1、制作：董卫锋制作：董卫锋证明证明线线平行线线平行的方法的方法（1）线面平行的性质定理线面平行的性质定理3、线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理4、公理公理45、定义定义同时与一平面垂直的两直线平行同时与一平面垂直的两直线平行平行于同一直线的两直线平行平行于同一直线的两直线平行m l l/l l =m m（2）面面平行的性质定理面面平行的性质定理若一平面与两平行平面同时相交若一平面与两平行平面同时相交,则两交线平行则两交线平行两线共面且无公共点两线共面且无公共点证明证明线面平行线面平行的方法：的方法：（1）线面平行的线面平行的判定定理判定定理 a a b ba a/b ba（2）面面平行的面面平
2、行的性质定理性质定理 3、定义法、定义法 线面无公共点线面无公共点若两平面平行若两平面平行,则一平面内的任一直线与另一面平行则一平面内的任一直线与另一面平行证明证明面面平行面面平行的方法的方法（1）面面平行的判定定理面面平行的判定定理1若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，则两平面平行则两平面平行（2）面面平行的判定定理面面平行的判定定理2垂直于同一直线的两平面平行垂直于同一直线的两平面平行3、面面平行的判定定理面面平行的判定定理3同时与第三个平面平行的两平面平行同时与第三个平面平行的两平面平行证明证明线线垂直线线垂直的方法的方法（1）线面垂直的性质线
3、面垂直的性质（2）三垂性定理及逆定理：三垂性定理及逆定理：（3）等腰三角形中线即高等腰三角形中线即高4、勾股定理勾股定理一直线与平面垂直，一直线与平面垂直，则直线与平面内的所有直线垂直则直线与平面内的所有直线垂直注意条件注意条件证明证明线面垂直线面垂直的方法的方法（1）线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理3、线面垂直的性质线面垂直的性质直线与平面内的直线与平面内的两相交两相交直线垂直直线垂直两平行线中有一条与平面垂直，两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直则另一条也与平面垂直（2）面面垂直的性质面面垂直的性质若两平面垂直若两平面垂直,则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面则在一面
4、内垂直于交线的直线必垂直于另一平面4、面面平行的性质面面平行的性质一线垂直于二平行平面之一一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面则必垂直于另一平面5、定义法定义法直线与平面内任一直线垂直直线与平面内任一直线垂直证明证明面面垂直面面垂直的方法的方法（1）面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理一平面经过了另一平面的一条垂线一平面经过了另一平面的一条垂线2、定义法定义法二面角为二面角为900角角1 1、两异面直线所成角、两异面直线所成角方法：方法：平移法平移法直接平移法、直接平移法、中位线平移法、中位线平移法、补形平移法补形平移法步骤：步骤：作、证、求作、证、求证证平行平行 并交待某角即为两异面
5、直线并交待某角即为两异面直线所成角或补角所成角或补角作作作其中一异面直线的平行线作其中一异面直线的平行线求求把角放到三角形中去解把角放到三角形中去解2 20,0,2、线面角、线面角主要指斜线与平面所成角主要指斜线与平面所成角1）作）作先先在直线上取斜足以外的一点作平面的垂线在直线上取斜足以外的一点作平面的垂线后后连垂足与斜足得射影连垂足与斜足得射影2）证）证证直线与平面垂直，证直线与平面垂直，并交待并交待射影射影与某角是直线与平面所成角与某角是直线与平面所成角3）求）求 把角放到把角放到直角三角形直角三角形中去求中去求关键关键：找射影，找射影，找射影的关键是从斜线上一点作面的垂线找射影的关键是
6、从斜线上一点作面的垂线2 20,0,3、二面角、二面角方法方法：（1 1）三垂线定理法（三垂线定理法（最常用最常用）（2 2）定义法）定义法 全等三角形或等腰三角形全等三角形或等腰三角形（4 4）面积射影定理法）面积射影定理法 无棱二面角无棱二面角（3 3）垂面法）垂面法射射原原S Sc co os s=S S0,0,无棱二面角的求法无棱二面角的求法法一、法一、先作出二面角的棱，再根据有棱二先作出二面角的棱，再根据有棱二面角的平面角的作法作出其平面角求解面角的平面角的作法作出其平面角求解法二、法二、用面积射影法，此时无需作出二用面积射影法，此时无需作出二面角的棱及其平面角面角的棱及其平面角求距
7、离求距离1、点、点线距线距三垂线定理法三垂线定理法作作过点作线所在面的垂线得垂足，由垂足过点作线所在面的垂线得垂足，由垂足向直线作垂线又得一垂足，连接该垂足与点向直线作垂线又得一垂足，连接该垂足与点证证线线垂直，线线垂直，交待某线段即为所求距离交待某线段即为所求距离求求把线段放到直角三角形中去把线段放到直角三角形中去2、点面距、点面距直接法直接法：直接过点作面的垂线：直接过点作面的垂线间接法间接法：等体积法等体积法注：注：定垂足的方法定垂足的方法1）面面垂直的性质）面面垂直的性质垂足定在棱上垂足定在棱上1、棱锥的、棱锥的侧棱均相等侧棱均相等或或侧棱与底面所成的角侧棱与底面所成的角相等相等，则顶
8、点在底面上的射影为底面多边形，则顶点在底面上的射影为底面多边形的的外心外心2、棱锥的、棱锥的各侧面与底面所成角均相等各侧面与底面所成角均相等，或，或顶顶点到底面各边的距离相等点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上，则顶点在底面上的射影为底面多边形的的射影为底面多边形的内心内心（射影在内部）射影在内部）3、三棱锥的、三棱锥的三条侧棱两两垂直三条侧棱两两垂直，顶点在底面，顶点在底面上的射影是底面三角形的上的射影是底面三角形的垂心垂心三棱锥三组对棱中有三棱锥三组对棱中有两组对棱垂直两组对棱垂直，那么，那么第三组也垂直，且顶点在底面上的射影为第三组也垂直，且顶点在底面上的射影为底面三角形的底面三角形的
9、垂心垂心求距离求距离3、线面距、线面距特指线面平行时特指线面平行时4、线线距、线线距特指异面直线特指异面直线转化为点面距转化为点面距直接法直接法公垂线明显时公垂线明显时转化法转化法线面距线面距 面面距面面距 棱柱棱柱棱锥棱锥1、特殊四棱柱及它们之间的关系、特殊四棱柱及它们之间的关系棱柱棱柱底面是底面是四边形四边形四棱柱四棱柱底面是平底面是平行四边形行四边形平行六面体平行六面体侧棱与底侧棱与底面垂直面垂直直平行六面体直平行六面体底面是矩形底面是矩形长方体长方体底面是正方形底面是正方形正四棱柱正四棱柱侧面是正方形侧面是正方形正方体正方体侧棱与底侧棱与底面垂直面垂直直四棱柱直四棱柱底面是底面是正方形
10、正方形底面是平底面是平行四边形行四边形1.侧棱都相等，侧面是平行四边形；侧棱都相等，侧面是平行四边形；二、棱柱的性质二、棱柱的性质2.两个底面与平行于底面的截面是两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；全等的多边形；3.过不相邻的两条侧棱的截面是平过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形行四边形性质性质2 2、长方体的一条对角线与一个顶点上长方体的一条对角线与一个顶点上 的三条棱所成的角分别为的三条棱所成的角分别为、，则有则有coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=1 1三、长方体的性质三、长方体的性质性质性质1 1、长方体的一条对角线长的平方等于长方体的一条对角线长的平
11、方等于 一个顶点上的三条棱的长的平方和。一个顶点上的三条棱的长的平方和。性质性质3 3、长方体的一条对角线与各个面所长方体的一条对角线与各个面所 成的角分别为为成的角分别为为、，则有则有coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=2 2四、棱柱的面积与体积四、棱柱的面积与体积棱锥棱锥1、棱锥的性质、棱锥的性质 平行截面与底面相似，且面积比等平行截面与底面相似，且面积比等于小棱锥的高与大棱锥高的平方比。于小棱锥的高与大棱锥高的平方比。小棱锥与大棱锥的侧棱长之比，小棱锥与大棱锥的侧棱长之比，高之比，底面棱长之比相等高之比，底面棱长之比相等 小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面小棱锥的侧
12、面积与原棱锥的侧面积之比等于它们的对应高之比，也积之比等于它们的对应高之比，也等于底面积之比等于底面积之比2、正棱锥的定义、正棱锥的定义 1 1、底面是正多边形、底面是正多边形 2 2、顶点在底面的射影是底面中心、顶点在底面的射影是底面中心CSABDOECSABDOE3、正棱锥的性质、正棱锥的性质 (1)(1)各侧棱相等，各侧面都是各侧棱相等，各侧面都是 全等的等腰三角形全等的等腰三角形.(2)(2)高、斜高和斜高射影高、斜高和斜高射影 斜高相等斜高相等M 高、侧棱、侧棱射影高、侧棱、侧棱射影斜高、侧棱、底面边长的一半斜高、侧棱、底面边长的一半斜高的射影、侧棱的射影，底面边长的一半斜高的射影、
13、侧棱的射影，底面边长的一半 三棱锥中，在下列条件下顶点在底面的射三棱锥中，在下列条件下顶点在底面的射影分别是底面三角形的什么心？影分别是底面三角形的什么心？（1）各侧棱相等时为底面三角形的）各侧棱相等时为底面三角形的_ （2）各侧棱与底面所成角相等时底）各侧棱与底面所成角相等时底 面三角形的面三角形的_（3）顶点到底面各边距离相等且射影落在底）顶点到底面各边距离相等且射影落在底面内时为底面三角形的面内时为底面三角形的 _（4）各侧面与底面所成角相等时为底面三角）各侧面与底面所成角相等时为底面三角形的形的_（5）三条侧棱两两垂直时为底面三角形的）三条侧棱两两垂直时为底面三角形的 （6）各侧棱与其
14、对棱垂直时为底面三角形的）各侧棱与其对棱垂直时为底面三角形的 4、棱锥的面积与体积、棱锥的面积与体积正多面体与欧拉公式正多面体与欧拉公式一、球的截面性质一、球的截面性质1、球心球心和和不过球心的不过球心的截面截面圆心圆心的的 连线连线垂直垂直于截面；于截面；2、球心距、球心距d与球半径与球半径R、及截面圆的及截面圆的 半径半径r，有下面的关系：，有下面的关系：22dRr 经过这两点的大圆在这经过这两点的大圆在这两点间的一两点间的一段劣弧段劣弧的长度的长度 1、计算公式、计算公式l=|R球心角球心角 R球半径球半径2、类型、类型（1）经度相同，纬度不同）经度相同，纬度不同l=纬度差的绝对值纬度差
15、的绝对值球半径球半径（2）纬度相同，经度不同）纬度相同，经度不同先先求纬度圈（小圆）中的弦长，求纬度圈（小圆）中的弦长，再再在大圆中由余弦定理求球心角（弧度表示）在大圆中由余弦定理求球心角（弧度表示）最后最后用用l=|R三、球的面积与体积公式三、球的面积与体积公式334RV2 24 4R RS S 两个几何体两个几何体相切相切:一个几何体的各个一个几何体的各个面面与另与另一个几何体的各一个几何体的各面面相切相切.两个几何体两个几何体相接相接:一个几何体的所有一个几何体的所有顶点顶点都都 在另一个几何体的表面上在另一个几何体的表面上正四面体的性质正四面体的性质2、底面面积、底面面积234a321
16、2a32a612a63a1、底面三角形的高为、底面三角形的高为6、正四面体的外接球半径为、正四面体的外接球半径为5、正四面体的内切球半径为、正四面体的内切球半径为4、正四面体的体积为、正四面体的体积为3、正四面体的高为、正四面体的高为64a7、正四面体的、正四面体的中心是正四面中心是正四面体的内切球心体的内切球心也是正四面体也是正四面体的外接球心，的外接球心，并分高为并分高为13两段两段有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切一球切于正方体的各条棱于正方体的各条棱,一球过正方体的各顶一球过正方体的各顶点点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.S1:S2:S3=1
17、:2:3作轴截面作轴截面注注 意意 事事 项项一一.证明题：证明题：1.必须画图，说明必须画图，说明辅助线辅助线的画法；的画法；2.证明中不要跳步，要用足相关的定证明中不要跳步，要用足相关的定 理、理、定义，必要时可以用计算来证明；定义，必要时可以用计算来证明；3.重要的定理要注明，如重要的定理要注明，如三垂线定理三垂线定理。二二.计算题：计算题：1.要用定义指明所求的角或距离；如求要用定义指明所求的角或距离；如求二面角问题中要找出交线，并在两个平二面角问题中要找出交线，并在两个平面内分别找到与交棱垂直的直线，指出面内分别找到与交棱垂直的直线，指出二面角的平面角；二面角的平面角；2.如果用余弦
18、定理，则要指明三角形；如果用余弦定理，则要指明三角形；3.必要时可以转化为平面问题解决。必要时可以转化为平面问题解决。1空间四点空间四点A、B、C、D确定六条直确定六条直线，若线，若ABCD，ACBD，ADBC同时成立，则同时成立，则A、B、C、D四点的位置四点的位置关系是（关系是（）（A）一定共面）一定共面 （B）一定共线）一定共线 （C）不一定共面）不一定共面 （D）满足题设的四点不存在）满足题设的四点不存在C 2已知已知a,b是不同的直线，是不同的直线，,是不同是不同的平面，则下列条件中，不能判定的平面，则下列条件中，不能判定ab的是（的是（）（A）a,b,（B）a,b （C）a/,b/
19、,（D）a,a,b/C 3下列四个命题中正确命题的个数是（下列四个命题中正确命题的个数是（）垂直于同一直线的两个平面平行；垂直于同一直线的两个平面平行；两个两个平面都与同一直线平行是这两个平面平行的平面都与同一直线平行是这两个平面平行的充要条件；充要条件；与一个平面等距离的两点的连与一个平面等距离的两点的连线，一定平行于这个平面；线，一定平行于这个平面；如果一个平面如果一个平面与两条异面直线的公垂线垂直，那么这两条与两条异面直线的公垂线垂直，那么这两条异面直线必分别平行于这个平面。异面直线必分别平行于这个平面。（A）1个个 （B）2个个 （C）3个个 （D）4个个A4.直线直线m与平面间距离为
20、与平面间距离为d，那么到，那么到m与与距离都等于距离都等于2d的点的集合是（的点的集合是（）A.一个平面一个平面 B.一条直线一条直线 C.两条直线两条直线 D.空集空集C 6.有四个命题：有四个命题：当平面到球心的距离小于球半径时，当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；球面与平面的交线总是一个圆；过球面上两点只能作一个球大圆；过球面上两点只能作一个球大圆；过空间四点总能作一个球；过空间四点总能作一个球；球的任意两个大圆的交点的连线是球球的任意两个大圆的交点的连线是球 的直径的直径.以上四个命题中正确的有以上四个命题中正确的有()A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3
21、个个C 6正三棱锥的侧面与下底面所成的二面角正三棱锥的侧面与下底面所成的二面角的余弦值为的余弦值为 ，则其相邻两侧面所成的二，则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（面角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）033312221D 7水平地面有一个圆球，在阳光的照射下，水平地面有一个圆球，在阳光的照射下，其影子伸到距球与地面接触点其影子伸到距球与地面接触点10m远处，若远处，若此时，垂直于地面长为此时，垂直于地面长为1m的木杆影子长为的木杆影子长为2m，则此球的半径为（，则此球的半径为（）（A）20m （B）(1)m （C）5m （D）(10 20)m5 525D 8若等边若等边ABC的边长为的边
22、长为a，将它沿平行，将它沿平行于于BC的线段的线段PQ折起，使平面折起，使平面APQ平面平面BPQC，若折叠后，若折叠后AB的长为的长为d，则，则d 的最小的最小值为（值为（）（A）a （B）a （C）a （D）a345443104C 9正八面体相邻两面所成的二面角的正切正八面体相邻两面所成的二面角的正切值为（值为（）（A）1 （B）2 （C）（D）22234D 10在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1的的底面底面A1C1内取一点内取一点E，使，使AE与与AB、AD所成所成的角均为的角均为60，则线段，则线段AE的长为（的长为（）（A）（B）（C）（D）526223A 1
23、1一个球与一个正三棱柱的三个侧面和一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为两个底面都相切，已知这个球的体积为 那么该三棱柱的体积是（那么该三棱柱的体积是（）（A）96 （B）16 （C）24 （D）4832,33333D12设设ABCD为正四面体，为正四面体，E、F分别是分别是AC、AD的中点，则的中点，则BEF在该四面体的面在该四面体的面ADC上的射影是（上的射影是（）（A）（B）（C）（D）A 14已知球面上已知球面上A、B两点的球面距离等于两点的球面距离等于1，过这两点的球的半径的夹角等于过这两点的球的半径的夹角等于60，则这，则这个球的表面积与体积之比等于个球
24、的表面积与体积之比等于 。13RtABC中，中，B=90，C=30，D是是BC的中点，的中点，AC=4，DE平面平面ABC，且，且DE=1，则点，则点E到到AC的距离是的距离是 。72 16过底面边长为过底面边长为1的正三棱锥的一条的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为积为 ，那么这个三棱锥的侧面和底，那么这个三棱锥的侧面和底面所成的角的正切值等于面所成的角的正切值等于 。15长方体的对角线的长等于长方体的对角线的长等于1，其长、宽、，其长、宽、高分别为高分别为x、y、z，则，则x+y+z的最大值等的最大值等于于 。3412 17PA，PB，PC是
25、从是从P点引出的三条射线，点引出的三条射线，每两条的夹角为每两条的夹角为60，则直线，则直线PC与平面与平面APB所成角的余弦值为所成角的余弦值为 。33 18在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线BC1与平面与平面A1BD所成的角的正弦值等所成的角的正弦值等于于 。63 19若若 P是是ABC所在平面外一点，所在平面外一点，而而PBC和和ABC都是边长为都是边长为2的正的正三角形，三角形，PA ，那么二面角，那么二面角PBCA的大小为的大小为 .90 6 20已知二面角已知二面角l为为60，如，如果平面果平面内有一点内有一点A到平面到平面的距离的距离为为 ，那么，那么A在平
26、面在平面上的射影上的射影A1到到平面平面的距离为的距离为 。332 21长方体长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1=5，AB=12，那么直线，那么直线B1C1和平面和平面A1BCD1的距的距离是离是 .6013 22一个正四棱锥的一个对角面与一个侧一个正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积比为面的面积比为 :2，则它的侧面与底面所，则它的侧面与底面所成二面角为成二面角为 。60 23共端点共端点M的三条线段的三条线段MA、MB、MC两两垂直，过两两垂直，过M、A、B、C刚好可作一个刚好可作一个半径为半径为2的球，则的球，则MA、MB、MC的平方和的平方和为为 。16 24有半径相同的一个
27、半球和一个球中有半径相同的一个半球和一个球中各有一个内接正方体，则两个正方体的各有一个内接正方体，则两个正方体的棱长之比为棱长之比为 。1:225、C70 分子是与分子是与C60分子类似的球状分子类似的球状多面体结构，它有多面体结构，它有70个顶点，以每个个顶点，以每个顶点为一端都有顶点为一端都有3条棱，各面都是五边条棱，各面都是五边形或六边形。形或六边形。求：求：C70分子中五边形和六边形的个分子中五边形和六边形的个数数小结小结2、排列应用题的类型及处理方法排列应用题的类型及处理方法小结小结1、排列与组合的最大区别：排列与组合的最大区别：“有序有序”为排列为排列“无序无序”为组合为组合一、无
28、条件的排列问题一、无条件的排列问题二、有条件的排列问题二、有条件的排列问题1、某些元素必须排或不能排在一些位置上某些元素必须排或不能排在一些位置上 位置法、位置法、元素法、元素法、间接法间接法2、相邻问题相邻问题 捆绑法捆绑法3、不相邻问题不相邻问题 插空法插空法4、其它其它 投信法、等可能法、列举法等投信法、等可能法、列举法等小结小结3、组合应用题的类型及处理方法组合应用题的类型及处理方法一、无条件的组合问题一、无条件的组合问题二、有条件的组合问题二、有条件的组合问题1、抽样问题抽样问题 直接法直接法 间接法间接法2、几何问题几何问题 直接法直接法 间接法间接法3、分组问题分组问题 （不）（不）均匀分组均匀分组4、其它其它 等可能法、无序插空法等等可能法、无序插空法等小结小结4、排列与组合的混合题排列与组合的混合题 先组合后排列先组合后排列
