1、利用质点和刚体运动规律研究振动现象9.1 9.1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征9.2 9.2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学9.3 9.3 简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换9.4 9.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 主要内容主要内容 振动基本概念：振动基本概念：机械运动机械运动:物体物体在某一位置附近往复运动的现象在某一位置附近往复运动的现象.按振动规律：简谐、非简谐、随机振动按振动规律：简谐、非简谐、随机振动.按振动原因：自由、受迫、自激、阻尼按振动原因：自由、受迫、自激、阻尼.1.振动振动:一个一个物理量物理量在某一定值附近往复变化的过程在某一定值附近往复变化的过程.按
2、按 自自 由由 度：单自由度系统、多自由度系统度：单自由度系统、多自由度系统.按振动位移：角振动、线振动按振动位移：角振动、线振动.按系统参数特征：线性、非线性振动按系统参数特征：线性、非线性振动.2.分类分类 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解kl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fx振动的成因振动的成因b 惯性惯性a 回复力回复力xkkxfx,020km令令 弹簧振子的动力学分析弹簧振子的动力学分析2202ddxxt 得得xxFmo22d xkFkxmaxdtm 22020dxxdt020 xx 0 l
3、TFP转转动动正正向向mglmglMsinsin5，时时动力学分析动力学分析：lgt22ddOAm22ddmglIt2Iml1.单摆单摆lg2令令222ddtglT2),(n:mldtdmldtdvmmamgsin:nlvmmgT2 cos sin0 gl gl20200 ，OO 或或：sin*lP（C C点为质点为质心）心）转动正向转动正向CO复摆动力学复摆动力学22ddmglIt20mglI令令)5(*lP（C C点为质点为质心）心）转动正向转动正向COFlM22sinddMmglIIt lgt22dd2202d0dt 0022mglIITmgl0k m弹簧振子弹簧振子0g l单摆单摆0m
4、glI复摆复摆20mglI得由由三、简谐振动的判据三、简谐振动的判据1.判断位移与时间是否满足微分方程：判断位移与时间是否满足微分方程：22020d xxdt2.判断所受力或力矩是否为线性回复力或力矩判断所受力或力矩是否为线性回复力或力矩对机械振动，用方程（1）或用线性回复力、线形回复力矩的概念定义简谐振动是等价的。超出机械运动范围，仍可用（1）式定义简谐振动。例题例题1 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动衡位置附近的振动是简谐振动.（证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。）动。）Axxl
5、根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得解解 与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动.0dd22 xmktxmglxktxm )(dd22平衡位置有平衡位置有klmg 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程.例题例题2 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a,水面以下高度为水面以下高度为b.水密度为水密度为，木块密度为木块密度为，不计水的阻力不计水的阻力.现用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐现用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐.
6、证证ab S平衡时平衡时 平衡时：平衡时：0)(gbSgSba重力浮力任意位置木块受到的合外力为：任意位置木块受到的合外力为：木块作谐振动木块作谐振动.gSxbgSbaF)()(gxS 即即0dd)(22 gxStxSba 0dd2022 xtx)(20bag 令令 S 任意位置任意位置abxOx证证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1x1、x2x2，则物体受力平衡，有，则物体受力平衡，有)1(sin2211xkxkmg)2()(sin)(sin111222xxkmgxxkmgF按图（按图（b b）所取坐标，物体沿）所取坐标，物体沿x x轴移动轴移动位移位移x x时，
7、两弹簧又分别被拉伸时，两弹簧又分别被拉伸x1 x1 和和x2x2，即，即x=x1+x2,x=x1+x2,则物体受则物体受力为力为 例例33如图如图(a)(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1k1和和k2k2，物体在光滑斜面上振动。（，物体在光滑斜面上振动。（1 1）证明其运动仍是）证明其运动仍是简谐运动；（简谐运动；（2 2）求系统的振动频率。）求系统的振动频率。kxxkkkkF2121将式（将式（1 1）代入式（）代入式（2 2）得）得)3(2211xkxkF式中式中 为常数，则物体作简谐运为常数，则物体作简谐运动，振动频率为动，振动频率为)/(2121k
8、kkkk121211/()222kfk kkkmm讨论讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响。生影响。由式（由式（3 3）得）得 而而x=x1+x2,x=x1+x2,，则得到，则得到)/,/2211kFxkFx简谐运动动力学方程简谐运动动力学方程积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定0cos()xAt解方程解方程设初始条件为设初始条件为:解得解得2202ddxxt 000 =时，时，v vtxx简谐运动方程简谐运动方程02TkmT220f012fT02f 圆频率圆频率 20cos()xAt的绝对值它的大小决定于振动的初始状
9、态。xvvxx00,0000cos,sintdxxAvAdt 202020 xvxAmaxxA000cos()sin()dxxAtvAtdt t00t sin)sin(cos)cos(0000AtAvAtAx0 AvAxsin;cos 相位的意义相位的意义:表征任意时刻表征任意时刻t 物体振动状态（相貌）物体振动状态（相貌）.物体经一周期的物体经一周期的振动，相位改变振动，相位改变2xvvxx00,000000cos;sin()xxxvAAvtgx 02100vAx,021000 AvAxxsincos 3 22020vxA00tanxv 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条
10、件初始条件)sin(tAv)cos(tAx 对给定振动系统，周期由对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定初相由初始条件决定.)(21 k221)(2)12()(21k 021)(1 2 )(2121 2 0cos()xAt2000 tAtAxvcossin tAtAxva020020coscos tttavx0002,xavaxv,222/2/tx 图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooT0cos()xAt0取取02T00cos()2At0sin()vAt 200cos()At200cos()aAt T二振动相位差二振动相位
11、差(2-1),若若(2-1)=2n ,n为整数，称两简谐振动同相位为整数，称两简谐振动同相位.若若(2-1)=(2n+1),n为整数，称两简谐振动反相位为整数，称两简谐振动反相位.6.两简谐振动步调的比较两简谐振动步调的比较 例题例题3 二同频率不同振幅的简谐振动表示为二同频率不同振幅的简谐振动表示为)cos()cos(20221011atAxatAx ),(nnn 10221 的情况比较两种振动的情况比较两种振动.试分别就试分别就),()(nnn 101221 和和解解（1）),(nnn 10221 )cos(1011 tAx)cos(10101 tAvx)cos()2cos()cos(10
12、21022022 tAntAtAx)cos()cos(102020202 tAtAvx二振动相位相同，即振动状态相同，同步调二振动相位相同，即振动状态相同，同步调.(2),()(nnn 101221 )cos(10202 tAvx)cos()12(cos1021022 tAntAx二振动相位相反，即二振动反步调二振动相位相反，即二振动反步调.0 振幅大小决定曲线的振幅大小决定曲线的“高低高低”，频率影响曲线的，频率影响曲线的“密集和疏散密集和疏散”.初相位决定曲线在横轴上的位置。初相位决定曲线在横轴上的位置。txO初相位初相位 =0 txO0 0 t00 t)cos(0 tAx 例题例题44
13、质点作简谐振动的曲线 如图所示，试根据图推出该质点的振动式。txt/s0241x/cm再由 ，在 时，从图判知，v 0，即故 在 两值中，只能取 。又据图有 ，代入振动式得 解解 因 ，从图得 A=4，下面计算 和 。据图有 时，代入振动式得)cos(tAx0t2xcos42 3,21cos)sin(tAv0tsinAv0sin332,1xt33),3cos(42 再由 时，可知 。故取1t0)3sin(Av0)3sin(.33.32 于是求得质点的振动式为)332cos(4tx本题在计算过程中取 的单位为 rad/s，t 的单位为 s，的单位为 rad，x 和A的单位为 cm。另一种描述运动
14、状态的方法是利用相平面相平面坐标和速度构成的坐标系。其上一点给出质点在某时刻的运动状态，随时间推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹或相图。位置和速度的关系曲线就是它的相图旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动，其角匀角速转动，其角速度速度 与振动频率与振动频率相等，这个矢量就相等，这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量.AA)cos(tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上
15、的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAo tAx0cos tAtAv0002sincostAtAxa020020coscos AAA 0 A0 200 tAcos20 A tA020cos例题例题5 如图右方表示如图右方表示 某简谐振动的某简谐振动的 x-t 图，试用作图，试用作图方法画出图方法画出 t1 和和 t2 时刻的旋转矢量的位置时刻的旋转矢量的位置.txO t1 t2 P1P2xOAA BB 解解 )(sin212122022k tmAmvE以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例)(sin21022 tkAmk/0 动能动能 xOm =0 x)cos()(0 tAtx)sin
16、(00 tAv势能势能 )(cos21210222p tkAkxE221kA pkEEE 总能总能 总机械能守恒，即总能量不随时间变化总机械能守恒，即总能量不随时间变化.OxtAx=cost0EA212k=EEkEPtO这些结论同样适用于任何简谐振动这些结论同样适用于任何简谐振动.(3)振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度.(1)任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.(2)总能量不变总能量不变.弹簧振子的动能和势能的平均值弹簧振子的动能和势能的
17、平均值相等，且等于总机械能的一半相等，且等于总机械能的一半.结论结论 (4)Ek与与Ep 相位相反相位相反.(5)Ek与与Ep的变化频率都是原频率的两倍的变化频率都是原频率的两倍.例题例题6 弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡位置移开位置移开 m，弹簧拉力为，弹簧拉力为24N，随即释放，形，随即释放，形成简谐振动。计算成简谐振动。计算:（1）弹簧振子的总能；（）弹簧振子的总能；（2）求质点）求质点被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能.21004 .解解（1）A0.04 mAfkkAfmaxmax
18、J48.0J04.024212121max2 AfkAE(2)取平衡位置为势能零点取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位行至振幅一半时相位为为60 cos(w0t+)=1/2 :J36.0J)2/3(48.0)(sin212022k tkAEJ 12.0J )36.048.0(p E 例例77质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：求：kg 10.0m 100.12（1 1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？2s
19、m 0.4Aamaxs 314.02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0.4m 100.1kg 10.0aAm，T；(2)maxk,E求求:(1)（4）pkEE 时时 J 100.13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105.0cm 707.0 x已知已知（3）max,ksumEEJ 100.23解解22max0.10 kg1.0 10 m4.0 m smAa，sumE；(4)何处动势能相等何处动势能相等?求求:(3)可利用机械能守恒定律求出简谐振动的运动学方程可利用机械能守恒定律求出
20、简谐振动的运动学方程.22222121)dd(21kAkxtxm tmkxAxdd22 )sin(tmkAx,2 ,0 mk)cos()sin(00 tAxtAx积分既得积分既得 令令 20221011 tAxtAxcoscos tAAtAAttAttAtAtAxxx0221102211202021010120210121 sinsinsincoscoscossinsincoscossinsincoscoscoscos 22112211 sinsinsincoscoscosAAAAAA )cos(122122212 AAAAA tAtAtAx000cossinsincoscos22112211
21、coscossinsintan AAAA 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动1A2AxA22sin A11sin A11cos A cosA22cos A用旋转矢量法同样得上述结果用旋转矢量法同样得上述结果 1 2 1A2A01A2A12AA0too212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k),2 1 0(，kxx)cos(122122212 AAAAAxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差)12(12k),1 0(，k21AAA)12(12kox（3）一般情况一
22、般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱减弱小结：小结：（1）相位差相位差212k)1 0(，k（2）相位差相位差)12(12k)1 0(，k二、二、两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（1）或或2012xAAy12 讨讨论论（2）12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxtAxcos1)2cos(2tAy（3）2121A2A
23、oxy1222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx 讨讨论论 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图 两相两相互垂直同互垂直同频率不同频率不同相位差简相位差简谐运动的谐运动的合成图合成图 三、两个同方向不同频率简谐运动的合成三、两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍.11111coscos2xAtAf t22222coscos2xAtAf t21xxx讨论讨论 ,的情况
24、的情况 21AA 2112ffff合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分 方法一方法一振幅振幅 振动频率振动频率121122cos2cos2xxxAf tAf t21211(2cos2)cos2 22ffffxAtt2112cos22ffAAt12()2fff1max2AA0minA60拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）2122ffT211Tff21fff21211(2cos2)cos2 22ffffxAtt 方法二：旋转矢量合成法方法二：旋转矢量合成法021212()ff t xo2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t12振幅振幅 振动圆频率振动圆频率2A2x2xAxo1A1x112t1t)(12t2)2cos(2121tAAxxt21cos221拍频拍频21fff)cos1(21 AA利用电子示波器，调整输入信号的频率比，可以在荧光屏上观察到不利用电子示波器，调整输入信号的频率比，可以在荧光屏上观察到不同样式的利萨如图形。因此，可由一个振动的已知频率，通过测量求同样式的利萨如图形。因此，可由一个振动的已知频率，通过测量求出另一个振动的未知频率。工程上常用这种方法来测定未知频率。出另一个振动的未知频率。工程上常用这种方法来测定未知频率。
