1、模型一：模型一：A A字型字型特征：有一个公共角（1）A字型已知：DEBC,结论：（2）反A字型已知：AED=C,结论：(3)反A字型（共边共角）已知：ABD=C,结论：AB2=ADAC.（4）双垂直型已知：ABC是直角三角形，BAC=90,且ADBC,结论：AB2=BDBC；AC2=CDBC；AD2=BDCD.1.如图Z1-1，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，AD=1，E是边AC上的一点（E与端点不重合）.若以A,D,E为顶点的三角形与ABC相似，求AE的长.解：解：C=90C=90，AC=4AC=4，BC=3BC=3，AB=AB=5.=5.A=AA=A，当当D
2、EA=C=90DEA=C=90时，时，ABCABCADEADE，如答图，如答图Z1-1.Z1-1.此时此时解得解得AE=AE=当当EDA=C=90EDA=C=90时，时，ABCABCAEDAED，如答图，如答图Z1-1.Z1-1.此时此时AE=AE=2.如图Z1-2，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D（1）求证：ACDABC；（2）若AD1，DB4，求AC的长（1 1）证明：）证明：ACBACB9090，CDABCDAB于点于点D D，ADCADCACBACB9090又又CADCADBACBAC，ACDACDABC.ABC.（2 2）解：）解：ACDACDABCABC，解得解得ACAC
3、 或或ACAC-（不符题意，舍去）（不符题意，舍去）AC=.AC=.模型二：模型二：X X字型字型特征：有一组隐含的等角即对顶角相等（1）X字型已知：ABCD,结论：（2）反X字型已知：A=D,结论：3.如图Z1-3，在 ABCD中，AB=4，AD=9，点E是AD上的一点，AE=2DE.延长BE交CD的延长线于F，求FD的长解：解：AD=9AD=9，AE=2DEAE=2DE，AE=AD=6AE=AD=6，DE=AD=3.DE=AD=3.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCF.ABCF.ABEABEDFE.DFE.DF=2DF=24.如图Z1-4，BD，AC相交于点P，
4、连接AB,BC,CD,DA，1=2.（1）求证：ADPBCP；（2）若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长（1 1）证明：）证明：1=21=2，DPA=CPB,DPA=CPB,ADPADPBCP.BCP.（2 2）ADPADPBCPBCP，又又APB=DPC,APB=DPC,APBAPBDPC.DPC.AP=6.AP=6.模型三：旋转型模型三：旋转型特征：有一个公共顶点的一组角相等（1）旋转不相交型已知：BAC=DAE（或BAD=CAE），B=D,结论：ABCADE.（2）旋转相交型已知：BAC=DAE（或BAD=CAE），B=D,结论：ABCADE.5.如图Z1-5，已知在ABC中，AC
5、B=90，点D是边AB上一点，且CDECAB.（1）求证：CADCBE；（2）求证：EBAB证明：（证明：（1 1）CDECDECABCAB，ACB=DCE.ACB=DCE.ACB-DCB=DCE-DCBACB-DCB=DCE-DCB，即即ACD=BCE.ACD=BCE.CADCADCBE.CBE.（2 2）CADCADCBECBE，CAD=CBECAD=CBEACB=90ACB=90，CAD+CBA=90CAD+CBA=90.CBE+CBA=EBA=90CBE+CBA=EBA=90.EBABEBAB模型四：模型四：K K字型（一线三等角）字型（一线三等角）特征：两个三角形的各自一条边在同一直
6、线上，并且有一个顶点重合（1）一线三垂直型已知：B=ACE=D=90,结论：（1）ABCCDE;（2）ABDE=BCCD;（3）当C为BD中点时，ABCCDEACE.(2)一线三等角型已知：B=ACE=D=,结论：（1）ABCCDE；（2）ABDE=BCCD；（3）当C为BD中点时，ABCCDEACE.6.如图Z1-6，等腰三角形ABC中，AC=BC=8，点D，E分别是边AB，BC上一动点（不与顶点重合），且CDE=A=B，CE=5.设AD=x，BD=y（1）求y关于x的函数解析式（不用写x的取值范围）；（2）当AB=10时，求 的值解：（解：（1 1）AC=BC=8AC=BC=8，CE=5CE=5，A=BA=B，BE=BC-CE=3.BE=BC-CE=3.BDC=A+ACD=CDE+BDE,BDC=A+ACD=CDE+BDE,且且CDE=ACDE=A，BDE=ACD.BDE=ACD.又又A=B,A=B,ACDACDBDE.BDE.（2 2）AB=10AB=10，即，即x+y=10 x+y=10，且，且xy=24.xy=24.解解 或或则则BD=6BD=6或或4 4ACDACDBDEBDE，x=4x=4，y=6y=6x=6x=6，y=4.y=4.
