1、19.3 19.3 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 3.3.正方形正方形 取一张长方形纸片取一张长方形纸片,对折两次对折两次,并沿图并沿图(3)中的斜线剪中的斜线剪 开开,把剪下的把剪下的1这部分展开这部分展开,平铺在桌面上平铺在桌面上. (1) (2) (3) 问剪出的这个图形是哪一种四边形问剪出的这个图形是哪一种四边形? 45 情景引入情景引入 2.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出 是什么四边形纸片？是什么四边形纸片？ A B C D 正方形就在身边正方形就在身边 勾股定理勾股定理 1 正方形的定义正方形的定义 由正方形的定义可知，
2、由正方形的定义可知， 正方形既是有正方形既是有一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形，又是有，又是有一个角为直一个角为直 角的菱形角的菱形.如图如图(1). 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做正方叫做正方 形形. 活动活动1 1：探究正方形的性质：探究正方形的性质 合作探究合作探究 正方形性质正方形性质: 边边 对边平行对边平行 四边相等四边相等 角角 ：四个角都是直角四个角都是直角 对角线对角线 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角 A B D C O 正方形是正方形是特殊的平行四边形特殊的平行四
3、边形，也是，也是特殊的矩形特殊的矩形， 也是也是特殊的菱形特殊的菱形. . 正方形的性质正方形的性质= = 正方形是正方形是中心对称图形中心对称图形, ,对称中心为点对称中心为点O O. . 它也是它也是轴对称图形轴对称图形, ,有有4 4条对称轴条对称轴. . ( (1) )它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分 ( (2) )具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等 ( (3) )具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质 四条
4、边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角 O A B C D (A) (B) (C) (D) 知识要点知识要点 2.2.特征特征 1.1.对称轴对称轴 正方形是一个完美的图形正方形是一个完美的图形 从图中可看出，从图中可看出， 在正方形中产生了哪些特殊图形？在正方形中产生了哪些特殊图形？ 产生了哪些特殊角？产生了哪些特殊角？ D O A B C 450 450 450 450 450 450 450 450 4个全等的小等腰直角三角形和个全等的小等腰直角三角形和4个全等的大等腰直角三角形个全等的大等腰直角三角形. 900和和450 正方形
5、图形正方形图形 “庐山真面目”“庐山真面目” 例例1（1）已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相 交于点交于点O，且，且AB2cm,如右图如右图.则则AC=_cm, 面积面积S=_cm2. 4 2 2 (2)正方形正方形ABCD的面积是的面积是9cm2.则则 AB=_,AC=_. 3cm cm23 A B D C O 例例2 如图在正方形如图在正方形ABCD中，中，E在在BC上，上，BE=2， CE=1，P在在BD上，则上，则PE和和PC的长度之和最小可的长度之和最小可 达到达到_ . A B C D E F G P 提示提示 由于正方形是轴对称图形，由于正方形是轴对称图形
6、， 对角线对角线BD是它的对称轴，是它的对称轴， 点点A与点与点C是对称点，因此是对称点，因此 AE的长就是的长就是PE和和PC长度和长度和 的最小值的最小值. 13 怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱 形是正方形？形是正方形？ 怎样判定一个平行四边形是正方形？怎样判定一个平行四边形是正方形？ 活动活动2 2：探究正方形的判定：探究正方形的判定 1 .定义法定义法： 2.矩形法：矩形法： 4.对角线法：对角线法： 一邻边相等一邻边相等 一个直角一个直角 + + 平行四边形平行四边形 = 正方形正方形 3.菱形法：菱形法： 一邻边相等一邻边相等 +
7、矩形矩形 = 正方形正方形 一个直角一个直角 + 菱形菱形 = 正方形正方形 互相平分互相平分 + 互相垂直互相垂直 相等相等 + = 正方形正方形 例例3 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1 1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2 2）对角线互相垂直的矩形；）对角线互相垂直的矩形； （3 3）对角线相等的菱形；）对角线相等的菱形； （4 4）对角线互相垂直平分且相等的四边形）对角线互相垂直平分且相等的四边形. . 解：解：(1) 是正方形，根据平行四边形判定法；是正方形，根据平行四边形判定法；(
8、2) 是正是正 方形，根据矩形判定法方形，根据矩形判定法. (3) 是正方形是正方形,根据菱形判定根据菱形判定 法法.(4) 是正方形，根据上述其中一个判定方法皆可是正方形，根据上述其中一个判定方法皆可. 7 7 7 7 例例4 下列三个图形都是正方形下列三个图形都是正方形,你相信吗你相信吗? 25 25 有一组邻边相等并且有一个有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正角是直角的平行四边形是正 方形方形. 既是菱形又是矩形的四边形是正方形既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 两条对角线互相垂直平分且两条对角线互相垂直平分且 相等的四边形是正方形相等的四边形是正方形. 例例5 已知：如图
9、，已知：如图，ABC中，中，C=90，CD平分平分 ACB，DEBC于于E，DFAC于于F 求证：四边形求证：四边形CFDE是正方形是正方形 F E D A C B 提示提示 即用矩形法即用矩形法.即先证四边形即先证四边形CFDE是矩形；是矩形； 再证再证DF=DE . 例例5 已知：如图，已知：如图，ABC中，中，C=90，CD平分平分ACB， DEBC于于E，DFAC于于F 求证：四边形求证：四边形CFDE是正方形是正方形 F E D A C B 证明：证明：C=90，DEBC于于E， DFAC于于F 四边形四边形CEDF有三个直角，有三个直角， 它是矩形它是矩形 又又CD平分平分ACB
10、根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知 DE=DF，所以，所以矩形矩形CEDF有一组邻边相等有一组邻边相等 根据正方形的判定方法，知四边形根据正方形的判定方法，知四边形CEDF是正方形是正方形 想一想：你 能用另外一 种方法完成 证明吗？ 思考：思考：正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关 系有怎样的包含关系？请填入下图中系有怎样的包含关系？请填入下图中. . 平行四边形平行四边形 菱形菱形 正方形正方形 矩形矩形 1.正方形的概念：正方形的概念： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等并且有一
11、个角是直角的平行四边形 叫做正方形叫做正方形. 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 有一组邻边相等有一组邻边相等 有一个角是直角有一个角是直角 图示：图示： 课堂小结课堂小结 正方形具有正方形具有_的性质，同时又具有的性质，同时又具有_的的 性质性质 边：对边边：对边_，四边，四边_； 角：四个角都是角：四个角都是_； 线：对角线相等，互相线：对角线相等，互相_，每条对，每条对 角线平分一组角线平分一组_ 形：是形：是_对称图形对称图形. . 菱形菱形 矩形矩形 直角直角 都相等都相等 相等相等 轴对称和中心轴对称和中心 平分平分 对角对角 2.2.正方形的性质：正方形的性质： 5种识种识 别方法别方法 一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小 结结
