1、1第十一章 结构的极限荷载11-3 超静定梁的极限荷载11-1 概述11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态11-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理11-5 刚架的极限荷载2主要内容：结构进入塑性状态后的承载力(极限荷载)研究。结构类型：梁和刚架。讨论的目的：确定结构的极限荷载。问题是：为什么讨论结构进入塑性状态时的极限荷载呢？11-1 概述3 从两种设计方法入手来讨论问题：一、两种结构设计方法 1、弹性设计 计算假定：结构材料的应力和应变之间为线性关系，卸载后结构恢复原状，没有残余变形。利用弹性计算的结果，以许用应力（弹性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验算，就是弹性设计的作法。前面主要讨
2、论的是“结构的弹性计算”。4 对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，弹性计算能够给出足够精确的结果。弹性设计方法的缺点：弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构的这部分承载力，所以弹性设计不够经济合理。如对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构当最大应力到达屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段时，结构并未破坏，即是说，结构并未耗尽全部承载能力。5 2、塑性设计 塑性设计方法：首先确定结构破坏时所能承担的荷载极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系数得出容许荷载并进行设计。消除了弹性设计方法的缺点。怎样确定结构的极限荷载呢？必须考虑材料的塑性变形，进行结构的塑性分析。为简化计算，通常假设材料为理想弹塑性
3、材料(还有理想刚塑性、线性硬化弹塑性和线性硬化刚塑性材料等)。6二、材料的应力应变关系ssABCDob)弹塑性硬化模型 理想弹塑性材料，其应力与应变关系如下：a)理想弹塑性模型sssPABCDo71、残余应变 当应力达到屈服应力s后，从C点卸载至D点，即应力减小为零。此时应变并不等于零，而为P。由右图可以看出：=s+P，P是应变的塑性部分，称为残余应变。理想弹塑性模型sssPABCDo8sABCoABC1A1B1C1可见，弹塑性问题与加载路径有关。2、应力与应变关系不唯一 当应力达到屈服应力s后，应力与应变之间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应变与之对应。9分析可知：(1)材
4、料在加载与卸载时情形不同，加载时是弹塑性的，卸载时是弹性的。(2)在经历塑性变形后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应变值可对应于不同的应力值。(3)要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变形过程。所以，结构的弹塑性计算要远比结构的弹性计算复杂得多。1011-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态主要内容：解释几个基本概念，极限弯矩、塑性铰和极限状态。图示例：纯弯曲状态下的理想弹塑性材料的矩形截面梁。随着弯矩M的增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）MhMb11实验表明：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时的平面假定都成立。a)b
5、)c)ssy0y0sssshb12一、极限弯矩分析：(1)图(a)表示截面处于弹性阶段。该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：ssa)26SsbhM （2）图(b）截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为塑性区，应力为常数，b)y0y0ss13syy0=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性核，其应力为直线分布，即：(3)图(c)表示截面达到塑性流动阶段。在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极限弯矩”，即：subhM42c)ss14 比较两式可知：对
6、于矩形截面，极限弯矩为弹性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。二、塑性铰和极限荷载 在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰15只能沿弯矩增大的方向发生有限的相对转角。若沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质。FPul/2l/2FPuMuMu 上图示简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度16可以
7、继续增大而承载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称为极限荷载FPu。例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载作用(图a)，试求极限荷载FPu。解：由M图知跨中截面弯矩最大，在极限荷载作用下，塑性铰将在跨中截面形成，弯矩达极限值Mu(图b)。(a)PF2/l2/l(b)PuFuM17uPuMlF4由此得出极限荷载FPu，即有lMFuuP4 最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形式的截面形状，也有类似的结果。由静力条件，有：1811-3 超静定梁的极限荷载 对于静定结构，当一个截面出现塑性铰时，结构就变成了具有一个自由度的机构而
8、破坏。对于具有n个多余约束的超静定结构，当出现n+1个塑性铰时，该结构变为机构而破坏。或者出现的塑性铰数虽少于n+1个，但结构局部已经变为机构而破坏。19一、单跨超静定梁的极限荷载 为了求得极限荷载，需确定结构的破坏形态，即确定塑性铰的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结构变形的过程以及塑性铰形成的次序。20 利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法。利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。例11-3-1 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。1）静
9、力法：1142614()2uPuuuPuuuMF lMMFMMll解：结构在A、C截面出现塑性铰。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解释21 令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载FPu同向，大小为。2）虚功法1212/242lll外力虚功：内力虚功：12624()uiuuuMWMMMlll由We=Wi，可得：6uPuMFlFPuCABMuMu121l/2l/21212/242lllPueFW 一次超静定二个塑性铰22例11-3-2 求梁的极限荷载FPu，已知极限弯矩为Mu。2112244uulWq lq l 内力虚功由We=Wi，可得2144uuq lM所以有216uuMqlquA
10、CBMuMuMu24l4l2l解：外力虚功ACBql/2l/2uuuuiMMMMW4 2三次超静定三个塑性铰23例11-3-3 已知梁截面极限弯矩为Mu，求极限荷载。解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。整体平衡0AM 21 1()2RBuuFq lMl12uRBuMFq llBlqAquABl-xMuMuCCARBFx022uuRBMlqlF24RBuFq x1122uuuuuMMq lq xxllq lBC段平衡0yF 0QCRBuFFq xquxBCRBFQCFMu2222111222uRBuuuuMF xq xq xq xq xBC段平衡0CM2222222(2)1111()(2
11、)222(2)8uuuuuuuuuuuMq lMMqlqq lMq lq lq l2542221240uuuul ql M qM24242224412144161211.31422uuuuuul Ml Ml Ml Ml Mqll24223.31411.6572uuul MMqll222(2)8uuuuq lMq l M24242224412144161211.31422uuuuuul Ml Ml Ml Ml Mqll26例11-3-4 求图示梁的极限荷载。塑性铰的可能位置：A、B、D。ABCD/3l/3l/3lPF解:AB段极限弯矩为 ，BC段极限弯矩为Mu。uMABCDFPuMuMuBD/3
12、l/3l/3l271）B、D截面出现塑性 铰，由弯矩图可知，只有当 时，此破坏形态才可能实现。3uuMM PuuBuDFMM 36BDll36()PuuFMll 9(3)PuuuuFMMMlABCDFPuMuMu3uuMM ABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l28PuuAuDFMM 3339222ADllll3922PuuuFMMll 3(3)2(3)PuuuuuFMMlMM ABCDFPuMuuM1()2uuMM ACDFPuMuDuMA2/3l/3l2）A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只有当 ，即 时，此破坏形态才可能实现。1(),32uuuuuMMMMM即1(),32uuuu
13、uMMMMM即293）当 时，则前面两种破坏形态均可能出现，则：3uuMM 为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定真实的破坏形态，即塑性铰的数量及位置。无需考虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，并不影响极限荷载的大小。33(3)(33)229 PuuuuuuFMMMMllMl33(3)(33)229 PuuuuuuFMMMMllMl30 假设:1）连续梁每一跨内等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。因此，连续梁只能在各跨独立形成破坏机构，而不能由相邻两跨联合形成破坏机构。因为各跨在
14、竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现，即负塑性铰只可能出现在两端。二、连续梁的极限荷载 主要讨论连续梁破坏机构的形式。31 连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。1PF2PFuM1PF2PFuM1PF2PFuMuM1PF2PFuMuM32例11-3-5 求连续梁的极限荷载。1(2)2PuulFM16uPuMFl解：1)AB跨ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFPABCFPu1MuMu2/2l332)BC跨2321.2(2)4PuuulFMM234.62PuulFM23.07uPuMFl3.07
15、uPuMFl故ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu23/4l注意B点12PuPuFF34例11-3-6 在图（a）所示的连续梁中，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l 0.5l0.75l0.75l解：分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。35(b)1.2MuMu)5.05.0(5.02.1)(2.1llMlMMMlFuuBAuBuququMlF214.6注意：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角方向一致。AB跨破坏时(图b)：36(c)1.2
16、Mu1.2MuMuuCBuCuBuqMlMMMlF8.8)(2.12.12uquMlF224.6BC跨破坏时(图c)：CD跨破坏时(图d)：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu37uDCuDuCuqMlMMMlF75.06.7)(24.22.123uuqMlF23756.6 比较可知，AB跨首先破坏，极限荷载为：uquuqMlFF214.6(d)2.4Mu1.2Mu2Mu321ququuqFFF3811-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理一、一般定理1、比例加载 1）结构上全部荷载按同一比例增加，故全部荷载组成一个广义力FP。2）荷载单调增加，不卸载。39 结构形式：梁和刚架(主要抗弯的结构)。
17、采用假设：材料为理想弹塑性、正负极限弯矩的绝对值相等、忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。2、结构的极限受力状态应当满足的条件 1）平衡条件：在极限受力状态，结构的整体或任一局部都保持平衡。2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态，结构任一截面的弯矩都不大于极限弯矩，即 MMu。40 3）单向机构条件（机构条件）：在极限受力状态，已有某些截面的弯矩达到极限弯矩，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构成为机构，能沿荷载方向作单向运动（荷载作正功）。1）对任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载，记为 。PF3、两个定义 2）在某个荷载作用下，如果能找到一种内力状态与之平衡，且结构各
18、截面的内力都不超过其极41 极限荷载FPu同时满足上述三个条件，因此FPu又是可破坏荷载 ，也是可接受荷载 。PFPF 可破坏荷载 满足平衡条件和机构条件，不一定满足屈服条件；可接受荷载 满足平衡条件和屈服条件，不一定满足机构条件。PFPF限值，则该荷载值称为可接受荷载，记为 。PF 1）基本定理：可破坏荷载 恒不小于可接受荷载 ，即有 。PFPFPPFF4、定理42 证明：取任一可破坏荷载，对于相应的单向机构位移列出虚功方程：1nPuiiiFM 上式中，n是塑性铰数目。根据单向机构条件，恒为正值，故可以用绝对值表示。uiiM 取任一可接受荷载 ，相应的弯矩图称为 图。令此荷载及内力在上述机构
19、位移上作虚功，虚功方程为：PFM1nPiiiFM 43 是 图中对应于上述机构位移状态第i个塑性铰处的弯矩值。iMM根据内力局限条件 可得iuiMM11nniiuiiiiMMPPFF 对于任一荷载FP，如果存在一个内力分布，能同时满足平衡条件、屈服条件和单向机构条件，则该荷载就是唯一的极限荷载FPu。2）唯一性定理：极限荷载FPu是唯一确定的。4412PuPuFF 反之，把FPu2看作 ，FPu1看作 ，则有：PFPF 证明：设存在两种极限内力状态，相应的极限荷载分别为FPu1和FPu2。把FPu1看作 ，FPu2看作 ，则有：PFPF21PuPuFF所以，只能有12PuPuPuFFF45Pu
20、PFF 证明：因极限荷载 又是可接受荷载 ，则由基本定理可得：PuFPF 可破坏荷载 是极限荷载 的上限，或者说极限荷载是可破坏荷载中的极小者，即 。PuPFFPFPuFPPFF3）上限定理（极小定理）可接受荷载 是极限荷载 的下限，或者说极限荷载是可接受荷载中的极大者，即 。PuPFFPFPuF4）下限定理（极大定理）46PuPFF 证明：因为极限荷载 又是可破坏荷载 ，且 ，故有PuFPFPPFF1、机构法 基于上限定理 ，即根据结构全部可能的破坏机构，求出相应的可破坏荷载 ，其中最小的可破坏荷载 就是极限荷载 。PuPFFPFPuFPF二、求极限荷载的基本方法472、试算法 基于唯一性定
21、理，具体做法是：选定一种破坏机构并求得相应的可破坏荷载，画出结构弯矩图，若各截面弯矩均小于极限弯矩，则求得的荷载就是极限荷载FPu。例11-4-1 求梁的极限荷载，截面极限弯矩为Mu。ABED/4l/4l/4l/4l4FP3FP2FPC481）图a）所示机构111134325424PPPPlllWFFFF l347iuuuWMMM11.4uPMFl解：1、机构法ABCDEMuMu3/2l3/4l4/4l14PF13PF12PFa)492）图b）所示机构22224323424PPPPlllWFFFF l23iuuuWMMM2uPMFlABCDMuEMu/2l222PF23PF24PF/4l/4l
22、b)503）图c）所示机构333334324424PPPPlllWFFFF l45iuuuWMMM31.25uPMFl比较知：梁的极限荷载为2uPuPMFFlAc)BCDEMuMu/2l34PF33PF32PF3/4l43/4l512、试算法 选定破坏机构，见图b）。用虚功法已求得可破坏荷载：2uPMFl画出梁的弯矩图，见图d）。可见满足屈服条件，故2uPuPMFFlABCDMuEMu22PF23PF24PFMuMuMu/23Mu/43Mu/ld)ABCDMuEMu/2l222PF23PF24PF/4l/4lb)52若选定图a）所示破坏机构。用虚功法求得可破坏荷载：画出梁的弯矩图，如图e）。1
23、1.4uPMFl可见不满足屈服条件，故 不是极限荷载。1PFABCDEMuMu3/2l3/4l4/4la)14PF13PF12PFABCDEMuMu14PF13PF12PFe)Mu1.6Mu1.15Mu4.6uMluM53例11-4-2 求图示梁在均布荷载作用下的极限荷载Fqu。(a)AFqlBEI=常数解：当梁处于极限状态时，A点形成塑性铰，另一个塑性铰C的位置待定，可用极小定理来求出。图(b)所示为一破坏机构，设塑性铰C在距A点x的截面上出现。(b)xACBAC54)(xlxlxBA、lMxlxxlFuq2)(20dxdFq02422llxxlxlx)22()22(21，227.11423
24、22lMlMFuuqu 为了计算此破坏机构的可破坏荷载Fq+，对图b所示的可能位移列虚功方程)(2CAuqMlF由为求 ，令minqFx1舍去55例11-4-3 设有一n跨连续梁，每跨均为等截面梁，但各跨截面可不相同。试证明此连续梁的极限荷载就是每个单跨破坏机构相应的可破坏荷载中间的最小值。证明：分别考虑n个单跨破坏机构，求出相应的个可破坏荷载Fq1+、Fq2+、Fqn+，设其中以Fqk+为最小。为了证明Fqk+是极限荷载，应用唯一性定理。显然Fqk+是一种可破坏荷载，还需证明 Fqk+同时又56是可接受荷载，即需证明在Fqk+作用下有可能存在一个可接受的M图，在任一截面上M的绝对值均不超过M
25、u。事实上，这样的M图确实存在。例如，可设各支座弯矩等于-Mu(如果相邻两跨的Mu值不相等，则取其中的较小值)，然后根据平衡条件画出Fqk+下各跨的M图。由于Fqk+是所有单跨破坏荷载中的最小者，因此在这样画出的各跨M图中，任一截面的M都不会超过+Mu值。即这个M图确是一个可接受的M图，因而Fqk+确是一个可接受荷载。根据唯一性定理，Fqk+就是极限荷载。57 本节仅限于讨论单层单跨刚架的极限荷载。对于刚架，首先要确定塑性铰可能产生的截面位置，然后根据可能的破坏机构用机构法或试算法求极限荷载。例11-5-1 求刚架的极限荷载。ABCDEFPFPMu1.5MuMulll11-5 刚架的极限荷载解
26、：1、机构法刚架可在A、B、C、D、E产生塑性铰。58三种可能的破坏机构为：梁机构；侧移机构；组合机构。1）梁机构121.525PuuuFlMMM 15uPMFlABCDEMu1.5MuMulll1PF1PF2la)梁机构592）侧移机构24PuFlM24uPMFlb)侧移机构ABCDEMuMullllMuMul2PF2PFc)组合机构ABCDE1.5MuMullllMuMul2l3PF3PF3341.52PPuuFlFlMM 33.5uPMFl3）组合机构60可见，极限荷载为：33.5uPuPMFFl 若分别选定上述三种破坏机构：梁机构、侧移机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同上。下面分别画
27、出三种破坏机构对应的弯矩图，检验结构任一截面弯矩是否均小于Mu，若结论成立，则 也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。PF2.试算法611）梁机构52uyEMFl55222uuAEMMMMllll由BD杆平衡可求得0AM 整体平衡：5AuEMMM 故MA和ME中一定有一个数值大于Mu，不满足内力局限条件。ABCDEMu1.5MuMulll52uMlAMEM5uMl5uMl622）侧移机构2CuMM用叠加法画BD杆弯矩图可得：。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。ABCDEMu2MuMulllMuMu4uMl4uMl633）组合机构2()uMl1.50.5()uBuuMMlMMl 右拉可见，该弯
28、矩图满足屈服条件，故极限荷载为：33.5uPuPMFFl柱DE下端剪力为：1.5()uMl柱BA下端剪力为：由柱AB平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMulllMuMu2uMl3.5uMl3.5uMl1.5uMl64 2.522()24.5PPPFlWFlllF l 4228iuuuWMMM1.778uPMFl解：取组合机构，近似取梁BC的跨中截面产生塑性铰。MuMuABCD2MuFP2l2l2.5/PqFlMuABCD2Mu2l2lMuMu2PF2.5/PqFl2 l l例11-5-2 求刚架的极限荷载。65 作结构M 图，求得跨中附近截面最大弯矩为：max2.07uMM21.7781.7182.07uuPMMFll1.7181.778uuPuMMFll用因子 对 进行 故 不是极限荷载，应进行修正。折减得：1.778uPMFl2/2.07PF实际上应有1(1.718 1.778)1.7482uuPuMMFll取两者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu/uMl0.778/uMl
