1、小结和复习小结和复习 第17章 一元二次方程 一、本章知识结构图一、本章知识结构图 实际问题实际问题 实际问题的答案实际问题的答案 数学问题数学问题 00 2 acbxax a acbb x 2 4 2 数学问题的解数学问题的解 降降 次次 设未知数设未知数 列方程列方程 检检 验验 解解 方方 程程 配方法配方法 公式法公式法 分解因式法分解因式法 回眸点睛回眸点睛 1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数 与次数你能写出各种方程的一般形式吗？与次数你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有所学过的整式方程有：一元一次方
2、程、一元二次方程和二：一元一次方程、一元二次方程和二 元一次方程元一次方程 一元一次方程的未知数的个数为一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为个，次数为1 一元二次方程的未知数的个数为一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为个，次数为2 二元一次方程的未知数的个数为二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为个，次数为1 一元一次方程的一般形式为一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a0 ) 一元二次方程的一般形式为一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) 二元一次方程的一般形式为二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a0, b
3、0 ) 二、回顾与思考二、回顾与思考 2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？ 体会降次在解一元二次方程中的作用体会降次在解一元二次方程中的作用 配方法、公式法和因式分解法配方法、公式法和因式分解法 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程配方法、公式法适用于所有的一元二次方程 因式分解法适用于某些一元二次方程因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一 次方程，即降次次方程，即降次 思思 想想 化为一次方程化为一次方程 得到一元二次得到一元二次
4、方程的解方程的解 降降 次次 解一元一解一元一 次方程次方程 3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方 程有实数根？程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a0 )，都可以通过配方转化为，都可以通过配方转化为 2 2 2 4 4 2a acb a b x 当当b24ac0时，一元二次方程时，一元二次方程 有实数根有实数根 ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) a b x 2 , 4 4 2 2 a acb 1.若
5、若(a-3) +4x+5=0是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程,则则a的值为的值为 ( ) A.3 B.-3 C.3 D.无法确定无法确定 【自主解答】【自主解答】选选B.因为方程是关于因为方程是关于x的一元二次方程的一元二次方程,所以所以a2- 7=2,且且a-30,解得解得a=-3. 2 a7 x 题型一题型一 一元二次方程及根的有关概念一元二次方程及根的有关概念 考题分类考题分类 2.下列方程中下列方程中,一定是一元二次方程的是一定是一元二次方程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B. x2=0 C.3x2+2y- =0 D. x2+ -5=0 【解析解析】选选B.A中的二次项
6、系数缺少不等于中的二次项系数缺少不等于0的条件的条件,C中中 含有两个未知数含有两个未知数,D中的方程不是整式方程中的方程不是整式方程. 1 2 1 2 4 x 解方程解方程x2-2x-1=0. 【自主解答】【自主解答】移项得移项得:x2-2x=1,配方得配方得:x2-2x+1=2,即即(x-1)2=2, 开方得开方得:x-1= , x=1 ,所以所以x1=1+ , x2=1- . 2 2 2 2 题型二题型二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 用适当方法解下列方程用适当方法解下列方程 0)1( 2 x 054 2 xx 05 2 xx 0263 2 xx （5） 0423 2 2 xx
7、（1） （2） （4） (3) 若若5k+200,则关于则关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况的根的情况 是是( ) A.没有实数根没有实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.无法判断无法判断 题型三题型三 根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系 【自主解答自主解答】选选A.=16+4k= (5k+20), 5k+200,0,没有实数根没有实数根. 4 5 已知一元二次方程已知一元二次方程:x2+2x+3=0, x2-2x-3=0,下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A.都有实数解都有实数解
8、 B.无实数解无实数解,有实数解有实数解 C.有实数解有实数解,无实数解无实数解 D.都无实数解都无实数解 【解析解析】选选B.一元二次方程的判别式的值为一元二次方程的判别式的值为= b2-4ac=4- 12=-80,所以方程有两个不相等的实数根所以方程有两个不相等的实数根. 关于关于x的方程的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根 x1,x2,且有且有x1-x1x2+x2=1-a,则则a的值是的值是( ) A.1 B.-1 C.1或或-1 D.2 【解析】【解析】选选B.由题意由题意:x1+x2= ,x1x2= ,因为因为x1- x1x2+x2=1-
9、a,所以所以 - =1-a,即即 =1-a,解得解得a1=1,a2=-1.当当 a=1时时,原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根,不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以a=-1. 3a 1 a 2a2 a 3a 1 a 2a2 a a 1 a 某校为培养青少年科技创新能力某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动举办了动漫制作活动,小明小明 设计了点做圆周运动的一个雏型设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示如图所示,甲、乙两点分别甲、乙两点分别 从直径的两端点从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运 动动.甲运动的路程甲运动的路程
10、l(cm)与时间与时间t(s)满足关系满足关系:l= t2+ t(t0),乙以乙以 4cm/s的速度匀速运动的速度匀速运动,半圆的长度为半圆的长度为21cm. 1 2 3 2 题型四题型四 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 ( (1) )甲运动甲运动4s后的路程是多少后的路程是多少? ? ( (2) )甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时, ,它们运动了多少时间它们运动了多少时间? ? ( (3) )甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时, ,它们运动了多少时间它们运动了多少时间? ? 【自主解答】【自主解答】(1)当当t=4时时, l= 42
11、+ 4=14(cm). 答答:甲运动甲运动4s后的路程是后的路程是14cm. (2)设它们运动了设它们运动了ms后第一次相遇后第一次相遇,根据题意根据题意,得得: +4m=21, 解得解得m1=3,m2=-14(不合题意不合题意,舍去舍去). 答答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了它们运动了3s. 2 13 ( mm) 22 1 2 3 2 (3)设它们运动了设它们运动了ns后第二次相遇后第二次相遇,根据题意根据题意,得得: +4n=213, 解得解得n1=7,n2=-18(不合题意不合题意,舍去舍去). 答答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始
12、运动到第二次相遇时,它们运动了它们运动了7s. 2 13 ( nn) 22 【主题升华主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审审审清题意审清题意,找出等量关系找出等量关系. 2.设设直接设未知数或间接设未知数直接设未知数或间接设未知数. 3.列列根据等量关系列出一元二次方程根据等量关系列出一元二次方程. 4.解解解方程解方程,得出未知数的值得出未知数的值. 5.验验既要检验是否是所列方程的解既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符又要检验是否符 合实际情况合实际情况. 6.答答完整地写出答案完整地写出答案,注意单位注意单位. 为响应为响应“美丽广西清洁
13、乡村美丽广西清洁乡村”的号召的号召,某校开展某校开展“美丽广西美丽广西 清洁校园清洁校园”的活动的活动,该校经过精心设计该校经过精心设计,计算出需要绿化的面计算出需要绿化的面 积为积为498m2,绿化绿化150m2后后,为了更快地完成该项绿化工作为了更快地完成该项绿化工作,将每将每 天的工作量提高为原来的天的工作量提高为原来的1.2倍倍.结果一共用结果一共用20天完成了该项天完成了该项 绿化工作绿化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少该项绿化工作原计划每天完成多少m2? (2)在绿化工作中有一块面积为在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地的矩形场地,矩形的长比矩形的长比 宽的宽的
14、2倍少倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米请问这块矩形场地的长和宽各是多少米? 【解析】【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作则提高工作 量后每天完成量后每天完成1.2xm2,根据题意根据题意,得得 =20,解得解得x=22. 经检验经检验,x=22是原方程的根是原方程的根. 答答:该项绿化工作原计划每天完成该项绿化工作原计划每天完成22m2. (2)设矩形宽为设矩形宽为ym,则长为则长为(2y-3)m, 根据题意根据题意,得得y(2y-3)=170, 解得解得y=10或或y=-8.5(不合题意不合题意,舍去舍去). 2y-3=17.
15、答答:这块矩形场地的长为这块矩形场地的长为17m,宽为宽为10m. 150498 150 x1.2x 实际问题实际问题 设未知数，列方程设未知数，列方程 数学问题数学问题 2 00axbxca 解 方 程 解 方 程 配方法配方法 公式法公式法 因式分解法因式分解法 降降 次次 数学问题的解数学问题的解 2 2 4 40 2 bbac xbac a 检检 验验 实际问题的答案实际问题的答案 复习归纳复习归纳 (1)直接开平方法直接开平方法 x2=b(b 0) (2)因式分解法因式分解法 1 1、提取公因式法、提取公因式法 2 2、平方差公式、平方差公式 3 3、完全平方公式、完全平方公式 (3
16、) 配方法配方法 (4)公式法公式法 当二次项系数为当二次项系数为1 1的时的时 候，方程两边同加上候，方程两边同加上 一次项系数一半的平一次项系数一半的平 方方 当当b2-4ac0时，方程没有实数根时，方程没有实数根 一一 元元 二二 次次 方方 程程 的的 解解 法法 适应于任何适应于任何 一个一元二一个一元二 次方程次方程 适应于任何适应于任何 一个一元二一个一元二 次方程次方程 适应于左边能分解适应于左边能分解 为两个一次式的积，为两个一次式的积， 右边是右边是0的方程的方程 当当 时时 04 2 acb a acbb x 2 4 2 适应于没有一次项的适应于没有一次项的 一元二次方程一元二次方程
