1、一、问题的提出一、问题的提出观察上节例观察上节例1,)(在复平面内处处解析在复平面内处处解析被积函数被积函数zzf 此时积分与路线无关此时积分与路线无关.观察上节例观察上节例2,()Re(),f zzx被积函数柯西黎曼方程柯西黎曼方程,故而在复平面内处处不解析故而在复平面内处处不解析.Re()d .czz此 时 积 分 值与 路 线 有 关由于不满足由于不满足一、问题的提出一、问题的提出二、基本定理二、基本定理四、原函数四、原函数三、复合闭路定理三、复合闭路定理.,域域但但此此区区域域已已不不是是单单连连通通的的内内部部函函数数处处处处解解析析C 由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有
2、关积分是否与路线有关,可能可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性决定于被积函数的解析性及区域的连通性.受此启发受此启发,柯西柯西(Cauchy)于于1825年给出如下定理年给出如下定理:观察上节例观察上节例,01 1 ,nzz被积函数当时为 cizzz.02d1 0 此时此时的的虽然在除去虽然在除去 0z说明积分与路线有关说明积分与路线有关D二、二、柯西古萨特柯西古萨特基本定理基本定理 (),():()d0.cf zDf zDCf zz 如果函数在内处处那么函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零单连通域解析1、柯西积分定理、柯西积分定理单连通区域单连通区域C1851年，黎曼在附加假设年，黎曼在
3、附加假设“在在D内连续内连续”的条件下，得到一的条件下，得到一个如下的简单证明个如下的简单证明)(zf 黎曼证明黎曼证明 ),(),()(,yxivyxuzfiyxz 令令 C,)(CCudyvdxivdyudxdzzf则则且满足且满足CR方程：方程：内连续，内连续，在在则则Dvvuuyxyx,xyyxvuvu ,由格林公式：由格林公式：()=0.xyCsudxvdyvudxdy Cdzzf.0)(从而从而定理又称为定理又称为柯西古萨特定理柯西古萨特定理.内连续内连续”的假设，的假设，发表上述定理新的证明方法因此，发表上述定理新的证明方法因此，1900年年,法国数学家法国数学家古萨（古萨（Go
4、ursat）免去免去“在在D)(zf 内连续，内连续，在在而而Dzf)()0.xyCsvdxudyuv dxdyD 0z1z 1C2C ,10zz 终点为终点为如果曲线起点为如果曲线起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf 解析函数在单连通域内的积分与路线无关解析函数在单连通域内的积分与路线无关由定理得由定理得()f zD如果函数在单连通区域内处处解析，无关无关与路线与路线那么积分那么积分CdzzfC)(即：即：如图，如图，则则关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 的边界的边界,)(在在函数函数zf ,上解析上解析即在闭区域即在闭区域CD
5、D ,上解析上解析内与内与CD czzf.0d)(那么那么(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 的边界的边界,)(在在函数函数zf ,上连续上连续在曲线在曲线C ,内解析内解析D定理仍成立定理仍成立.例例1 1解解 52.)dcos2(zzzzez计算积分计算积分 ,5 cos2 2上解析上解析在闭区域在闭区域函数函数 zzezz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有 52.0)dcos2(zzzzez说明：说明：本题若用复积分的计算公式，将很复杂本题若用复积分的计算公式，将很复杂例例2 2.65 12 izzdzzze计算积分计算积分解解,3,2 652 zzzez的奇点为的奇点为函数函
6、数 .1 652上解析上解析闭区域闭区域在在即即 izzzez根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得.065 12 izzdzzze都在曲线都在曲线 ,1 外部外部 iz三、复合闭路定理三、复合闭路定理1.闭路变形原理闭路变形原理 ,)(内解析内解析在多连通域在多连通域设函数设函数Dzf1 (),CCD及为内的任意两条简单闭曲线 正向为逆时针方向11 .CCDD及为边界的区域全含于DC1DAA BB 1C1 ()d()d.CCf zzf zz（闭路变形原理）（闭路变形原理）1()d()d()=0 .CCf zzf zzf z dz由柯西定理可推得：1()d()d.CCf zzf zz 解析函数沿
7、闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不不因闭曲线在区域内作连续变形而改因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.CC1D1DDC1C1DAA BB E FF 1 ,LAEBB E A A 记2.LAA F B BFA ,FFEE 添加字符添加字符12(),f zLL由于在 及 所围闭单通区域上解析,0d)(1 Lzzf故故,0d)(2 Lzzf Czzfd)(1d)(Czzf从而有从而有,0d)(d)(1 CCzzfzzf即即 AAzzfd)(AAzzfd)(BBzz
8、fd)(BBzzfd)(,0 ,BBAA 和和作两段不相交的弧段作两段不相交的弧段推导过程：,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那么那么,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ;kCC其中及均取逆时针方向即：复变函数沿多连通区域外边界线即：复变函数沿多连通区域外边界线逆时针方向逆时针方向的的积分等于沿所有内边界线积分等于沿所有内边界线逆时针方向
9、逆时针方向的积分之和。的积分之和。2.复合闭路定理复合闭路定理DC1C2C3C.0d)()2(zzf121212 ,:,.nnnCCCCCCCCCCCC 这里为由外边界线和内边界线组成的复合闭路 即其方向是沿逆时针方向沿顺时针方向多连通区域的柯西定理多连通区域的柯西定理xyo121C2C.1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzez例例3 3 解解 ,21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC ,zez函数在此闭圆环域上处处解析圆环域的边界线构成一条复合闭路圆环域的边界线构成一条复合闭路,根据复合闭路定理根据复合闭路定理,.0d zzez例例4
10、 4.,d)(1 为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求naCzazCn 解解 ,内部内部在曲线在曲线因为因为CaCa ,故可取很小的正数故可取很小的正数 .C :1内部内部含在含在使使 azC1C,)(11内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 CCazn由闭路变形原理由闭路变形原理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为C不必是圆不必是圆,a也不必是也不必是圆的圆心圆的圆心,只要只要a在简单闭曲线在简单闭曲线C内即可内即可.重要重要积分积分公式公式2,10,1.inn .1,01,2d)(1 nnizazCn 故故 1d)(1d
11、)(1CnCnzazzazCa 1C解（方法一）解（方法一）,1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点平面平面在复在复因为被积函数因为被积函数依题意知依题意知,xyo 1CC也也包包含含这这两两个个奇奇点点，例例5 5.1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 CzCzzzz Czzzd111.4 i Czzzzd122由上例的结论，由上例的结论，ii 2 2 CCzzzzd11d1（方法二）（方法二）xyo 1C.411:,41:21 zCzCC内作两个正向圆周内作两个正向圆周在在根据复合闭路定理根据复合闭路定理,1
12、C2C分割包围分割包围!21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii柯西积柯西积分定理分定理重要积重要积分公式分公式柯西积柯西积分定理分定理重要积重要积分公式分公式 Czzzzd122.4 i 四、原函数四、原函数由柯西积分定理，由柯西积分定理，1.变上限的积分变上限的积分:解析函数在单连通域内的积分与路线无关解析函数在单连通域内的积分与路线无关,10zz 终点为终点为如图，如果曲线起点为如图，如果曲线起点为D 0z1z 1C2C 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf011,zzDzz 如如果果固固定定让让在在内
13、内变变动动 并并令令0()()d.zzDF zf 便便可可确确定定 内内的的一一个个单单值值函函数数则则00 (),()()d ,()().zzf zDzzDF zfDF zf z 如如果果函函数数在在单单连连通通域域内内处处处处解解析析、那那末末函函数数必必为为内内的的一一个个解解析析函函数数 并并且且2、定理一、定理一0()()d ().zzF zff z称是的一个原函数3 3、原函数之间的关系、原函数之间的关系:;)(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf它就有无穷多个原函数它就有无穷多个原函数,)()(，内内有有一一个个原原函函数数在在区区域域若若zFDzf那么那
14、么其全体原函数可表示为其全体原函数可表示为为任意常数）为任意常数）CCzF()(4 4、定理二、定理二(复积分的复积分的Newton-LeibnitzNewton-Leibnitz公式公式)101001 (),()(),()d()(),.zzf zDF zf zf zzF zF zzzD如果函数在单连通域内处处解析为的一个原函数 则这里为域内的两点()5,f zD函数在单连通域内处处解当析时、说明：10()dzzf z z对于积分的计算类似于高等数学里的定积分，可以采用高等数学里关于定积分的所有积分公式和积分方法.例例6 6解解 .d 10的值的值求求 zzzz,z是在复平面内是解析函数110
15、021 d 2zzzzz zz).(212021zz 例例7 7.dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 例例8 8.dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin解解izii0cossin .11 e使用使用:“分部分部积分法积分法”.d 11的值的值求求 izzze).1sin1(cosiie 课堂练习课堂练习答案答案1cossin iii小结与思考小结与思考 1.通过本课学习通过本课学习,重点掌握柯西积分定理重点掌握柯西积分定
16、理:.0d)(:)(,)(czzfCDzfDzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数并注意定理成立的条件并注意定理成立的条件.2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论:.1,01,2d)(1 nnizazCn 的任意一条闭曲线的任意一条闭曲线为包围点为包围点其中其中aC 3.本课介绍了原函数、的定义以及牛顿本课介绍了原函数、的定义以及牛顿
17、莱莱布尼兹公式布尼兹公式.在学习中应注意与在学习中应注意与高等数学高等数学中中相关内容相结合相关内容相结合,更好的理解本课内容更好的理解本课内容.d)()(0 zzfzF )(d)(czFzzf )()(d)(0110zGzGzzfzz 1.应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?2.解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有何异同何异同?思考题思考题思考题答案思考题答案1.应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域
18、内处处解析单连通域内处处解析”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.0 2 1 12321 1)(:1 izzzzzfz，但，但是该区域内一条闭曲线是该区域内一条闭曲线内解析，单位圆内解析，单位圆在多连通区域在多连通区域反例反例 1 )(:内处处不解析，但内处处不解析，但在单位圆在单位圆反例反例 zzzf .)(0,d)(内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC 1dzzz 201diei.0)sin(cos20 dii 2.解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有何异同何异同?两者的说法和结果是类似的两者的说法和结果是类似的.0(),;f zCzz但在复积分中要求为单连域中的函数且积分路解析线是曲线因而都是复数(),.f xa ba x在实积分中要求为区间上的实函数续都是实数连两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.GoursatBorn:21 May 1858 in Lanzac,Lot,FranceDied:25 Nov 1936 in Paris,France古萨特资料古萨特资料作业：作业：P46P46 3.3(2)3.3(2)、(4)(4)、(6)(6)3.5 3.5
