母有理化 解：解： 2 2 3 31 1 2 2（ 3 31 1） （ 3 31 1）（）（ 3 31 1） 6 6 2 2 （ 3 3） 2 2 1 1 2 2 6 6 2 2 2 2 . . 比较比较 1 1 7 7 5 5和 和 1 1 5 5 3 3的大小 的大小 解：解： 1 1 7 7 5 5 7 7 5 5 （ 7 7 5 5）（）（ 7 7 5 5） 7 7 5
12、5 2 2 ， 1 1 5 5 3 3 5 5 3 3 （ 5 5 3 3）（）（ 5 5 3 3） 5 5 3 3 2 2 . . 7 7 5 5 2 2 5 5 3 3 2 2 ， 1 1 7 7 5 5 1 1 5 5 3 3. . 本章总结提升本章总结提升 已知已知 a a 1 1 2 21 1， ，b b 1 1 2 21 1，求 ，求 a a 2 2 b b 2 2 1010 的值的值 解：解： aa 1 1 2 21 1 2 21 1 （ 2 21 1）（）（ 2 21 1） 2 21 1， b b 1 1 2 21 1 2 21 1 （ 2 21 1）（）（ 2 21 1） 2
13、 2 1 1， aab b2 2 2 2，abab1.1. a a 2 2 b b 2 2 1010 （a ab b） 2 2 2ab2ab1010 （2 2 2 2） 2 2 2 21010 16164.4. 本章总结提升本章总结提升 计算：计算：x x y y y y x x x x y yy y x x y y x x x x y y y y x xx x y y. . 解：解： 原式原式 xyxy（ x x y y） xyxy（ x x y y） xyxy（ y y x x） xyxy（ y y x x） x x y y x x y y x x y y x x y y （ （ x x
14、y y） 2 2（ （ x x y y） 2 2 （ x x y y）（）（ x x y y） x x 2 2 xyxyy yx x2 2 xyxyy y x xy y 2x 2x2y2y x xy y . . 本章总结提升本章总结提升 比较比较 6 6 5 5和和 7 7 6 6的大小的大小 解 ：解 ： 6 6 5 5 6 6 5 5 1 1 （ 6 6 5 5）（）（ 6 6 5 5） 6 6 5 5 1 1 6 6 5 5， ， 7 7 6 6 7 7 6 6 1 1 （ （ 7 7 6 6）（）（ 7 7 6 6） 7 7 6 6 1 1 7 7 6 6. . 6 6 5 5 7 7 6 6， 1 1 6 6 5 5 1 1 7 7 6 6，即 ，即 6 6 5 5 7 7 6 6. .
