1、数数 学学 新课标（新课标（HKHK） 八年级下册八年级下册 19.319.3 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 3. 3. 正方形正方形 基础自主学习基础自主学习 学习目标学习目标1 能根据正方形的定义或性质进行简单的计能根据正方形的定义或性质进行简单的计 算算 3. 正方形正方形 1矩形、菱形、正方形都具有的性质是矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A对角线相等对角线相等 B对角线互相平分对角线互相平分 C对角线平分一组对角对角线平分一组对角 D对角线互相垂直对角线互相垂直 B 3. 正方形正方形 2如图如图19313，正方形正方形ABCD中中，对角线对角线AC，BD相相 交于点交
2、于点O，则图中的等腰三角形有则图中的等腰三角形有( ) A4个个 B6个个 C8个个 D10个个 C 3. 正方形正方形 3已知正方形已知正方形ABCD的对角线的对角线AC2，则正方形，则正方形ABCD的的 周长为周长为_ 4 3. 正方形正方形 归纳归纳 (1)定义：有一个角是定义：有一个角是_，且有一组邻边，且有一组邻边 _的平行四边形叫做正方形的平行四边形叫做正方形 (2)性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是 特殊的平行四边形，因此正方形具有矩形、菱形、平行四边特殊的平行四边形，因此正方形具有矩形、菱形、平行四边 形的所有性质形
3、的所有性质 性质性质1：正方形的四条边都：正方形的四条边都_，四个角都是，四个角都是 _； 性质性质2：正方形的对角线：正方形的对角线_ 直角直角 相等相等 相等相等 直角直角 相等且互相垂直平分相等且互相垂直平分 3. 正方形正方形 学习目标学习目标2 能根据正方形的定义或判定方法来判定四边能根据正方形的定义或判定方法来判定四边 形是不是正方形形是不是正方形 4下列命题下列命题，正确的是正确的是( ) A四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 B四个角都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形 C对角线互相垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直的平行四边形是正方形
4、D对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形 D 3. 正方形正方形 52013 舒城期末舒城期末 如图如图19314，在在RtABC中中，已已 知知BAC90，ABAC，ADBC，AE是是ABC的外角的外角 平分线平分线，CEAE于点于点E，试判断四边形试判断四边形ADCE是什么特殊四是什么特殊四 边形边形，并证明你的结论并证明你的结论 3. 正方形正方形 解解：四边形四边形 ADCE 是正方形是正方形 证明：证明：ABAC，ADBC，BAC90， DAC1 2 BAC45. BAC90，AE 是是ABC 的外角平分线的外角平分线， EAC45.EAD454590. ADBC，CEAE
5、，ADCAEC90， 四边形四边形 ADCE 是矩形是矩形 DAC45，ADC90， ACDDAC45，ADDC， 四边形四边形 ADCE 是正方形是正方形 3. 正方形正方形 归纳归纳 证明一个四边形是正方形证明一个四边形是正方形，主要是根据定义主要是根据定义也可也可 以先证明四边形是矩形以先证明四边形是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱再证明它是菱形；或先证明它是菱 形形，再证明它是矩形再证明它是矩形，其基本思路：四边形其基本思路：四边形平行四边形平行四边形 矩形矩形(菱形菱形)菱形菱形(矩形矩形) 重难互动探究重难互动探究 3. 正方形正方形 探究问题一探究问题一 利用正方形的性质进行
6、计算利用正方形的性质进行计算 例例 1 如图如图 19315，在正方形在正方形 ABCD 中中，边长为边长为 2 的等边三角形的等边三角形 AEF 的顶点的顶点 E，F 分别在分别在 BC 和和 CD 上上，下列下列 结论：结论：CECF；AEB75；BEDFEF；S 正方形正方形ABCD2 3.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_(把你认把你认 为正确的都填上为正确的都填上) 3. 正方形正方形 解解析析 四边形四边形 ABCD 是正方形是正方形，ABAD. AEF 是等边三角形是等边三角形，AEAF. 在在 RtABE 和和 RtADF 中中， AB AD， AEAF， RtABER
7、tADF(HL)，BEDF. BCDC，BCBECDDF，CECF， 说法正确；说法正确； CECF，ECF 是等腰直角三角形是等腰直角三角形， CEF45. 3. 正方形正方形 又又AEF60，AEB75，说法正确；说法正确； 如图如图 19389，连接连接 AC，交交 EF 于点于点 G， ACEF，且且 AC 平分平分 EF. CAFDAF，DFFG， BEDFEF，说法错误；说法错误； EF2，CECF 2， 设正方形的边长为设正方形的边长为 a，在在 RtADF 中中， a2(a 2)24，解得解得 a 2 6 2 ，则则 a22 3， S正方形 正方形ABCD2 3，说法正确故答案
8、为说法正确故答案为. 3. 正方形正方形 归纳总结归纳总结 1.正方形的两条对角线将正方形分成四个全等正方形的两条对角线将正方形分成四个全等 的等腰直角三角形的等腰直角三角形 2正方形的周长等于边长的正方形的周长等于边长的4倍，面积等于边长的平方或倍，面积等于边长的平方或 对角线平方的一半对角线平方的一半 3在解答有关正方形的问题时，应充分利用正方形的边长在解答有关正方形的问题时，应充分利用正方形的边长 相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的性质相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的性质 ，还应记住：正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股，还应记住：正方形的性质、等腰直角
9、三角形的特点、勾股 定理是解决有关正方形问题的三把钥匙定理是解决有关正方形问题的三把钥匙 探究问题二探究问题二 利用正方形的性质进行证明利用正方形的性质进行证明 3. 正方形正方形 例例2 如图如图19316所示，以锐角三角形所示，以锐角三角形ABC的边的边AB， AC为边向外作正方形为边向外作正方形ABDE和正方形和正方形ACFG，连接，连接EC，BG. 求证：求证：(1)BGCE； (2)BGCE. 3. 正方形正方形 解析解析 设设CE交交AB于于P，交，交BG于于Q.欲证欲证BGCE，可证，可证 AECABG(SAS)，则，则AECABG.而而AEC APE90，可得，可得ABGBPQ
10、90，故，故 BQP90，即，即BGCE. 3. 正方形正方形 证明：证明： 设设CE交交AB于于P，交，交BG于于Q. (1)四边形四边形ABDE和四边形和四边形ACFG为正方形，为正方形， AEAB，ACAG，EABGAC90， EABBACGACBAC， 即即EACBAG. EACBAG(SAS)，BGCE. (2)由由(1)可知可知EACBAG，则，则AECABG. 又又AECAPE90， ABGBPQ90， BQP90，即，即BGCE. 3. 正方形正方形 归纳总结归纳总结 通过证明三角形全等得到边和角相等，是有通过证明三角形全等得到边和角相等，是有 关四边形中证明边或角相等的最常用
11、的方法，而正方形关四边形中证明边或角相等的最常用的方法，而正方形 的四条边相等，四个角都是直角为证明全等三角形提供的四条边相等，四个角都是直角为证明全等三角形提供 了条件了条件 探究问题三探究问题三 灵活证明四边形是不是正方形灵活证明四边形是不是正方形 3. 正方形正方形 例例3 如图如图19317所示，在所示，在ABC中，中，BAC90， AD是是BAC的平分线，的平分线，AD的垂直平分线的垂直平分线EF分别交分别交AB，AD ，AC于点于点E，O，F. 求证：四边形求证：四边形AEDF是正方形是正方形 解析解析本例可先证四边形本例可先证四边形AEDF为矩形，为矩形， 再证它是菱形，或先证它
12、是菱形，再证再证它是菱形，或先证它是菱形，再证 它是矩形它是矩形 3. 正方形正方形 证明：证明： 证法一：证法一：EF垂直平分垂直平分AD， AEED，AFDF， EADADE，FADADF. 又又BAC90，AD平分平分BAC， ADEEADFADADF45， EDF90，AEDAFD90， 四边形四边形AEDF为矩形为矩形 又又AEED， 矩形矩形AEDF为正方形为正方形 3. 正方形正方形 证法二：证法二：AD平分平分BAC，EADFAD. 又又EFAD，AOEAOF. 又又AOAO，AOEAOF(ASA)， AEAF. EF垂直平分垂直平分AD， AEED，AFDF， AEEDDFA
13、F， 四边形四边形AEDF为菱形为菱形 又又BAC90， 菱形菱形AEDF为正方形为正方形 3. 正方形正方形 归纳总结归纳总结 1.正方形的判定方法有：正方形的判定方法有：(1)有一个角是直角有一个角是直角 的菱形是正方形；的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)对角线相等的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩对角线互相垂直的矩 形是正方形；形是正方形；(5)对角线互相垂直且相等的平行四边形是对角线互相垂直且相等的平行四边形是 正方形；正方形；(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方 形形 2应用正方形的判定方法判定正方形时，一定要先分应用正方形的判定方法判定正方形时，一定要先分 清是在什么图形的基础上来判定的，即已知图形是四边清是在什么图形的基础上来判定的，即已知图形是四边 形、平行四边形、矩形、菱形中的哪一种，再选择相应形、平行四边形、矩形、菱形中的哪一种，再选择相应 的方法判定的方法判定 课课 堂堂 小小 结结 3. 正方形正方形
