1、 课时目标 (1)了解单位圆的概念； (2)理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义； (3)理解三角函数的周期性. 知识点1 单位圆的定义 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单 位圆. 知识点 2 正弦函数、余弦函数 一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P(u，v)，那么点 P 的纵坐标 v 叫作角 的正弦函数，记作 vsin； 点 P 的横坐标 u 叫做角 的余弦函数，记作 ucos . 通常，我们用 x 表示自变量，即 x 表示角的大小，用 y 表示函数 值，这样我们就定义了任意角三角函
2、数 ysinx 和 ycosx.它们的定义 域为全体实数，值域为1,1. 知识点 3 正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin cos 讲重点 对三角函数定义的理解 (1)任意角的三角函数是在平面直角坐标系中定义的， 角的大小(自 变量的取值)可以是任意实数 (2)一个任意角的三角函数值的大小只依赖于角的大小(即只与 这个角的终边的位置有关) (3)正弦、余弦都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值 的函数由于角的大小与实数之间可以建立起一一对应的关系，故三 角函数可以看成自变量为实数的函数 “sin”不是“sin”与“”的乘积，而是
3、一个值；“sin”是一 个整体，单独的“sin”、“cos”是没有意义的 角、实数和三角函数值之间的对应关系 角与实数是一对一的，角和实数与三角函数值之间是多对一的， 如图所示： 知识点4 公式(一) sin(k2)sin，kZ； cos(k2)cos，kZ. 由此我们可以得到如下结论： 终边相同的角的同一三角函数的值相等 讲重点 诱导公式一的几点说明 (1)诱导公式一可以统一写成 f(k 360 )f()或 f(k2) f()(kZ)的形式，其中对应法则 f 为三角函数 (2)当用弧度表示时，必须写成 k2 而不是 k 的形式，其中 k Z. (3)诱导公式一说明了终边相同的角的同一三角函数
4、值相等这个 结论，即角和三角函数值的对应关系是多对一，如果给定一个角，它 的三角函数值是唯一确定的，反过来，如果给定一个三角函数值，却 有无数多个角与之对应 (4)诱导公式一的作用在于：可把任意角的三角函数值转化为 0 2(或 0 360 )之间角的三角函数值. 知识点 5 周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对于定义域内的任意一个 x 值，都有 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就称为周期函数，T 称为这个函 数的周期 (2)最小正周期 2 是正弦函数、 余弦函数正周期中最小的一个， 称为最小正周期 讲重点 关于周期函数和最小正周期的理解
5、(1)周期函数的定义是针对定义域中每一个 x 值而言的，只有个别 的 x 值满足 f(xT)f(x)不能说明 T 是 f(x)的周期 (2)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果没有特 别指明，一般都指它的最小正周期 (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期 (4)周期函数的周期不唯一， 若 T 是 f(x)的周期， 则 kT(kZ， k0) 一定也是 f(x)的周期 类型一 用三角函数的定义求三角函数值 【例 1】 若点 P(2m， 3m)(m0)在角 的终边上， 求 sin， cos 的值 思维启迪：抓住正弦、余弦的定
6、义是解决本题的关键 解析：点 P(2m，3m)(m0)在第二象限， 且 r 13m，故有： sin3m r 3m 13m 3 13 13 ，cos2m r 2m 13m 2 13 13 . 点评： 已知 m0， 所以可判定点 P(2m， 3m)在第二象限， 且 r 13 m，这一点必须注意. 变式训练 1 若 是第二象限角，P(x， 5)为其终边上一点，且 cos 2x 4 ，则 sin_. 解析：由题意，得 r x25.cos x x25 2x 4 ，x 3. 是第二象限角，x0，x 3， sin 5 8 10 4 . 答案： 10 4 类型二 三角函数值的符号判定 【例 2】 判断下列各式
7、的符号： (1) 是第二象限角，sin cos； (2)sin2cos3tan4. 思维启迪：首先判断角所在的象限，再判定函数值的符号 解析：(1) 是第二象限角， sin0，cos0，sin cos0. (2) 22， 23，4 3 2 ， 2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角 sin20，cos30，tan40. sin2cos3tan40. 点评： (1)能准确判定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键 (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，三角函数值在各象限 的符号规律可简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 变式训练 2 判断下列各式的符号 (1)sin10
8、5 cos230 ；(2)sin240 sin300 ； (3)cos16 3 sin；(4)cos4 cos5. 解析：(1)105 是第二象限角，sin105 0， 又230 是第三象限角，cos230 0， sin105 cos230 0. (2)240 是第三象限角，sin240 0； 又300 是第四象限角，sin300 0，sin240 sin300 0. (3)sin0.cos16 3 sin0. (4)4 是第三象限角，cos40，又5 是第四象限角， cos50，cos4 cos50. 类型三 利用公式(一)化简、求值 【例 3】 求下列各式的值 (1)sin1 470 ；(
9、2)cos9 4 . 思维启迪：先将各个角化为 2k(0,2)，kZ)的形式，再 求各角的三角函数值 解析：(1)sin1 470 sin(4360 30 )sin30 1 2. (2)cos9 4 cos 2 4 cos 4 2 2 . 点评： 利用诱导公式(一)可把负角的三角函数转化为 0 到 2 间的三角函 数，亦可把大于 2 的角的三角函数转化为 0 到 2 间的三角函数，即 实现了“负化正，大化小”同时要注意记忆特殊角的三角函数值 变式训练 3 求下列三角函数值： (1)cos(690 )；(2)sin17 4 . 解析：(1)cos(690 )cos360 (2)30 cos30
10、3 2 . (2)sin17 4 sin 22 4 sin 4 2 2 . 类型四 周期性的应用 【例 4】 已知函数 f(x)在定义域 R 上恒有 f(x)f(x)，f(2x)f(2x)，当 x0,4)时，f(x)x24x. (1)求 f(8)； (2)求 f(x)在0,2 010内零点的个数 思维启迪：(1)从等式 f(xT)f(x)来看，应强调的是自变量 x 本 身加的常数才是周期，如 f(2xT)f(2x)，写成 f 2 xT 2 f(2x)，则T 2 是 f(2x)的周期 (2)在周期函数 yf(x)中，T 是周期，则 kT(kZ，k0)一定也是 周期，也就是说 xkT(kZ，k0)
11、也属于其定义域，即周期函数的定 义域是一个无限集 解析：(1)由已知： f(8)f(26)f(26)f(4)f(4) f(22)f(22)f(0)0. (2)f(x)在定义域 R 上恒有：f(2x)f(2x)， f(x)f(4x)对 xR 恒成立 又 f(x)f(x)对 xR 恒成立， 故有：f(x)f(4x)对 xR 恒成立 即：4 是 f(x)的一个周期 x0,4)时，f(x)0 的根为 x0， f(x)0 在 R 上的根为：x4k，kZ. 由 04k2 010(kZ) 得：0k502.5(kZ) f(x)在0,2 010内的零点共有 503 个. 点评： (1)要证明非零常数 T 为函数的一个周期，只需在定义域内找到这 样一个常数 T，使对定义域内的任意的 x 值都有 f(xT)f(x)若函数 f(x)为周期函数，我们只需在一个周期内研究其性质即可 (2)解答本题易出现由 f(x)f(4x)得 4 是 f(x)的一个周期的错误， 出错的原因是忽视了自变量 x 本身加的常数才是周期 变式训练 4 若函数 f(x)是以 2为周期的偶函数，且 f 3 1，求 f 17 6 的值 解析：f(x)以 2为周期，f 17 6 f 17 6 5 2 f 3 . 又 f(x)是偶函数，f 3 f 3 ， f 17 6 f 3 1.
