1、有理数知识梳理一、正数与负数1.如+3、+1.5、+584等大于0的数,叫做正数;如3、1.5、584等小于0的数,叫做负数【注】一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号, “+”常省略,但 “-”不能省略.带“+”号的数不一定是正数,带“-”的数不一定是负数,如a0时,+a表示一个负数,而-a表示一个正数0既不是正数也不是负数,它是正数和负数的分界线2.相反意义的量(1)定义:我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的量规定为负的,就产生了正数和负数.(2)具有相反意义的量的特点:具有相反意义的量是成对出现的,单独一个量不能成为具有相反意义的量;与一个量意义相反的量不止一个;具有
2、相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义相反,二是它们都具有数量;具有相反意义的量必须是同类量,如节约1吨水和浪费3吨油不是具有相反意义的量.二、有理数的分类 1.定义:整数和分数统称为有理数.2.分类(1)按整数、分数的关系分类: (2)按正数、负数与0的关系分类: 【注】有理数都可以写成分数的形式,整数也可以看作是分母为1的数.分数与有限小数、无限循环小数可以互化,所以有限小数和无限循环小数可看作分数,但无限不循环小数不是分数,例如正数和零统称为非负数;负数和零统称为非正数;正整数、0、负整数统称整数在对有理数进行分类时,要做到不重不漏.三、数轴1.定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线
3、叫做数轴.【注】原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可; 数轴是一条可以向两端无限延长的直线; 原点的位置、单位长度、正方向都是根据实际需要规定的; 一般地,数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数;反过来也对,即正数用数轴上原点右边的点表示,负数用原点左边的点表示,零用原点表示.2. 数轴与有理数的关系:任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不都表示有理教,还可以表示其他数,比如.四、相反数1.定义:只有符号不同的两个数互为相反数;0的相反数是0.2.性质:(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)数a的相反
4、数是-a,互为相反数的两数和为0.五、绝对值 1.定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.2.绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0即对于任何有理数a都有: 3.绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小4性质:(1)0除外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数(2)互为相反数的两个数的绝对值相等.(3)绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0六、有理数的大小比较 1数轴比较法:在数轴上表示出两个有理数,左边的数总比右边的数小2.代数比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于03.作差比较法:设a、b为任意数,若a-b0,则ab;若a-b0,则ab;若a-b0,ab;反之成立4.求商比较法:设a、b为任意正数,若,则;若,则;若,则;反之也成立若a、b为任意负数,则与上述结论相反5.倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小