1、内容总结内容总结l绪论绪论l一阶常微分方程的初等解法一阶常微分方程的初等解法l一阶常微分方程初值问题解的基本理论一阶常微分方程初值问题解的基本理论l高阶线性方程高阶线性方程l一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组l非线性微分方程（稳定性）非线性微分方程（稳定性）绪论绪论内容总结内容总结微分方程、常微分方程、初值问题微分方程、常微分方程、初值问题（Cauchy问题）、方程的解、通解、特解、问题）、方程的解、通解、特解、积分曲线、线素、线素场、微分方程和解的积分曲线、线素、线素场、微分方程和解的几何意义，几个常见的微分方程模型。几何意义，几个常见的微分方程模型。基本要求基本要求1、熟练掌握微分方程的
2、所有基本概念；、熟练掌握微分方程的所有基本概念；2、会针对一些简单的背景建立微分方程模、会针对一些简单的背景建立微分方程模型并求解。型并求解。一阶常微分方程的初等解法一阶常微分方程的初等解法内容总结内容总结变量可分离方程、齐次方程、齐次的扩变量可分离方程、齐次方程、齐次的扩展类型、一阶线性方程、展类型、一阶线性方程、Bernoulli方程、恰方程、恰当方程、积分因子、一阶隐方程（四种可解当方程、积分因子、一阶隐方程（四种可解类型）、变量代换。类型）、变量代换。基本要求基本要求1、熟练掌握所有基本可解类型（必考）；、熟练掌握所有基本可解类型（必考）；2、会使用一阶线性方程的通解公式证明有、会使用
3、一阶线性方程的通解公式证明有关结论；关结论；3、会解简单的积分方程、会解简单的积分方程.一阶常微分方程初值问题解的基本理论一阶常微分方程初值问题解的基本理论内容总结内容总结一阶初值问题的存在及唯一性定理、解一阶初值问题的存在及唯一性定理、解的延拓定理、解对初值连续依赖性定理（连的延拓定理、解对初值连续依赖性定理（连续性定理）、解对初值的可微性定理续性定理）、解对初值的可微性定理.基本要求基本要求1、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握、熟练掌握存在定理（会完整阐述），掌握Picard逐次逼近法的基本过程（五个命题）。逐次逼近法的基本过程（五个命题）。2、掌握解的延拓定理（会完整叙述，弄、掌握解
4、的延拓定理（会完整叙述，弄清不同的区域形态下延拓的最终情况）；清不同的区域形态下延拓的最终情况）；3、会阐述解对初值的连续依赖性定理和、会阐述解对初值的连续依赖性定理和连续性定理；连续性定理；4、会阐述解对初值的可微性定理，会写、会阐述解对初值的可微性定理，会写出解对初值的偏导数公式出解对初值的偏导数公式.高阶线性微分方程高阶线性微分方程内容总结内容总结ln阶线性微分方程的形态、齐次方程、非齐阶线性微分方程的形态、齐次方程、非齐次方程次方程l齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、Wronsky行列式（行列式（W行列式判定函数相关行列式判定函数相关性）、齐线
5、性方程的基本解组和通解结构性）、齐线性方程的基本解组和通解结构.l非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通解结构解、常数变易法解结构解、常数变易法l复值函数定义、分析性质、运算法则；复指复值函数定义、分析性质、运算法则；复指函数的定义性质、函数的定义性质、Euler公式公式l常系数线性方程的基本解组求法（特别重要）常系数线性方程的基本解组求法（特别重要）lEuler方程方程l常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的非齐次项、待定系数法和复值函数法非齐次项、待定系数法和复值函数法l几种特殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程几种特
6、殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程的降阶（重点）的降阶（重点）l二阶线性方程的幂级数解法（了解）二阶线性方程的幂级数解法（了解）基本要求基本要求l熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构结构l熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括Euler方程）方程）l熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线性方程的求解（待定系数法、复值函数法）性方程的求解（待定系数法、复值函数法）l熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到一熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到一个非零解的前提下求出另一个线性无关的解）个非
7、零解的前提下求出另一个线性无关的解）l幂级数解法（了解即可）幂级数解法（了解即可）一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组内容总结内容总结l一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶线性方程转化为等价的线性方程组线性方程转化为等价的线性方程组l 齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表示，基解矩阵的有关性质示，基解矩阵的有关性质l非齐线性方程组的通解结构，常数变异公式，非齐线性方程组的通解结构，常数变异公式，通解公式，特解公式通解公式，特解公式l矩阵指数，矩阵指数的性质矩阵指数，矩阵指数的性质l常系数齐线性方程组的基解矩
8、阵计算（重点）常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点）l常系数非齐次线性方程组的求解常系数非齐次线性方程组的求解基本要求基本要求n熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解结构解结构n熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求解（重点）解（重点）n熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程的求解的求解试卷结构试卷结构u填空题填空题20分分1、基本概念；、基本概念；2、基本结论、基本结论u计算题计算题5060分分各种类型的微分方程的求解（各种类型的微分方程的求解（79题）题）u应用题应用题10分左右分左右
9、常微分方程建模并求解常微分方程建模并求解u证明题证明题10分左右分左右1、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 1、基本概念线性微分方程：线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性其各阶导数
10、全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程微分方程在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线常系数线性微分方程性微分方程通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确
11、定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题1、基本概念(1)(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2、一阶微分方程的解法可可分分离离变变量量方方程程的的特特点点：等等式式右右边边可可以以分分解解成成两两个个函函数数之之积积，其其中中一一个个只只是是 x的的函函数数，另另一一个个只只是是 y的的函函数数 （1 1）分分离离变变量量：将将该该方方程程化化为为等等式式一一边边只只含含变变量量 y ，而而另另一一边边只只含含变变量量 x的的形形式式，即即 xxfygyd)()(d其其中中0)(yg 例例1 1 求求
12、0 xyy的的通通解解 2、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2)(2)齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3)(3)可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程2、一阶微分方程的解法)()(xQyxPdxdy形如(4)(4)一阶线性微分方程一阶线性微分方程,0)(xQ当当方程称为齐次的方程称为齐次的方程称为非齐次的方程称为非齐次的.,0)(xQ当当齐次方程
13、的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1、2、一阶微分方程的解法2、非齐次微分方程的通解为、非齐次微分方程的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()()(例例2 2 求求方方程程xxxyyln的的通通解解.(5)(5)伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()(形如)1,0(n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1,0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1,0 n2、一阶微分方程的解法解法解法 经过变量代换化为线性微分方程经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令.32343yxyyx 求通解求通
14、解例例3 33、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解例例 4 4 求求方方程程xycos)3(的的通通解解 .解解 因因为为xycos)3(,所所以以 1sindcosCxxxy,3、可降阶的高阶微分方程的解法),(xPy 令令特点特点.y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得).(,(xPxfP ,Py 212pppx,分分离离变变量量得得 xxpppdd212,3、可降阶的高阶微分方程的解法两边积分两边积分12lnln)1ln(Cxp，得得xCp121.即即 11xCp ,也
15、也即即 11xCy.所以所以 132211212(1)d(1)3yC xxC xCC 为所为所求方程的通解求方程的通解.3、可降阶的高阶微分方程的解法),(xPy 令令特点特点.x不不显显含含自自变变量量),()3(yyfy 型型解法解法3、可降阶的高阶微分方程的解法pypxyyypxyydddddddd)(,于于是是,方方程程),(yyfy 可可化化为为 ),(pyfyppdd.212yyy 求通解求通解例例6 6解解.x方程不显含方程不显含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，,11 yCP,11 yCdxdy即即故方程的通解为故
16、方程的通解为.12211CxyCC 3、可降阶的高阶微分方程的解法（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形如形如4.4.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程(1 1)的的两两个个解解,那那末末2211yCyCy 也也是是(1 1)的的解解.（21,CC是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程(1 1)的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解,那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程(1 1)的的通通解解.定定理理 3 3 设设*y是是)
17、2(的的一一个个特特解解,Y是是与与(2 2)对对应应的的齐齐次次方方程程(1 1)的的通通解解,那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程(2 2)的的通通解解.定定理理 4 4 设设非非齐齐次次方方程程(2 2)的的右右端端)(xf是是几几个个函函数数之之和和,如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分分别别是是方方程程,)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的的特特解解,那那么么*2*1yy 就就是是原原方方程程的的特特解解.)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结
18、构）二阶非齐次线性方程的解的结构.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例7 7解解（）由题设可得：（）由题设可得：),()1)(2,02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.)(,)(331xxfxxp （）原方程为（）原方程为.313xyxy ，的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见221,1xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1*由解
19、的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy 、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sinc
20、os(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为、二阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx
21、解法解法待定系数法待定系数法.,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos
22、(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu,cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy 二、典型例题.1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例2 2解解特征方程特征方程,0122 rr特征根特征根,121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xeba
23、xxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 二、典型例题代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)(,)(,*yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy ,1)1(y,1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy 二、典型例题,1)1(y,1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始
24、条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 二、典型例题).2cos(212xxyyy 求解方程求解方程例例3 3解解特征方程特征方程,042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则,0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 二、典型例题由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xc
25、xdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 二、典型例题故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 二、典型例题间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例4 4oxm8m
26、10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm .0)0(,0)0(,99 xxgxgx即二、典型例题解此方程得解此方程得,1)(21)(3131 tgtgeetx,8,x即即整整个个链链条条滑滑过过钉钉子子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt二、典型例题一、一、选择题选择题:1 1、一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是().().(A)(A)()()(CdxexQeydxxPdxxP；(B)(B)dxexQeydxxPd
27、xxP)()()(；(C)(C)()()(CdxexQeydxxPdxxP；(D)(D)dxxPcey)(.2 2、方程、方程yyxyx 22是是().().(A)(A)齐次方程；齐次方程；(B)(B)一阶线性方程；一阶线性方程；(C)(C)伯努利方程；伯努利方程；(D)(D)可分离变量方程可分离变量方程.测 验 题测 验 题5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是().().(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0
28、)()(yxQyxPy的两个特解的两个特解,则则 2211yCyCy (其中其中21,CC为任意常数为任意常数)()()(A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解；(B)(B)是该方程的解；是该方程的解；(C)(C)是该方程的特解；是该方程的特解；(D)(D)不一定是该方程的解不一定是该方程的解.测 验 题8 8、已知方程、已知方程02 yyxyx的一个特解为的一个特解为xy ,于于 是方程的通解为是方程的通解为().().(A)(A)221xCxCy ；(B)(B)xCxCy121 ；(C)(C)xeCxCy21 ；(D)(D)xeCxCy 21.测 验 题9 9、已知方程、已知方程0)()
29、(yxQyxPy的一个特的一个特1y解为解为,则另一个与它线性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为().().(A)(A)dxeyyydxxP)(21121；(B)(B)dxeyyydxxP)(21121；(C)(C)dxeyyydxxP)(1121；(D)(D)dxeyyydxxP)(1121.测 验 题1010、方程、方程xeyyyx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ().().(A)(A)xeAyx2cos1；(B)(B)xxeBxxeAyxx2sin2cos11 ；(C)(C)xeBxeAyxx2sin2cos11 ；(D)(D)xexBxexAyxx2sin2cos
30、2121 .二二、求求下下列列一一阶阶微微分分方方程程的的通通解解:1 1、)1(lnln xaxyxyx；2 2、033 yxxydxdy；3 3、022 yxxdyydxydyxdx.测 验 题三三、求求下下列列高高阶阶微微分分方方程程的的通通解解:1 1、012 yyy；2 2、)4(2 xexyyy.四四、求求下下列列微微分分方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解:1 1、0)(2223 dyxyxdxy,11 yx时时，；2 2、xyyycos2 ,23,00 yyx时时，.五五、已已知知某某曲曲线线经经过过点点)1,1(,它它的的切切线线在在纵纵轴轴上上的的截截 距距
31、等等于于切切点点的的横横坐坐标标,求求它它的的方方程程 .测 验 题六、六、设可导函数设可导函数)(x 满足满足 1sin)(2cos)(0 xtdttxxx ,求求)(x.七、七、我舰向正东我舰向正东海海里里1处的敌舰发射制导鱼雷处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在鱼雷在航行中始终对准敌舰航行中始终对准敌舰.设敌舰以设敌舰以0v常常数数沿正北方向沿正北方向直线行驶直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷求鱼雷的航行曲线方程的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击将被鱼雷击中中?测 验 题测验题答案一、一、1 1、A A；2 2、A A；3 3、B B；4 4、A A；5 5、B B；6 6、B B；7 7、B B；8 8、B B；9 9、A A；10 10、C.C.二、二、1 1、xcaxyln ；2 2、12122 xeCyx；3 3、Cxyyx arctan222.三、三、1 1、)cosh(1211CxCCy ；2 2、xxexxeCeCCyxxx 222321)9461(.四、四、1 1、0)ln21(2 yyx；2 2、xxeyxsin21 .五、五、xxxyln .六、六、xxxsincos)(.七、七、)10(32)1(31)1(2321 xxxy.测验题答案
