1、18.1 18.1 勾股定理勾股定理 第18章 勾股定理 第第1 1课时课时 勾股定理勾股定理 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数面积之间的数 量关系量关系进而发现进而发现直角三角形三边的某种数量关系直角三角形三边的某种数量关系 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 A B C 看似平淡看似平淡 无奇的现无奇的现 象有时却象有时却 隐藏着深隐藏着深 刻的道理刻的道理 情景引入情景引入 A B C 发现发现: : 以等腰直角三角形两直角边为以等腰直角三角形两直角边
2、为 边长的小正方形的面积的和，等于以边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积斜边为边长的正方形的面积. .即我们惊即我们惊 奇地发现，等腰直角三角形的三边之奇地发现，等腰直角三角形的三边之 间有一种特殊的关系：斜边的平方等间有一种特殊的关系：斜边的平方等 于两直角边的平方和于两直角边的平方和. . 思考：思考：你能发现图中的你能发现图中的 等腰直角三角形有什么性等腰直角三角形有什么性 质吗？质吗？ 合作探究合作探究 活动：探究活动：探究勾股定理与图形的面积勾股定理与图形的面积 一般直角三角形也有上述性质吗？一般直角三角形也有上述性质吗？ A B C 图图1-1 A B C 图
3、图1-2 图中每个小方格的面积均为图中每个小方格的面积均为1， 请分别计算出图、中请分别计算出图、中A、 B、C的面积，看看能得出什的面积，看看能得出什 么结论么结论. 图图 图图 A B A B C C A的的 面积面积 B的的 面积面积 C的的 面积面积 图图 图图 16 9 25 4 9 13 正方形面积间的关系：正方形面积间的关系： SA+ +SB= =SC 怎样得到正方形怎样得到正方形C的面的面 积？与同伴交流交流积？与同伴交流交流 A B C 图图1-1 图图 A B C a b c 正方形面积间的关系：正方形面积间的关系： SA+ +SB= =SC 猜想：直角三角形三边之猜想：直
4、角三角形三边之 间的关系，即：间的关系，即：两直角边两直角边 的平方和等于斜边的平方的平方和等于斜边的平方. 设：直角三角形的设：直角三角形的 三边长分别是三边长分别是a、b、c SA+ +SB= =SC a2+ +b2= =c2 命题命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b, ,斜边长为斜边长为c c, ,那么那么a2+ +b2= =c2. a b c 我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等 的直角三角形如下拼成一个中空的正方形的直角三角形如下拼成一个中空的正方形. 赵 爽 弦 图 赵 爽 弦 图 c b a 黄黄 实实
5、朱实朱实 赵爽赵爽 请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！ a b a b c c a b c c2 b2 a2 = = + + 这种用拼图的这种用拼图的 验证勾股定理验证勾股定理 的方法叫做的方法叫做弦弦 图法图法 温馨提示：温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用上述这种验证勾股定理的方法是用面积法面积法 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为 2002年在北京召开的国际
6、数学大会的会徽年在北京召开的国际数学大会的会徽. a b c S大正方形 大正方形 c2 S小正方形 小正方形 （b-a）2 S大正方形 大正方形 4 S三角形 三角形 S小正方形 小正方形 赵爽弦图赵爽弦图 证明：证明： 即即 c2= =41 2 ab+ +(b-a) 2, c2= =2ab+a2- -2ab+ +b2 所以所以 a2+ +b2= =c2 b-a 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或 百牛定理百牛定理. . (a、b、c为正数为正数) 勾股定理勾股定理 如果如果直角三角形直角三角形的两直角边的两直角边 长分别为长分别
7、为a,b,斜边长为斜边长为c,那么那么a2+b2=c2. 公式变形：公式变形： 22 22 22 - - acb bca cab , 勾勾 股股 弦弦 即：勾即：勾2 2+ +股股2 2= =弦弦2 2 前提条前提条 件件 知识要点知识要点 例例1 1 求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: : 8 x 17 16 20 x 12 5 x 温馨提示：温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长时，已知直角三角形的两边长，求第三边长时， 应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！ x= =15 x= =12 x= =13
8、例例2 2 已知：已知：RtBC中，中，AB，ACAC, ,则则 BC= . . 5 或或 7 4 3 A C B 4 3 C A B 温馨提示：温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边 或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边， 这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解. 是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？ 在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？ 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400400多种，今多种，今 天我们用了什么方法？天我们用了什么方法？ 4.4.运用勾股定理应注意哪些事项？运用勾股定理应注意哪些事项？ 不是不是 由特殊到一般由特殊到一般 面积法面积法 （1）前提条件是在直角三角形中；）前提条件是在直角三角形中； （2）弄清哪个角是直角；）弄清哪个角是直角； （3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论； 课堂小结课堂小结
