1、2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 1. .两点间距离公式两点间距离公式 已知已知P P1 1（x x1 1,y,y1 1）, P, P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，则，则 22 122121 PPxxyy 要化为一般式要化为一般式 x y P0 (x0,y0) O :0lAxByC S R 00 22 |AxByC d AB Q d 2. .点到直线的距离公式点到直线的距离公式 一石激起千层浪一石激起千层浪 奥运五环奥运五环 福建土楼福建土楼 乐在其中乐在其中 小憩片刻小憩片刻 生 活 掠 影 生 活 掠 影 定点定点 定长定长 圆心圆心 半径半径 r C 初中学习的圆的定义
2、初中学习的圆的定义: : 平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的集合的点的集合. . 在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？ 1.1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆 的标准方程的标准方程. .（重点）（重点） 2.2.会用待定系数法求圆的标准方程会用待定系数法求圆的标准方程（难点）（难点） 思考思考1 1：直线可以用一个方程来表示，圆是否也直线可以用一个方程来表示，圆是否也 可以用一个方程来表示？你能推导出圆心为可以用一个方程来表示？你能推导出圆心为A(a,b)A(a,b
3、)， 半径为半径为r r的圆的方程吗？的圆的方程吗？ 探究点探究点 圆的标准方程圆的标准方程 A A M M r r x x o o y y (x,y)(x,y) (a,b) 22 2 xaybr 设点设点M (x,y)M (x,y)为圆为圆A A上任一点，上任一点， |MA|= r|MA|= r 则则 P = M|MA|=r P = M|MA|=r 圆上所有点的集合圆上所有点的集合 22 ()()xaybr-+-= 圆的标准方程圆的标准方程 x y O C M(x,y)M(x,y) 222 (xa)(yb)r (r0) 圆心圆心C(a,b),C(a,b),半径半径r r 若圆心为若圆心为O
4、O（0 0，0 0），则圆的方程为：），则圆的方程为： 222 xyr x,yx,y的系数相同的系数相同 思考思考2 2：圆的标准方程圆的标准方程(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2中有几个待中有几个待 确定的量确定的量? ?要求它们需几个独立的条件？要求它们需几个独立的条件？ 提示：提示：三个待确定的量三个待确定的量a,b,ra,b,r；要求它们需三个独；要求它们需三个独 立的条件立的条件. . 例例1. 1. 求以求以C(4,C(4,- -6)6)为圆心，半径等于为圆心，半径等于3 3的圆的方程的圆的方程. . 解解: :将圆心将圆心C C（4 4，-
5、 -6 6）、半径等于）、半径等于3 3代入圆的标准代入圆的标准 方程，可得所求圆的方程为方程，可得所求圆的方程为 22 4)(6)9.xy（ (x+3)(x+3)2 2+(y+(y- -4)4)2 2=5=5 【变式练习变式练习】 写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： (1)(1)圆心在点圆心在点C(C(- -3,4 )3,4 )，半径是，半径是 (x(x- -8)8)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25=25 (2)(2)经过点经过点P(5,1),P(5,1),圆心在点圆心在点C(8,C(8,- -3)3) 5 解：解：根据已知条件，圆心根据已知条件，圆心C C（a,b)a,b)
6、是是M M1 1M M2 2的中点，那的中点，那 么它的坐标为么它的坐标为 例例2.2.已知两点已知两点M M1 1(4, 9)(4, 9)和和M M2 2(6, 3)(6, 3)，求以，求以M M1 1M M2 2为直为直 径的圆的方程径的圆的方程. . 4693 5,6, 22 ab + = 所求圆的方程为所求圆的方程为 圆的半径为圆的半径为 1 22 r|C|(45)(96)M10.=-+-= 22 (5)(6)10.xy-+-= 温馨提示：温馨提示：中点坐标：中点坐标：A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为的中点坐标为 1212 (,). 22 xxyy 例例3.3. 的三个顶
7、点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,A(5,1), B(7, 3)3)，C(2, C(2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程 ABC 分析：分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个不在同一条直线上的三个点可以确定一个 圆，三角形有唯一的外接圆圆，三角形有唯一的外接圆 因为因为A(5,1), B(7,A(5,1), B(7,3)3)，C(2, C(2, 8) 8) 都在圆上，所都在圆上，所 以它们的坐标都满足方程以它们的坐标都满足方程. . 解：解：设圆方程为设圆方程为 222 (x a)(y b)r . 则则 222 222 222 (5a)(1 b)r
8、, (7a)( 3b)r , (2a)( 8b)r . 2416, 1. ab ab 所以所以 得得 a2, b3, r5. 所以，所求圆的方程为所以，所求圆的方程为 22 (2)(3)25.xy y y - -8 8 【变式练习变式练习】已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1A(1，1)1)，B(2B(2， - -2)2)，且圆心，且圆心C C在直线在直线l：x x- -y+1=0y+1=0上，求圆心为上，求圆心为C C的圆的的圆的 标准方程标准方程. . 解：解：因为因为A(1,1),B(2A(1,1),B(2，- -2),2),所以所以ABAB的中点的中点 31 ( ,),
9、 22 D 2 1 3. 2 1 AB k 所以所以ABAB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 113 (), 232 yx 即即 330.xy 由由 330, 10, xy xy 得得 3, 2. x y 所以所以C(C(- -3,3,- -2),2), 22 (1 3)(1 2)5.rAC 所以所求圆的标准方程为所以所求圆的标准方程为 22 (3)(2)25.xy D x x y y O O 【提升总结提升总结】待定系数法求圆的方程的步骤待定系数法求圆的方程的步骤 (1)(1)根据题意根据题意, ,设所求的圆的标准方程为设所求的圆的标准方程为(x(x- -a)a)2 2+(y+(y-
10、 -b)b)2 2 =r=r2 2. . ( (2)2)根据已知条件根据已知条件, ,建立关于建立关于a,b,r a,b,r 的方程组的方程组. . ( (3)3)解方程组解方程组, ,求出求出a,b,r a,b,r 的值的值, ,并把它们代入所设的方并把它们代入所设的方 程中去程中去, , 就得到所求圆的方程就得到所求圆的方程. . 探究点探究点2 2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 思考思考1 1：点与圆的位置关系有几种点与圆的位置关系有几种? ? 提示：提示：三种三种. .分别为点在圆内，点在圆上和点在分别为点在圆内，点在圆上和点在 圆外三种情形圆外三种情形. . 思考思考2 2：在直
11、角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点M(xM(x0 0，y y0 0) )和圆和圆C C： , ,如何判断点如何判断点M M在圆外、圆上、在圆外、圆上、 圆内？圆内？ 222 ()()xaybr (x(x0 0- -a)a)2 2+(y+(y0 0- -b)b)2 2rr2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外; ; (x(x0 0- -a)a)2 2+(y+(y0 0- -b)b)2 2=r=r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ; (x(x0 0- -a)a)2 2+(y+(y0 0- -b)b)2 2rr2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C内内. . 提示：提示：
12、 解：解：由由P P1 1P P2 2为直径可知圆心的坐标为为直径可知圆心的坐标为(4,6)(4,6)，半径，半径 为为 ， 所以圆方程为所以圆方程为(x(x4)4)2 2(y(y6)6)2 25 5， 把把M M，Q Q两点坐标代入圆的方程两点坐标代入圆的方程 (6(64)4)2 2(3(36)6)2 213135 5 (8(84)4)2 2(1(16)6)2 241415 5 所以所以M M，Q Q两点均在圆外两点均在圆外 5 例例4.4.已知两点已知两点P P1 1(3,8)(3,8)和和P P2 2(5,4)(5,4)，求以，求以P P1 1P P2 2为直径的为直径的 圆的方程，并判
13、断圆的方程，并判断M(6,3)(6,3)，Q(8,1)(8,1)是在圆上是在圆上, ,圆外圆外 还是还是圆内？圆内？ 圆心圆心 (2, (2, 4) 4) ，半径，半径 1.1.求下列圆的圆心与半径求下列圆的圆心与半径 圆圆 (x(x1)1)2 2+ (y+ (y1)1)2 2=9.=9. 圆圆 (x(x2)2)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=2.=2. 2. 圆圆(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=m=m2 2. . 圆心圆心 (1, 1)(1, 1)，半径，半径3.3. 圆心圆心 ( (1, 1, 2) 2) ，半径，半径|m|.|m|. 2. 2. 你能快速说
14、出下列圆的标准方程吗？你能快速说出下列圆的标准方程吗？ （1 1）圆心）圆心C C（- -3 3，4 4），半径为），半径为5.5. （2 2）圆心）圆心C C（2 2，- -1 1），半径为），半径为3.3. 22 (3)(4)25xy 22 (2)(1)9xy 3.3.点点(1,1)(1,1)在圆在圆(x(x- -a)a)2 2+(y+a)+(y+a)2 2=4=4的内部，则的内部，则a a的取值的取值 范围是范围是( )( ) A.A.- -1 1a a1 B.01 B.0a a1 1 C.aC.a1 1或或a a- -1 D.a=1 D.a=1 1 【解析解析】由于点由于点(1,1)(
15、1,1)在圆在圆(x(x- -a)a)2 2+(y+a)+(y+a)2 2=4=4的内部的内部, ,所所 以以(1(1- -a)a)2 2+(1+a)+(1+a)2 24 4，a a2 21 1，所以，所以- -1 1a a1.1. A A 4 4. . （20132013山东高考）山东高考）过点过点(3(3，1)1)作圆作圆 22 (2)(2)4xy 的的 弦，其中最短的弦长为弦，其中最短的弦长为_ 【解析】【解析】 半径为半径为2 2r r ，圆心为，圆心为 2,22,2 ，圆心到点，圆心到点 3,13,1 的的 距 离距 离 2222 3212232122d d , , 所 求 最 短
16、弦 长 为所 求 最 短 弦 长 为 2 2 2 2 2 222 22 222 2 【答案】【答案】2 22 2 . . 5.5.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： (1)(1)经过点经过点P(5P(5，1)1)，圆心为点，圆心为点C(6C(6，- -2)2)； (2)(2)过过A(2,5),B(0,A(2,5),B(0,- -1)1)点，且以点，且以 为直径的圆为直径的圆. . 答案答案: :(1) (1) (2)(2) 22 (1)(2)10xy-+-= 22 (6)(2)10xy-+= AB 6.6.写出圆心为写出圆心为A A（2 2，- -3 3），半径长等于），半径长等于5 5
17、的圆的方的圆的方 程，并判断点程，并判断点M M（5 5，- -7 7），），N N（ 0 0，- -1 1）是否在这）是否在这 个圆上？个圆上？ 点点M M在圆上，点在圆上，点N N在圆内在圆内. . 22 (2)(3)25xy-+= 7.7.过点过点A A（1 1，- -1 1），），B B（- -1,11,1）且圆心在直线）且圆心在直线x+yx+y- -2=02=0 上的圆的标准方程上的圆的标准方程. . 解：解：设圆的标准方程为（设圆的标准方程为（x x- -a a） + +（y y- -b b） =r=r ，根据，根据 已知条件可得已知条件可得 （1 1- -a a）+（- -1 1
18、- -b b）=r=r， （- -1 1- -a a）+（1 1- -b b）=r=r， a+ba+b- -2=02=0， 联立联立，解得解得a=a=1 1，b=b=1 1，r=r=2 2 所以所求圆的标准方程为所以所求圆的标准方程为（x x- -1 1）+（y y- -1 1）=4 4 1.1.圆的方程的推导步骤：圆的方程的推导步骤： 建系设点建系设点写条件写条件列方程列方程化简化简说明说明 2.2.圆的方程的特点：圆的方程的特点： 点点(a,b)(a,b)、r r分别表示圆心坐标和圆的半径分别表示圆心坐标和圆的半径. . 3.3.求圆的方程的两种方法：待定系数法和直接法求圆的方程的两种方法：待定系数法和直接法. . 4.4.点与圆的位置关系点与圆的位置关系. .
