1、4 平面向量的坐标 （1 1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示）掌握平面向量正交分解及其坐标表示； （2 2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算； （3 3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. . 1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理: : 存在唯一存在唯一 2 2、什么叫平面的一组基底、什么叫平面的一组基底? ? （1 1）平面的基底有多少组）平面的基底有多少组? ? 无数组无数组 （2 2）基底的要求是什么？）基底的要求是什么？ 不共线不共线 作作 (a,b)(a,b) 探究一探究一 平面内建立了直角坐标
2、系平面内建立了直角坐标系, ,点点A A可以用什么来表示可以用什么来表示? ? 平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢? ? A A a a b b 有有 因为由平面向量基本因为由平面向量基本 定理，平面向量与有定理，平面向量与有 序实数对一一对应序实数对一一对应. . x x y y o o i j 式是向量式是向量 的坐标表示的坐标表示. . 注意：注意：每个向量都有唯一的坐标每个向量都有唯一的坐标. . 探究二探究二 平面向量的坐标平面向量的坐标 在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别 a 1 1 2 2 - -2 2 - -1 1 x x y y 4 4 5
3、 5 3 3 - -4 4 - -3 3 - -2 2 - -1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 例例2 2 在平面内以在平面内以O O的正东方向为的正东方向为x x轴正向，正北方向为轴正向，正北方向为y y轴轴 的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别 求下列位移向量的坐标求下列位移向量的坐标. . 解：设解：设 并设并设P P（x x1 1，y y1 1），），Q Q（x x2 2， y y2 2），），R R（x x3 3，y y3 3）. . （1 1）由已知可知，）由已知可知，POP=45POP=45，| |=2.| |
4、=2.所以所以 OPa,OQb,ORc, aOPOPPP2i2j.a( 22).所以， OP （2 2）因为）因为QOQ=60QOQ=60， |OQ| 3,bOQOQQQ所以 33 33 3 3 ij.b(,). 2222 所以 （3 3）因为）因为ROR=30ROR=30， 所以，所以， |OR| 4,cOROR +RR=2 3i2j.所以 c=(2 32).， (x(x1 1,y,y1 1) ) 结论结论1 1: : 一个向量的坐标等于其终一个向量的坐标等于其终 点的相应坐标减去始点的点的相应坐标减去始点的 相应坐标相应坐标。 1 1 A A B B 1 1 x x y y A A1 1
5、B B1 1 (x(x2 2,y,y2 2) ) 探究四探究四 什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？ 向量的起点为原点时向量的起点为原点时. . 一一对应一一对应 在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. . 解：解： 练习： 探究五探究五 相等向量的坐标有什么关系？相等向量的坐标有什么关系？ 相等相等, ,与起点的位置无关与起点的位置无关. . 1 1 A A B B 1 1 x x y y A A1 1 B B1 1 (x(x1 1,y,y1 1) ) (x(x2 2,y,y2 2) ) (1)(1)任一平面向量都有唯一的坐
6、标任一平面向量都有唯一的坐标. . (2)(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点 在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. . (3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. . 结论结论: : 探究六探究六 全体有序实数对于坐标平面内的所有向量是否全体有序实数对于坐标平面内的所有向量是否 一一对应？一一对应？ 因此因此, ,在直角坐标系中在直角坐标系中, ,点或向量都可以看作有序实数点或向量都可以看作有序实数 对的直观形象对的直观形象. . 探究七探究七 平面向量的坐标运算：平面
7、向量的坐标运算： 结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐 标的和与差标的和与差. . 结论结论3 3：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标向量的相应坐标. . A(xA(x1 1,y,y1 1) ) O O x x y y B(xB(x2 2,y,y2 2) ) 结论结论1 1: :一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点 的相应坐标的相应坐标. . 从向量运算的角度从向量运算的角度 回顾回顾: : y y x x o o A A B B
8、 C C D D 得（得（0,20,2）- -（1,01,0）= =（- -1,1,- -2 2）- -（x,yx,y） 即（即（- -1 1，2 2）= =（- -1 1- -x x，- -2 2- -y y），）， 即点即点D D的坐标为（的坐标为（0 0，- -4 4）. . 解：由已知解：由已知 得得 （3 3，4 4）+ +（2 2，- -5 5）+ +（x,yx,y）= =（0 0，0 0） 123 FFF0, 32x0 45y0 x5 y1 3 F( 5,1), 探究八：平面向量共线的坐标表示探究八：平面向量共线的坐标表示 解解: :依题意依题意, ,得得 即即B B（3 3，-
9、 -1 1）. . 5 5、已知平行四边形、已知平行四边形ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐标分别为的坐标分别为 （- -2 2，1 1）、（）、（- -1 1，3 3）、（）、（3 3，4 4），求顶点），求顶点D D的坐标的坐标. . 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6-4-2246 x x y y O O A(A(- -2,1)2,1) B(B(- -1,3)1,3) C(3,4)C(3,4) D(x,y) 7 7、已知点、已知点A(A(- -1 1，- -1)1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，试判断，试判断A A、B B、 C
10、C三点是否共线？三点是否共线？ 6 6、已知向量、已知向量 =(4=(4，2)2)， =(6=(6，y)y)，且，且 ，求，求y y的值的值. . aba b 解：解：由已知可得由已知可得 即即(6,y)=(4(6,y)=(4，2)=(42)=(4，2)2) ba, 64 ,y3. y2 分析：分析：易证易证 所以所以A,B,CA,B,C三点共线三点共线. . 2 ABAC, 3 1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: : 2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: : 3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算. . (1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ; (2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系； (3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. . 4.4.平面向量共线的坐标表示：平面向量共线的坐标表示： axiyj(x,y). 向量向量 共线共线 x x1 1yy2 2=x=x2 2yy1 1 a,b(b0) 不要对一切人都以不信任的眼光看待,但 要谨慎而坚定。 德谟克里特
