1、4.3 单位圆与诱导公式单位圆与诱导公式(二二) 第一章第一章 三角函数三角函数 学习要求学习要求 1. 掌握同角三角函数的基本关系式；掌握同角三角函数的基本关系式； 2. 熟练运用基本关系式公式求值；熟练运用基本关系式公式求值； 3. 培养学生分析问题解决问题的能力。培养学生分析问题解决问题的能力。 自学导引自学导引 上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图所示上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图所示 ，任意角，任意角三角函数是如何定义的呢？三角函数是如何定义的呢？ P(x,y) O O x y 1 1 M A(1,0) sin=_=_ cos=_=_ tan=_=_ y x 自主探
2、究自主探究 O x y 1 M A(1,0) 在在RtOMP中中,由勾股定理有由勾股定理有 MP2 + OM2 = P(x,y) y2 + x2 =1 sin2+cos2=1 OP2=1 预习测评预习测评 已知：已知：sina = 0.8，填空：，填空：cosa = _ 哈哈哈哈 我换了个马甲！我换了个马甲！ 小样！别以为你小样！别以为你 换了个马甲我就换了个马甲我就 认不出你了！认不出你了！ 0.6 预习测评预习测评 22 9 sin1 cos 25 因因是第三角限角是第三角限角,所以所以 3 sin 5 sin3 tan cos4 已知已知cos=是第三象限角，求是第三象限角，求sin，t
3、an的值。的值。 要点阐释要点阐释 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：平方关系：_. (2)商数关系：商数关系：tan sin cos ( k 2， ，kZ) 这就是说，同一个角这就是说，同一个角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于 1，商，商 等于角等于角 的正切的正切(_) . sin2cos21 k 2， ，kZ 要点阐释要点阐释 对于上述两种关系可作哪些变形？对于上述两种关系可作哪些变形？ sincos tan,=? sin cos. tan cos , tan 2 2 1 1 = + tan sin . tan 2 2 2 1 = + c
4、ossin , 2 1= ? sin tan. cos 典例剖析典例剖析 题型一 3 sin,cos ,tan. 5 已知求的值 解解: :因为因为sin0,0,sin1,1,所以所以是第三或第四象限角是第三或第四象限角 22 sincos1由得 22 cos1sin 2 316 1 525 如果如果是第三象限角是第三象限角, ,那么那么cos0.0.于是于是 164 cos 255 如果如果是第四象限角是第四象限角,那么那么 4 cos 5 3 tan 4 sin353 tan() () cos544 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角
5、函数值 时要注意：时要注意： (1)角所在的象限；角所在的象限； (2)用平方关系求值时， 所求三角函数的符号由角所在的象用平方关系求值时， 所求三角函数的符号由角所在的象 限决定；限决定； (3)用商数关系时， 不要另加符号， 只需用公式用商数关系时， 不要另加符号， 只需用公式 tan sin cos 代入代入 sin 、cos 的值即可求得的值即可求得 tan . 已知：已知：sin 0.8，且，且 为第三象限角，求：为第三象限角，求：cos ， tan ，cot 的值的值. . 解：解： a 为第三象限角，为第三象限角， cosa 0，cos 0，cos 0，故，故 sin2sin4s
6、in2 1sin2 sin2cos2 |sin cos |sin cos . 题型三 求证：求证：(1)sin4cos42sin21； (2) tan sin tan sin 1 cos sin . 【证明证明】 (1)左边左边(sin2cos2)(sin2cos2) sin2cos2sin2(1sin2) 2sin21右边右边， sin4cos42sin21. 题型三 (2)左边左边 sin2 cos sin cos sin sin2 sin sin cos 1cos2 sin 1cos 1 cos sin 右边，所以原等式成立右边，所以原等式成立 题型三 证明三角恒等式常用的方法有：证明三
7、角恒等式常用的方法有： (1)由繁到简由繁到简，从结构复杂的一边入手从结构复杂的一边入手，经过适当的变形经过适当的变形、配凑配凑，向结构向结构 简单的一边化简简单的一边化简，或从等式两边同时入手或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数使它们等于同一个数(式式) (2)从已知或已证的恒等式出发从已知或已证的恒等式出发，根据定理根据定理、公式进行恒等变形公式进行恒等变形，推导出推导出 求证的恒等式求证的恒等式 (3)比较法比较法，证明待证等式的左证明待证等式的左、右两边之差为右两边之差为0. (4)从待证的恒等式出发从待证的恒等式出发，利用三角恒等变形公式利用三角恒等变形公式，找出一个显然成立的找
8、出一个显然成立的 恒等式或已有的结论恒等式或已有的结论 2求证：求证：sin (1tan )cos 1 1 tan 1 sin 1 cos . 证明：左边证明：左边sin 1sin cos cos 1cos sin sin sin 2 cos cos cos 2 sin sin cos 2 sin cos sin 2 cos sin2cos2 sin sin2cos2 cos 1 sin 1 cos 右边 右边原式成立原式成立 已知已知x0，sin xcos x1 5. (1)求求 sin xcos x 的值并指出角的值并指出角 x 所处的象限；所处的象限； (2)求求 tan x 的值的值
9、详细解析：详细解析： 【解】【解】 (1)由由 sin xcos x1 5，两边平方，得 ，两边平方，得 cos2xsin2x2sin xcos x 1 25， ， 12cos xsin x 1 25，即 ，即 cos xsin x12 25. sin xcos x0，且，且x0， x 为第四象限角为第四象限角 (2)(sin xcos x)212cos xsin x49 25， ， sin xcos x 7 5. x 为第四象限角，为第四象限角， sin x0， sin xcos x0，sin xcos x7 5. 联立联立 cos xsin x1 5，得 ，得 sin x3 5， ， co
10、s x4 5， ， tan xsin x cos x 3 4. (1)由由 sin xcos x1 5，两边平方可得 ，两边平方可得 sin xcos x 的的 值，由值，由 sin xcos x 的符号再结合的符号再结合x0 可判断可判断 sin x、cos x 的符号，从而确定的符号，从而确定 x 的象限的象限 (2)利用利用(sin xcos x)212sin xcos x 关系， 可求得关系， 可求得 sin xcos x 的值，再结合条件可求的值，再结合条件可求 sin x、cos x 的的 值，问题可以解决值，问题可以解决 纠错心得： 课堂总结课堂总结 （1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，）同角三角函数的关系式的前提是“同角”， （2） 条件等式，即它们成立的前提是条件等式，即它们成立的前提是 表达式有意义表达式有意义 cos sin tan （3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角 所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论. 1cossin 22 cos sin tan 平方关系：平方关系： 商数关系：商数关系：
