1、18.2 18.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 第第1 1课时课时 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？一个三角形满足什么条件是直角三角形？ 有一个内角是有一个内角是90，那么这个三角形就是直角三角形，那么这个三角形就是直角三角形; 如果一个三角形中，有两个角的和是如果一个三角形中，有两个角的和是90，那么这个三角形就是直，那么这个三角形就是直 角三角形角三角形. 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断 是否为直角三角形呢？是否为直角三角形呢？ 1. 直角三角形有哪些性质？
2、直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角；有一个角是直角； (2)两锐角互余；两锐角互余； (3)勾股定理；勾股定理； (4)直角三角形直角三角形30角的性质角的性质. 问题引入问题引入 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打 上等距离的上等距离的13 个结，然后以个结，然后以3 个结间距，个结间距，4 个结间距、个结间距、5 个个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角 便是直角你认为结论正确吗？便是直角你认为结论正确吗？ （1） （2） （3） （4） （5） （
3、6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 相传，大禹治水相传，大禹治水 时也用这类似的时也用这类似的 方法确定直角方法确定直角. 合作探究合作探究 活动：探究活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用勾股定理的逆定理的证明及应用 如果三角形的三边分别为如果三角形的三边分别为3，4，5， 这些数满足关系：这些数满足关系：32+42=52，围成的，围成的 三角形是直角三角形三角形是直角三角形 具体做法：具体做法：把一根绳子打上等距离的把一根绳子打上等距离的13 个结，然后把第个结，然后把第1个结和第个结和第13个结用木桩个结用木桩 钉在一起，再分别用木桩把第钉在一起，再分别
4、用木桩把第个结和个结和 第第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成个结钉牢（拉直绳子），这时构成 了一个三角形，其中有一个角是直角了一个三角形，其中有一个角是直角 . . 实验操作：实验操作： 下列各组数中的两数平方和等于第三数下列各组数中的两数平方和等于第三数 的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它），它 们是直角三角形吗？们是直角三角形吗？ 2.5，6，6.5； 4，7.5，8.5 动手画一画动手画一画 （1）这二组数都满足）这二组数都满足 222 cba 吗？吗？ （2）它们都是直角三角形吗？）它们都是直角三角形吗？ （3）提出你的猜
5、想：）提出你的猜想： 命题命题2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a 、b 、c满足满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. . 命题命题2 2与与上节命题上节命题1 1的题设和结论有何关系的题设和结论有何关系? ? 由上面的几个例子你有什么发现？由上面的几个例子你有什么发现？ 命题命题1： 直角三角形直角三角形 a2+b2=c2 命题命题2： 直角三角形直角三角形 a2+b2=c2 题设题设 结论结论 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命 题，其中一个叫做题，其中一个叫做原命题原命题，另一个叫做原命题的
6、，另一个叫做原命题的逆逆 命题命题. 勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a 、b 、c满足满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. . 如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a 、 b ，斜边为，斜边为c c满足满足a2+b2=c2. . 勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 互逆命题互逆命题 ABC ABC ？ 证明结论证明结论 C是直角 ABC是直角三角形 A B C a b c 已知：如图，已知：如图，ABC的三边长的三边长a，b，c，满足，满足a2+ +b2= =c2 求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形
7、 构造两直角边构造两直角边 分别为分别为a,b的的 RtABC 已知：如图，已知：如图，ABC的三边长的三边长a，b，c，满足，满足a2+ +b2= =c2 求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形 证明：作证明：作RtABC， 使使C=900，AC=b，BC=a ABC ABC(SSS) C= C=900 ABC是直角三角形是直角三角形. 则则 22222 A BB CA Cab 222 abc 22 A BcA Bc 取取正正得得 ABCA B C 在在和和中中 A CAC B CBC A BAB C B a A b c A C a B b c A C B a b c a2+b2=c2
8、直角三角形直角三角形 特别说明：特别说明：勾股定理的逆定理是直角三勾股定理的逆定理是直角三 角形的判定定理，即已知三角形的三边角形的判定定理，即已知三角形的三边 长，且满足两条较小边的平方和等于最长，且满足两条较小边的平方和等于最 长边的平方，即可判断此三角形为直角长边的平方，即可判断此三角形为直角 三角三角 ，最长边所对角为直角，最长边所对角为直角. 例例1 1 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是那么哪一个角是直角？形？如果是那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15; (2) a=13 b=14 c=15; (4) a
9、:b: c=3:4:5; (3) a=1 b=2 c= ; 3 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直 角三角形，只要看两条角三角形，只要看两条较小边较小边的平方和是否等于的平方和是否等于最最 大边大边的平方的平方. 例例1 1 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三为边长的三角形是不是直角三 角形？如果是那么哪一个角是直角？角形？如果是那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15; 解：解： （1）因为）因为152+202=625，252=625，所以，所以152+202=252，根，根 据勾股定理的逆定理，这个三角形
10、是直角三角形，且据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且A 是直角是直角. (2) a=13 b=14 c=15; 解：解： （2）因为）因为132+142=365，152=225，所以，所以132+142152，不，不 符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. (4) a:b: c=3:4:5; 解：解： （3）因为 12+（ 3）2=4=22，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，B 是直角. （4）设）设a=3k,b=4k,c=5k,因为因为 （3k) )2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以所
11、以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个根据勾股定理的逆定理，这个 三角形是直角三角形，三角形是直角三角形，C是直角是直角. 解：解： 例例1 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是那么哪一个角是直角？形？如果是那么哪一个角是直角？ (3) a=1 b=2 c= ; 3 奇数类：奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25； 9，40，41；等等等等 偶数类：偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17； 10，24，26；等等等等 解题小结：解题小结： 勾股数：勾股数： 像像15，20，25这样，能成为直角
12、三角形三条边长这样，能成为直角三角形三条边长 的的正整数正整数，称为勾股数，称为勾股数. 常见勾股数：常见勾股数： 勾股数拓展性质：勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组，得到一组新数，这组 数同样是勾股数数同样是勾股数. （1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么 作用？作用？ 内容是：内容是：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a 、b 、c满足满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. 作用作用：把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来：把数转化为形，通
13、过计算三角形三边之间的关系来 判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形 的判定依据的判定依据. 课堂小结课堂小结 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到 探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的 过程过程. （3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历 了哪些过程？了哪些过程？ （2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你 能说出它们之间的关系吗？能说出它们之间的关系吗？ 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题， 其中一个叫做其中一个叫做原命题原命题，另一个叫做原命题的，另一个叫做原命题的逆命题逆命题.
