1、 山东省 2020 年高三下学期开学收心检测 数数 学学 考生注意：考生注意： 1本试卷分第本试卷分第 I卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟 2请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容 第第 I 卷卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.设集合 3
2、0log2Axx ， 2 318Bx yxx，则AB （ ） A. 13， B. 36 ， C. 39 ， D. 6 9， 【答案】D 【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合 A,B，直接进行交集运算. 【详解】因为 3 0log219Axxxx， 2 31803xxx 或6x， 所以6,9AB. 故选：D 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题. 2.已知复数 5 5 2 i zi i ，则|z （ ） A. 5 B. 5 2 C. 3 2 D. 2 5 【答案】B 【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得z，再求得z 【详解】 55 (2) 5
3、517 25 iii ziii i ，故 22 |( 1)75 2z . 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 3.设 1 3 3a ， 1 3 log 2b ， 1 2 1 3 c ，则（ ） A. bac B. cba C. bca D. cab 【答案】C 【分析】利用“0,1分段法”比较出, ,a b c三者的大小关系. 【详解】因为 1 3 31a ， 1 3 log 20b ， 1 2 1 01 3 c ，所以bca. 故选：C 【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题. 4.函数 2 ( )cos 3 f xx 的最小正
4、周期为（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 【答案】D 【分析】利用降次公式化简 f x表达式，再由此求得最小正周期. 【详解】因为 2 2 cos 21 1213 ( )coscos 2 32232 x f xxx ，所以最小正周期为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 5.“lnlnmn”是“ 22 mn ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得 ,m n的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】若lnln
5、mn，根据对数函数的定义域及单调性可知0mn，可得 22 mn，因而具有充分关 系； 若 22 mn，则m n，当0,0mn时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“lnlnmn”是“ 22 mn ”的充分不必要条件 故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题. 6.已知抛物线 2 :12C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限， 以F为圆心，FA为半径的圆交C的 准线于B，D两点，且,A F B三点共线，则|AF （ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】设准线与x轴交于K，由已知可得AB为圆F的直径，
6、ADBD，/ADx轴，可得 |2 |ADFK ，再由抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为,A F B三点共线，所以AB为圆F的直径， ADBD，/ADx轴，F为AB中点， 因为F到准线的距离为 6，所以| 12AD 由抛物线定义知| | 12ADAF， 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及其性质，考查圆的性质，考查了推理能力，属于中档题. 7.已知函数 ( )f x是偶函数， 当 0x时，( ) ln1f xxx， 则曲线( )yf x 在1x处的切线方程为 （ ） A. y x B. 2yx C. y x D. 2yx 【答案】A 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x时，
7、 f x的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜 率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x，( )()ln()1f xfxxx ，()11f ，( )ln()1fxx ，( 1)1f ， 所以曲线( )yf x在1x处的切线方程为11yx ，即y x . 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题. 8.在四面体ABCD中， 且ABAC，ACCD ，AB，CD所成的角为 30，5AB，4AC ，3CD ， 则四面体ABCD的体积为( ) A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】D 【分析】 先求出ACD的面积，再求出点B到面ACD的
8、距离，然后结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】 解： 由题意， 如图所示，ABAC，ACCD， 过点A作CD的平行线AE， 则AC 平面ABE， 且EAB为 30或 150， 从B点向AE作垂线，垂足为E， 易证BE 平面ACD. 则点B到平面ACD的距离 15 sin5 22 BEABEAB ， 1 6 2 ACD SAC CD 则， 则四面体ABCD的体积为 1 5 3 ACD VSBE . 故选：D. 【点睛】本题考查了棱锥体积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项
9、中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的，全部选对的得项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.一组数据 1 21x ， 2 21x ， 3 21x +， ，21 n x 的平均值为 7， 方差为 4， 记 1 32x ， 2 32x ， 3 32x ， ， 32 n x 的平均值为 a，方差为 b，则（ ） A. 7a B. 11a C. 12b D. 9b 【答案】BD 【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得,E XD X，进而求得平均值为 a， 方差为 b. 【详解】设 12
10、3 , n Xx xxx， 数据 1 21x ， 2 21x ， 3 21x +，21 n x 的平均值为 7，方差为 4， 即217,214EXDX， 由离散型随机变量均值公式可得21217,EXE X 所以3E X , 因而 1 32x ， 2 32x ， 3 32x ，32 n x 的平均值为 32323 3 211aEXE X ； 由离散型随机变量的方差公式可得2144,DXD X所以1D X , 因而 1 32x ， 2 32x ， 3 32x ，32 n x 的方差为 3299bDXD X， 故选：BD. 【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题. 10
11、.设 , ,m n l为三条不同的直线，, a为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A. 若 ,/ /mn ，则/mn B. 若/ / ,/ / ,mnmn，则 C. 若, ,mn ，则mn D. / / ,/ / ,mnlm ln，则l 【答案】C 【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】A选项中， ,m n可能异面；B 选项中， , 也可能平行或相交；D选项中，只有 ,m n相交才可推 出l.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.
12、 11.在三棱锥 D-ABC 中，1ABBCCDDA，且ABBC，CDDA，M，N分别是棱 BC，CD 的中点，下面结论正确的是（ ） A. ACBD B. /MN平面 ABD C. 三棱锥 A-CMN的体积的最大值为 2 12 D. AD 与 BC一定不垂直 【答案】ABD 【分析】根据题意画出三棱锥 D-ABC，取AC中点O，连接,OB OD：对于 A，根据等腰三角形性质及线 面垂直判定定理可证明AC 平面BOD，从而即可判断 A；对于 B，由中位线定理及线面平行判定定理即 可证明；对于 C，当平面DAC 平面ABC时，三棱锥 A-CMN的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式 即可求解；对
13、于 D，假设ADBC，通过线面垂直判定定理可得矛盾，从而说明假设不成立，即可说明原 命题成立即可. 【详解】根据题意，画出三棱锥 D-ABC如下图所示，取AC中点O，连接,OB OD： 对于 A，因为1ABBCCDDA，且ABBC，CDDA， 所以,ABCADC为等腰直角三角形， 则,ODAC BOAC且ODBOO， 则AC 平面BOD， 所以ACBD，即 A正确； 对于 B，因为 M，N 分别是棱 BC，CD的中点， 由中位线定理可得/MNBD，而BD 平面ABD，MN 平面ABD， 所以/MN平面ABD，即 B正确； 对于 C，当平面DAC 平面ABC时，三棱锥 A-CMN 的体积最大，
14、则最大值为 111212 1 1 3222248 A CMNNACM VV ，即 C 错误； 对于 D，假设ADBC，由ABBC,且ADABA, 所以BC平面ABD，则BCBD， 又因为ACBD，且ACBCC， 所以BD 平面ABC，由OB平面ABC，则BDOB， 由题意可知OBOD，因而BDOB不能成立，因而假设错误，所以 D正确； 综上可知，正确的为 ABD，故选：ABD. 【点睛】本题考查了空间几何体的性质及综合应用，三棱锥体积公式，线面平行、线面垂直的判定定理及 性质应用，属于中档题. 12.定义：若函数 F x在区间ab，上的值域为 ab，则称区间ab，是函数 F x的“完美区间”，
15、另 外，定义区间 F x的“复区间长度”为2 ba，已知函数 2 1f xx ，则（ ） A. 0,1是 f x的一个“完美区间” B. 15 15 , 22 是 f x的一个“完美区间” C. f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 5 D. f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 2 5 【答案】AC 【分析】根据定义，当0,1x时求得 f x的值域，即可判断 A；对于 B，结合函数值域特点即可判断； 对于 C、D，讨论1b与1b两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于 A，当0,1x时， 22 11f xxx ，则其值域为0,1，满足定义
16、域与值域的范围相 同，因而满足“完美区间”定义，所以 A 正确； 对于 B，因为函数 2 10f xx，所以其值域为0,，而1 5 0 2 ，所以不存在定义域与值域 范围相同情况，所以 B 错误； 对于 C，由定义域为ab，可知0ab， 当1b时，0,1ab，此时 22 11f xxx ，所以 f x在ab，内单调递减， 则满足 2 2 1 1 f aab f bba ，化简可得 22 aabb ， 即 22 11 22 ab ，所以 11 22 ab或 11 22 ab， 解得ab（舍）或1ab， 由 2 1 1 ab ab 解得1b或0b（舍） ， 所以10ab ，经检验满足原方程组，所以
17、此时完美区间为0,1，则“复区间长度”为22ba； 当1b时，若01a，则1ab，此时 min 10f xf.当 f x在ab，的值域为ab， 则 0,af bb，因为1b ，所以 2 1f bbb ，即满足 2 10bb ，解得 15 2 b ， 15 2 b （舍）.所以此时完美区间为 15 0, 2 ，则“复区间长度”为 15 2215 2 ba ； 若1a，则 2 1f xx，xab ，此时 f x在ab，内单调递增，若 f x的值域为ab， 则 2 2 1 1 f aaa f bbb ，则, a b为方程 2 10xx 的两个不等式实数根， 解得 1 15 2 x ， 2 15 2
18、x ， 所以 15 2 15 2 a b ，与1a矛盾，所以此时不存在完美区间. 综上可知，函数 2 1f xx 的“复区间长度”的和为2 1535 ，所以 C正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分 类讨论思想的综合应用，属于难题. 第第卷卷 三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为，则sin_. 【答案】 5 5 【分析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos的值，再根据同角三角函数的基本关
19、系式求得sin的值. 【详解】依题意0,，所以 2 102 55 cos,sin1 cos 55|55 a b a b . 故答案为： 5 5 【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 14. 38 1 (2)x x 展开式中常数项为_. 【答案】112 【分析】求得二项展开式的通项，令3(8)0rr，解得6r ，代入即可得到展开式的常数项 【详解】由题意，二项展开式的通项为 3 883(8) 188 1 (2)()2( 1) rrrrrrrr r TCxCx x ， 令3(8)0rr，解得6r ，所以常数项为 68 66 782 ( 1)112TC
20、 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题 15.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为 6点且硬币向上为正面”的概率为_ 【答案】 1 12 【分析】分别求得骰子向上为 6 点和硬币向上为正面概率，由独立事件概率公式即可求解. 【详解】骰子向上为 6点的概率为 1 6 ； 硬币向上为正面的概率为 1 2 ； 由独立事件概率公式可知“骰子向上为 6点且硬币向上为正面”的概率为 111 6212 ， 故答案为： 1 12 . 点睛】本题考查了古典概型概率求法，独立事件概率乘法公式应用，属于基础题. 16
21、.已知抛物线 2 4yx的准线与 x轴的交点为 H， 点 F为抛物线的焦点， 点 P在抛物线上且PHk PF， 当 k最大时， 点 P 恰好在以 H， F 为焦点的双曲线上， 则 k的最大值为_， 此时该双曲线的离心率为_ 【答案】 (1). 1 (2). 21 【分析】画出抛物线，过P作PN 抛物线准线于N，连接PH，设直线PH的倾斜角为，由抛物线定 义可得 1 cos PFPN kPHPH ， 由题意当 k 最大时，cos取得最小值.而当cos取得最小时， 直线PH 与抛物线相切，设出直线PH方程，联立抛物线可求得k，进而得切点坐标，即可由双曲线定义及几何性 质求得离心率. 【详解】根据题
22、意画出抛物线，过P作PN 抛物线准线于N，连接PH. 由抛物线定义可知PFPN，由PHk PF， （0k ） ， 设直线PH的倾斜角为，则cos cos PN HPN PH ， 可得 1 cos PFPN kPHPH ， 当 k最大时，cos取得最小值，且cos0， 当cos取得最小值时直线PH与抛物线 2 4yx相切， 设直线PH的方程为ykxk， 则 2 4 ykxk yx ，化简可得 2222 220k xkxk， 因为直线PH与抛物线相切，则 2 24 4240kk ， 解得1k ，由0k 可得1k ，同时可得切点横坐标为1x ， 将切点横坐标带入抛物线可得 1, 2P ， 因为点 P
23、 恰好在以 H，F为焦点的双曲线上， 由双曲线定义及两点间距离公式可得22 22aPHPF， 22cHF， 所以双曲线离心率为 1 21 21 c e a ， 故答案为：1； 21 . 【点睛】本题考查了抛物线定义及几何性质的应用，双曲线定义及几何性质应用，直线与抛物线相切位置 关系的应用，属于中档题. 四，解答题：本题共四，解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在cos23sin20BB ，2 cos2bCac， cos1 3sin bB aA 三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，并加以解答 已知
24、ABC内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若_，且 a，b，c 成等差数列，则ABC是否为 等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】；证明见解析 【分析】 选择：由余弦降幂公式代入即可求得sinB，结合 a，b，c成等差数列可得2bac， 3 B ，代入余 弦定理公式，即可得 2 bac，结合等式2bac可求得a c ，进而证明ABC为等边三角形. 【详解】选择cos23sin20BB， 证明：则由余弦降幂公式可得 2 1 2sin3sin20BB ， 即2sin3sin30BB， 由0B可得 3 sin 2 B ， 又因为
25、 a，b，c 成等差数列，则 B 为锐角， 则2bac， 3 B ， 由余弦定理可知 222 2cosbacacB， 代入可得 2 2 3bacac，即 2 bac， 则 2 2 ac ac ，化简可得 2 0ac， 即ac，又因为 3 B ， 所以ABC为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等 差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题. 18.已知数列 n a满足 123 123 252525253 n nn aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，证明： 11
26、226 n T 【答案】 （1） 35 2 n n a （2）证明见解析 【分析】 （1） 123 123 252525253 n nn aaaa ，当2n时， 1231 12311 252525253 n nn aaaa ，两式相减即得数列 n a的通项公式； （2）先求出 1 14411 35383 3538 nn a annnn ，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】 （1）解： 123 123 252525253 n nn aaaa ， 当1n 时， 1 4a 当2n时， 1231 12311 252525253 n nn aaaa ， 由-，得 35 2 2 n n an ， 因为
27、1 4a 符合上式，所以 35 2 n n a （2）证明： 1 14411 35383 3538 nn a annnn 12231 111 n nn T a aa aa a 4111111 381111143538nn 411 3838n 因为 11 0 3811n ，所以 11 226 n T 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19.如图， 在四棱锥SABCD中，ABCD是边长为 4 的正方形，SD平面ABCD，EF， 分别为ABSC， 的中点. （1）证明：/EF平面SAD. （2）若8SD，求二面角DEFS的正弦值. 【答案】 （
28、1）证明见解析（2） 2 2 3 【分析】 （1）记SD的中点为G，连接GF，GA，通过证明/GF AE，且GFAE推出四边形GFEA为平行四 边形， 则/EF AG， 由线线平行推出线面平行； （2） 以D为原点建立空间直角坐标系， 分别求出平面DEF、 平面SEF的法向量，代入 , m n cosm n m n 即可求得二面角的余弦值从而求正弦值. 【详解】 （1）证明：记SD的中点为G，连接GF，GA. 因为EF，分别为ABSC，的中点， 则/GF CD，且 1 2 GFCD. 因为/AE CD，且 1 2 AECD， 所以/GF AE，且GFAE， 所以四边形GFEA为平行四边形， 则
29、/EF AG. 又EF 平面SAD，AG 平面SAD， 所以/EF平面SAD. （2）以D为原点，分别以DA，DC，DS为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系Dxyz， 则0 08S， ，0 0 0D， ，4 2 0E， ，0 2 4F， ， (4,2,0),(0,2,4),( 4,0,4),( 4, 2,8)DEDFEFES 设平面DEF的法向量 111 mxyz， ， 则 11 11 420 240 DE mxy DF myz 令 1 2x ，则24 2m， ， 设平面SEF的法向量为 222 nxyz， ， 则 22 222 440 4280 EF nxz ES nx
30、yz 令 2 2x ，则2 4 2n ， ，. 1 , 3 m n cosm n m n ， 设二面角DEFS为，则 2 2 3 sin， 即二面角DEFS的正弦值为 2 2 3 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题. 20.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生 二孩的意愿，现随机抽取某地 200户家庭进行调查统计.这 200 户家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩 的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为 60. （1）完成下列22列联表，并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩
31、与头胎的男女情况有关； 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 （2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7户，进一步了解情况， 在抽取的 7 户中再随机抽取 4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望. 附： 2 P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中na b cd ）. 【答案】 （1）见解析，有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，
32、 16 7 EX 【分析】 （1）根据题目所给数据，计算并填写出22列联表，计算出 2 K 的值，由此判断出有 95%的把握认为是否 生二孩与头胎的男女情况有关. （2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X的分布列及数学期望. 【详解】 （1）因为头胎为女孩的频率为 0.5，所以头胎为女孩的总户数为200 0.5100. 因为生二孩的概率为 0.525，所以生二孩的总户数为200 0.525105. 22列联表如下： 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 10 合计 105 95 200 2 2 200(60 5545 40)600 3
33、.841 105 95 100 100133 K ， 故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的 200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7户，则这 7 户家庭中， 头胎生女孩的户数为 4，头胎生男孩的户数为 3，则X的可能取值为 1，2，3，4. 13 43 4 7 4 (1) 35 CC P X C ； 22 43 4 4 CC18 (2) C35 P X ； 31 43 4 4 CC12 (3) C35 P X ； 4 4 4 7 1 (4) 35 C P X C . X的分布列为 X 1 2 3 4 P 4 35 18 35 12 3
34、5 1 35 41812116 1234 353535357 EX . 【点睛】本小题主要考查22列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础 题. 21.已知 12 ,F F分别为椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线 :4m x 与x轴交于点A，直线 2 MF与直线AN的交点为B. （1）证明：点B恒在椭圆C上. （2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使 得 2 PTQ 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）见解析（2）存在，(1,0)T
35、【分析】 （1）根据题意求得 2, F A的坐标，设出,M N的坐标，求得直线 2, MF AN的方程，由此求得B的坐标，代 入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B恒在椭圆C上. （2）首先判断直线n的斜率是否存在.然后当直线n斜率存在时，设出直线n的方程y kxb ，判断出T的 位置并设出T的坐标.联立直线n的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得, k b的关系式，进而求 得P的坐标，结合Q点坐标以及 2 PTQ ，利用0TP TQ列方程，结合等式恒成立求得T的坐标. 【详解】 （1）证明：由题意知 2(1,0), (4,0) FA，设( , ),( ,)M s tN st，则
36、22 1 43 st . 直线 2 MF的方程为(1) 1 t yx s ，直线AN的方程为(4) 4 t yx s ， 联立可得 58 25 B s x s ， 3 25 B t y s ，即B的坐标为 583 , 25 25 st ss . 因为 222222 22 (58)12(58)369 1 434(25)4(25) BB xystss ss ， 所以B点恒在椭圆C上. （2）解：当直线n的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n的方程为y kxb ，由对称性可知，若平面 内存在定点T，使得 2 PTQ 恒成立，则T一定在x轴上，故设 0,0 T x， 由 22 , 1, 43 ykx
37、b xy 可得 222 4384120kxkbxb. 因为直线n与椭圆C只有一个公共点， 所以 222222 644 4341248 430k bkbkb ， 所以 43 , PPP k xykxb bb . 又因为(4,4), 2 QkbPTQ ，所以 00 43 ,4,40 k TP TQxxkb bb ， 即 00 43(4) 40 kkb xx bb . 所以 2 000 43440 k xxx b 对于任意的满足 22 430kb的 , k b恒成立， 所以 0 2 00 440, 430, x xx 解得 0 1x . 故在平面内存在定点(1,0)T，使得 2 PTQ 恒成立. 【
38、点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系， 考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 22.已知函数 ln1f xxx， 2 2g xaxax. （1）设函数 H xfxg x ，讨论 H x的单调性； （2）设函数 2G xg xax，若 f x的图象与 G x的图象有 11 A xy， 22 B xy，两个不 同的交点，证明： 1 2 ln2ln2x x. 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【分析】 （1）求出 H x的表达式并求导，分类讨论 H x的单调性； （2）由题意可得
39、1 axlnx x 有两个不同的 根，则 11 1 1 lnxax x ， 22 2 1 lnxax x ， 消去参数a得 12 122 12 12211 2 xxxxx ln x xln x xxxx ，构造 函数 21 1 1 t F tlntt t 求导研究函数单调性并利用放缩法推出12 12 2 1ln x x x x ， 再次构造函 数 2 xlnx x ，通过证明 12 2x xe来证明 1 2 22ln x xln. 【详解】 （1） 2 21H xfxg xlnxaxax，定义域为(0,)， 2 2212111 22 axaxxax Hxaxa xxx . 当0a时， H x在
40、 1 0 2 ， 上单调递增，在 1 2 ， 上单调递减. 当20a 时，令 0Hx ，得 11 0 2 x a ， ，所以 H x在 1 a ， 1 0 2 ， 上单调 递增； 令 0Hx ，得 11 2 x a ， ，所以 H x在 11 2a ， 上单调递减. 当2a 时， 0Hx ， H x在0 ，上单调递增. 当2a时， 令 0Hx ， 得 11 0 2 x a ， ， 所以 H x在 1 2 ， ， 1 0 a ， 上单调递增； 令 0Hx ，得 1 1 2 x a ， ，所以 H x在 1 1 2a ， 上单调递减. （2） 2 2G xg xaxax， 因为函数 f x的图象与
41、 G x的图象有两个不同的交点， 所以关于x的方程 2 1axxlnx，即 1 axlnx x 有两个不同的根. 由题知 11 1 1 lnxax x ， 22 2 1 lnxax x ， +得 12 1212 12 xx ln x xa xx x x ， -得 221 21 112 xxx lna xx xx x . 由，得 12 122 12 12211 2 xxxxx ln x xln x xxxx ，不妨设 12 0xx，记 2 1 1 x t x . 令 21 1 1 t F tlntt t ，则 2 1 0 1 t Ft t t ， 所以 F t在1 ，上单调递增，所以 10F t
42、F， 则 21 1 t lnt t ，即 21 2 112 2 xxx ln xxx ，所以 12 122 12 12211 2 2 xxxxx ln x xln x xxxx . 因为 1212 12121212 1212 1212 2444 2. xxx x ln x xln x xln x xln x x x xx xx xx x 所以12 12 4 22ln x x x x ，即12 12 2 1ln x x x x . 令 2 xlnx x ，则 x在0 ，上单调递增. 又 212 22 11 22 lneln ee ，所以12 12 22 12 2 ln x xlne x xe ， 即 12 2x xe，所以 2 12
