1、3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算禄劝一中禄劝一中 林丽林丽 ,mnlm lnl如图、是平面 内的两条相交直线 如果求证：探究：探究：问题探究nml 1.空间向量的加减法运算（1）向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则ba baba a 复习：复习：（2）向量的减法:三角形法则三角形法则ba ba 复习：复习：2.相等向量相等向量：方向方向 且模且模 的向量称为相等向量的向量称为相等向量相同相同相等相等3.共面向量的基本定理：共面向量的基本定理：如果两个向量如果两个向量a、b不共线，那么向量不共线，那么向量p与向量与向量a、b共面的充要条件是：存
2、在唯一实数对共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使使 。p=xa+yb AOBababab4平面向量的夹角：平面向量的夹角：babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向复习：复习：1 1）空间两个向量的夹角的定义空间两个向量的夹角的定义babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向思考思考：1、a，b与与b，a相等吗？相等吗？2、a，b与与a，b相等吗？相等吗？注意：注意：a，bb，a，a，ba，b3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算2 2）两个
3、向量的数量积）两个向量的数量积注：注：两个向量的两个向量的数量积是数量数量积是数量，而不是向量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质:对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab2(1)cos,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依据）（求角的依据）（证明垂直的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据（求向量的长度的依据)4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的
4、数量积满足的运算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 结合律交换律）分配律）下列命题成立吗下列命题成立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考思考:1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，|b|4，则ab _，a2_，(a2b)(ab)_.135 题型一题型一利用数量积求夹角利用数量积求夹角 如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA与与BC所成角的所成角的余弦值余弦值【例例1】P O A la 分析分析：用向量来证明：用向量来证
5、明两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量明两直线的方向向量的数量积为零即可！的数量积为零即可！题型题型二二利用数量积证明垂直关系利用数量积证明垂直关系【例例2】证明：证明：例例2 已知已知:,POAOllOA 射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即P PA A.为为 P O A la 0,0a POa OA 例例3:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线
6、,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngn g m l lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x y例例3:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证
7、:.lll 如图所示，平行六面体如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求，求AC1的长的长题型题型三三利用数量积求两点间的距离利用数量积求两点间的距离【例例4】课堂小小 结：结：空间向量数量积：空间向量数量积：可利用数量积解决立体几何中的以下问题：可利用数量积解决立体几何中的以下问题：1 1、求两直线所成角、求两直线所成角.2 2、证明两直线垂直、证明两直线垂直;3 3、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度;作业P98 A组 3 4 5 B组 1 2ABA1C1B1C2.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB=BB1,则则AB1与与C1B所成角所成角的大小为的大小为()A.B.C.D.2105 75 90 60 3.已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDABCD 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCAB|85AC 课后练习：课后练习：
