1、 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院第第 6章章 方差分析方差分析学习目标学习目标6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 6.2 单因素方差分析单因素方差分析6.3 双因素方差分析双因素方差分析 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院学习重点1.解释方差分析的概念解释方差分析的概念2.解释方差分析的基本思想和原理解释方差分析的基本思想和原理3.掌握单因素方
2、差分析的方法及应用掌握单因素方差分析的方法及应用4.掌握双因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 什么是方差分析(ANOVA)?1.检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类型自变量两个或多个(k 个)处理水平或分类一个数值型因变量3.有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双
3、因素方差分析：涉及两个分类的自变量 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院什么是方差分析?(例题分析)饮料的颜色对销量的影响饮料的颜色对销量的影响 颜色颜色超市超市无色无色粉色粉色桔黄色桔黄色绿色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财
4、经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院什么是方差分析?(例题分析)1.分析饮料颜色对其销售量是否有显著差异。2.即检验这四种颜色饮料的销量的均值是否相等3.若它们的均值相等，则意味着饮料颜色对其销售量是没有影响的，即它们之间的销量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着饮料颜色对其销售量是有影响的，它们之间的销售量有显著差异 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院方差分析中的有关术语1.因素或因子(factor)所要检验的对象要分析颜色对饮料的销量是否有影响，颜色颜色是要检验的
5、因素或因子2.水平或处理(treatment)因子的不同表现无色、粉色、桔黄色、绿色就是因子的水平3.观察值在每个因素水平下得到的样本数据每种颜色饮料的销量就是观察值 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院方差分析的基本思想和原理(两类误差)1.随机误差随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一颜色下不同销售地点的销量是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差随机误差 2.系统误差系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，不
6、同颜色饮料销量之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差系统误差 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院方差分析的基本思想和原理 1.比较两类误差，以检验均值是否相等 2.比较的基础是方差比 3.如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTA
7、TISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院方差分析的基本思想和原理(误差平方和)1.数据的误差用平方和(sum of squares)表示2.组内平方和(within groups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的平方和组内平方和只包含随机误差随机误差3.组间平方和(between groups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的平方和组间平方和既包括随机误差随机误差，也包括系统误差系统误差 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计
8、信息学院方差分析的基本思想和原理(误差的比较)1.若原假设成立，组间平方和与组内平方和经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近12.若原假设不成立，组间平方和平均后的数值就会大于组内平方和平均后的数值，它们之间的比值就会大于13.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断颜色对饮料销量是否有显著影响，也就是检验销量的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同颜色对饮料销量有显著影响 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院
9、云南财经大学统计信息学院6.2 单因素方差分析单因素方差分析1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1,2,k 表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：H0：1 2 k H1：1,2,，k 不全相等不全相等3.设 1为无色饮料销量的均值，2为粉色饮料销量的均值，3为桔黄色饮料销量的均值，4为绿色饮料销量的均值，提出的假设为H0：1 2 3 4 H1：1,2,3,4 不全相等不全相等 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院单因素方差分析的数据结构(one
10、-way analysis of variance)观察值观察值 (j)因素因素(A)i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 :x1n x2n xkn 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院提出假设1.一般提法H0：1=2=k 自变量对因变量没有显著影响 H1：1，
11、2，k不全相等自变量对因变量有显著影响 2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值误差平方和均方(MS)统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算水平的均值)1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随
12、机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算总离差平方和 SST)1.全部观察值 与总平均值 的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况
13、3.其计算公式为 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算水平项平方和 SSA)1.各组平均值 与总平均值 的离差平方和2.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算误差项平方和 SSE)1.每个水平或组的各样本数据与其组
14、平均值的离差平方和2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和3.该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(三个平方和的作用)1.SST反
15、映全部数据总的误差程度；SSE反映随机误差的大小；SSA反映随机误差和系统误差的大小2.如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方均方差异就不会太大；如果组间均方组间均方显著地大于组内均方组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差3.判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差组间方差与组内方差组内方差之间差异的大小 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(
16、计算均方MS)1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方均方，也称为方差2.计算方法是用误差平方和除以相应的自由度3.三个平方和对应的自由度分别是SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE 的自由度为n-k 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算均方 MS)1.组间方差组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为 统统统 计计
17、计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(计算检验统计量 F)1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院构造检验的统计量(F分布与拒绝域)统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云
18、南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FF ，则拒绝拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响若FA F ，则拒绝拒绝原假设H0，表明均值之间有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著影响 统统统 计计计 学学学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院云南财经大学统计信息学院End of Chapter 6
