1、1234 理解函数的单调性、值域和最理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段值的常用方法与变形手段.51.函数函数y=3x(-1x3，且，且xZ)的值的值域是域是 .-3,0,3,6,9 由由-1x3，且，且xZx=-1,0,1,2,3,代入代入y=3x，得所求值域为，得所求值域为-3,0,3,6,9.2.函数函数f(x)=(xR)的值域是的值域是()A.(0,1)B.（0，1 C.0，1)D.0,1B211x 函数函数f(x)=(xR),所以所以1+x2,所以原函数的值域是所以原函数的值域是(0,1.211x63.函数函数f
2、(x)=x2-2x(x0,4)的最大值的最大值是是 ，最小值是，最小值是 .8-1f(x)=(x-1)2-1.当当x=1时时,f(x)min=-1;当当x=4时，时，f(x)max=42-24=8.4.函数函数f(x)=(x-12)的值域是的值域是 .(-,-21xx当当x=-1时，时，取最大值取最大值-2.1xx75.已知已知x0，y0，且，且x+2y=1，则，则2x+3y2的最小值为的最小值为 .因为因为x+2y=1，x0，y0，所以所以02y10i ，2x+3y2=3y2+2-4y=3(y-)2+，所以当所以当y=时，时，(2x+3y2)min=3(-)2+=.1223231212232
3、3343481.函数的值域与最值函数的值域与最值(1)函数的值域是函数的值域是 的集合的集合,它是由定义它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的注意函数的 .(2)函数的最值函数的最值.设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满满足：足：()对于任意的对于任意的xI,都有都有f(x)M;()存存在在x0I,使得使得f(x0)=M,则称则称M是函数是函数y=f(x)的的 .类似地可定义类似地可定义f(x)的最小值的最小值.函数值函数值定义域定义域最大值最大值92.基本初等函数的值域基本初等函数的值域(1)
4、一次函数一次函数y=kx+b(k0)的值域为的值域为 .(2)二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域：的值域：当当a0时，值域为时，值域为 ;当当a0且且a)的值域为的值域为 .R ,+)-,)244acbay|y0(0,+)kx244acba10(5)对数函数对数函数y=logax(a0且且a)的值域为的值域为 .(6)正、余弦函数正、余弦函数y=sinx(xR)、y=cosx(xR)的值域为的值域为 ;正切正切函数函数y=tanx(xk+,kZ)的值域的值域为为 .R2-1,11111R113.求函数的值域（最值）常用的方法求函数的值域（最值）常用的方法(1)二次函数用配方法二
5、次函数用配方法.(2)单调性法单调性法.(3)导数法导数法.(4)复合函数的值域由中间变量的范围确定复合函数的值域由中间变量的范围确定.此外还有换元法、数形结合法、基本不等式此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等法等.4.若若f(x)为闭区间为闭区间a,b上的连续函数，则上的连续函数，则f(x)在在a,b上一定有最大、最小值上一定有最大、最小值.12 已知函数已知函数y=f(x)的值域为集合的值域为集合D，函数函数y=f(x)的最大值、最小值分别为的最大值、最小值分别为M、N，则，则M、N、D的关系是的关系是()例例1A.D=N，M B.MDNC.D N，M D.M、NDD13 不妨设不妨
6、设f(x)=3x(-1x3，且，且xZ)，可知可知D=-3,0,3,6,9，M=9，N=-3，可，可知，知，A、B、C错误，选错误，选D.1.函数的值域是函数值的集合，函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素函数的最值是该集合中的元素.2.当函数当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数在其定义域上是连续函数时，时，D=N，M，其中，其中N=f(x)min，M=f(x)max.14例例2求函数求函数f(x)=cosx+lg(1-x2)的值域的值域.由由1-x20，得，得f(x)的定义域为的定义域为x|-1x1，且，且f(x)为偶函数，故可考虑为偶函数，故可考虑0 x1时的情况，此时，
7、时的情况，此时，f(x)为减函数，为减函数，故故f(x)f(0)=1，所以，所以f(x)的值域为的值域为y|y1.151.函数的值域由定义域和对应法则一并确函数的值域由定义域和对应法则一并确定定,故应特别注意定义域对其值域的制约故应特别注意定义域对其值域的制约.2.求值域的常用方法有：求值域的常用方法有：1观察法：一看定义域；二看函数性质；观察法：一看定义域；二看函数性质；三列举三列举.2函数单调性法（见例函数单调性法（见例2）.163转换法转换法.转换为基本函数（或条件基本函数），转换为基本函数（或条件基本函数），如如y=与与y=的关系的关系,y=与与Ax2+Bx+C=0.转换为几何问题，数
8、形结合转换为几何问题，数形结合.转换为三角函数问题转换为三角函数问题,利用三角函数的利用三角函数的有界性有界性.4不等式法不等式法.5导数法导数法.axbcxdkx21112222a xb xca xb xc17求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1)y=2x2-4x+1;(2)y=log ;(3)y=.1224x2121xx 这些都是求复合函数的值域，这些都是求复合函数的值域，可通过中间变量的取值范围结合简可通过中间变量的取值范围结合简单函数的值域来求单函数的值域来求.18 (1)因为因为t=x2-4x+1=(x-2)2-3-3，所以所以2t2-3=,所以该函数的值域为所以该函数的值域为
9、,+).(2)因为因为0t=2,所以所以log tlog 2=-1,故该函数的值域为故该函数的值域为-1,+).(3)y=1+.该函数定义域为该函数定义域为x|x0，xR，所以所以-12x-10,从而从而y1,所以该函数的值域为所以该函数的值域为(-，-1)（1,+）.18181224x21221xx 221x1219 已知函数已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(aR).（1）若函数若函数f(x)的最小值为的最小值为0，求，求a的值；的值；（2）若函数若函数f(x)0对任意对任意xR都恒成立，都恒成立，求函数求函数g(a)=2-a|a+3|的最大值的最大值.函数的值域与最值的综合问题函数
10、的值域与最值的综合问题例例220（1）因为因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2,且且f(x)min=0，所以，所以2a+6-4a2=0，所以所以a=-1或或a=.（2）因为因为f(x)0,由知由知,2a+6-4a20，解得解得-1a .所以所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+)2+(a-1,),所以当所以当a=-1时，时，g(a)max=4.32321743232211.因为二次函数因为二次函数f(x)在在R上连续，所以上连续，所以f(x)的最小值为的最小值为0，即，即f(x)的值域为的值域为0,+).2.由于函数的最值不过是函数值域中的由于函数的最值不过是函数
11、值域中的一个元素而已，故求值域的方法都适一个元素而已，故求值域的方法都适用于求函数的最值用于求函数的最值.22已知函数已知函数f(x)=|1-|(x0).(1)当当0ab,且且f(a)=f(b)，求证，求证:+=2;(2)是否存在实数是否存在实数a、b(ab)使得函数使得函数y=f(x)的定义域、值域都是的定义域、值域都是a,b；若存在，则求出若存在，则求出a、b的值；若不存在，的值；若不存在，请说明理由请说明理由.1x1a1b 首先化简函数解析式，判断函数的单首先化简函数解析式，判断函数的单调性，利用单调性求解，注意思维的严谨性调性，利用单调性求解，注意思维的严谨性和敏捷性，要数形结合，分类
12、讨论和敏捷性，要数形结合，分类讨论.23(1)证明证明:因为因为f(x)=|1-|=-1(01),故故f(x)在在(0,1上是减函数，而在上是减函数，而在(1,+)上是上是增函数，增函数，由由0ab和和 -1=1-,得得 +=2.(2)假设存在这样的实数假设存在这样的实数a、b（ab）使得函）使得函数数y=f(x)的定义域、值域都是的定义域、值域都是a,b.1x1a1b1x1x1a1b24当当0ab1时，时，函数函数f(x)=-1在在(0,1上是减函数，上是减函数，则则f(a)=bf(b)=a,即即 -1=b -1=a，解得解得a=b，与，与0ab1矛盾，矛盾，故此时不存在满足条件的实数故此时
13、不存在满足条件的实数a、b.当当1ab时，时，函数函数f(x)=1-在在(1,+)上是增函数，上是增函数，1x1a1b1x25则则 f(a)=a f(b)=b 此时实数此时实数a、b为方程为方程x2-x+1=0的两根，但方的两根，但方程程x2-x+1=0无实根，因此不存在满足条件无实根，因此不存在满足条件的实数的实数a、b.当当a10),故此时不存在满足条故此时不存在满足条件的实数件的实数a、b.综合可得综合可得,满足条件的实数满足条件的实数a、b不存在不存在.1-=a 1-=b,1a1b,即即261.配方法：主要适用于二次函数或利用换元配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，
14、要特别注意自变量技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围和新变量的范围.2.均值不等式法均值不等式法:利用基本不等式或均值不等利用基本不等式或均值不等式求最值时式求最值时,一定要注意等号成立的条件一定要注意等号成立的条件.3.函数单调性法函数单调性法.4.导数法导数法.5.数形结合法：常用于条件及要求最值的表数形结合法：常用于条件及要求最值的表达式有明显的几何意义达式有明显的几何意义.27 因为因为0 x0,所以所以y=2tanx+,当且仅当当且仅当tanx=时时“=”成立成立.(2009湖南卷湖南卷)函数函数y=2tanx+tan(-x)(0 x )的的 最小值是最小值是 .学例1
15、22 21tan x222 22228学例2 (2009海南海南/宁夏卷宁夏卷)用用mina,b,c表表示示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值三 个 数 中 的 最 小 值.设设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0)，则，则f(x)的最的最大值为大值为()C 4 B.5 C.6 D.729 令令2x=x+2x10(舍去舍去)或或x2=2.令令2x=10-x，即，即2x+x=10，则，则2x3,则可知则可知f(x)的大致图象如下图所示的大致图象如下图所示.故故f(x)6，即选，即选C.30本节完，谢谢聆听 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用
16、力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，
17、成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是
18、在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉
19、得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏
20、日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领
21、域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上
22、。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。
23、CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
