1、第12 讲 相似三角形点的存在性问题如图，ABC中，AB=6，AC=8，AD=4，在AC上是否存在一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似？11486APAPADABACADP1ABC22468APAPADACABAP2DABC一一.问题的提出问题的提出二二.问题解决问题解决如图，ABC中，AB=6，AC=8，AD=4，在AC上是否存在一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似？11468ADABAPACAPADP1ABC22486ADACAPABAPADP2ACB1.1.如图，已知抛物线经过如图，已知抛物线经过A A（2 2，0 0），），B B（3 3，3 3）及原点）及
2、原点O O，顶点为，顶点为C C（1 1）求抛物线的函数解析式）求抛物线的函数解析式（2 2）P P是抛物线上第一象限内的动点，过点是抛物线上第一象限内的动点，过点P P作作PMPMx x轴，垂足为轴，垂足为M M，是，是否存在点否存在点P P，使得以，使得以P P，M M，A A为顶点的三角形与为顶点的三角形与BOCBOC相似？若存在，求相似？若存在，求出点出点P P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 22yxx解：（解：（1）O（0，0）A（-2，0）设抛物线：设抛物线：y=a（x-0）（）（x+2）B（-3，3），），3=a（-3-0）（）（-3+2）a=1 即：即
3、：（2）B（-3，3）C（-1，1）BOC90三三.问题应用问题应用1 7(3,15),(,)3 9设设M(t,0),(t0);则则P(t,t2+2t)PMABOC902133 2OCOB1331PMPMAMAM或2221232321tttttt或133tt或22yxx三三.问题应用问题应用 找相等的角找相等的角相等角的两边对应成比例相等角的两边对应成比例相似三角形点的存在性问题三三.问题应用问题应用例2.在平面直有坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0），B（4，n），该抛物线与y轴交于与点C，与x轴交于另一点D；（1）求m，n的值及抛物线解析式；
4、解解(1)A、B在直线在直线 y=x-1上，上，带入得带入得 m=1，n=3将点将点A（1，0），），B（4，3）带入）带入抛物线抛物线 y=-x2+bx+c2201344bcbc 解得：解得：b=6，c=-5抛物线为：抛物线为：y=-x2+6x-5（2）如图）如图2，连接，连接BD、CD，在线段，在线段CD上是否存在一点上是否存在一点Q，使得以使得以A、D、Q为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请相似，若存在，请求出点求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（2）如图）如图2，连接，连接BD、CD，在线段，在线段CD上是否存在一点上是否存在一点Q，
5、使得以使得以A、D、Q为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请相似，若存在，请求出点求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（2）令）令y=0，0=-x2+6x-5解得：解得：x1=1，x2=5直线直线AB：y=x-1与与 直线直线CD：y=x-5 平行平行BADADQ所以，只需所以，只需ABADADQDADADABQD或或（2）如图）如图2，连接，连接BD、CD，在线段，在线段CD上是否存在一点上是否存在一点Q，使得以使得以A、D、Q为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请相似，若存在，请求出点求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；的坐
6、标；若不存在，请说明理由；设：设：Q（m，m-5）3 244(5)2m443 2(5)2m解得：解得：m=2AB=3 2AD=4DQ=(5)2m由由ABADADQD解得：解得：73m 由由ADADABQD所以点所以点Q的坐标为：的坐标为：（2，-3），），78(,)332.2.如图，已知抛物线如图，已知抛物线 与与x x轴交于点轴交于点A A、B B，且，且A A点坐标为点坐标为（1 1，0 0），与），与y y轴交于点轴交于点C C（0 0，1 1）,过点过点B B作作BDBD/CA CA 交抛物线于点交抛物线于点D D （1 1）求抛物线的解析式，并求出点）求抛物线的解析式，并求出点B B
7、的坐标；的坐标；（2 2）在）在x x轴上方的抛物线上是否存轴上方的抛物线上是否存在点在点P P，过点，过点P P作作PEPE垂直于垂直于x x轴，垂轴，垂足为点足为点E E，使以，使以B B、P P、E E、为顶点的、为顶点的三角形与三角形与CBDCBD相似，若存在，请求相似，若存在，请求出点出点P P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由;2yaxb21yx 2 5(,)3 921yx 设E(m,0),(-1m1);则P(m,-m2+1)PEBCBD902133 2BCBD1331PEPEBEBE或2211131311mmmm或21(3m 或 m舍),m=-2(舍)4.4
8、.如图，抛物线如图，抛物线 y y=axax2 2+bxbx+c c（a a00）经过点）经过点A A（3 3，0 0）、）、B(1,0)B(1,0)、C(C(2 2，1)1)，交，交y y轴于点轴于点M.M.(1)(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；(2)(2)抛物线上是否存在一点抛物线上是否存在一点P P（不与（不与M M重合），作重合），作PNPN垂直垂直x x轴于点轴于点N N，使，使得以点得以点P P、A A、N N为顶点的三角形与为顶点的三角形与MAOMAO相似？若存在，求点相似？若存在，求点P P的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.5(8,15),(2,),(10,39)3212133yxx 13OMOA点N在点A左边:点N在点A右边:1331ANANPNPN或1331ANANPNPN或
