1、第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第三单元第三单元 函数函数第第14课时课时 二次函数的综合应用二次函数的综合应用中考考点清单中考考点清单考点考点1 二次函数的实际应用二次函数的实际应用1.抛物线型实际问题抛物线型实际问题解题步骤解题步骤：(1)建立平面直角坐标系：如果题目建立平面直角坐标系：如果题目没有给出平面直角坐标系，则根据题意，建立恰没有给出平面直角坐标系，则根据题意，建立恰当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点原点.（2）设函数表达式：根据所建立的坐标系，设）设函数表达式：根据所建立的坐标系，设出解析式出解析式.（3）求表达式
2、：依据实际问题中的线段的长，）求表达式：依据实际问题中的线段的长，确定某些关键点的坐标，代入函数表达式，求出确定某些关键点的坐标，代入函数表达式，求出系数，确定函数表达式系数，确定函数表达式.（4）解决实际问题：把问题转化为已知抛物线）解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标（或纵坐标），求其纵坐标（或横上点的横坐标（或纵坐标），求其纵坐标（或横坐标），再转化为线段的长，解决实际问题坐标），再转化为线段的长，解决实际问题.2.最大值或最小值问题最大值或最小值问题解题步骤解题步骤：（：（1）分析题目中的数量关系，根据）分析题目中的数量关系，根据题意，建立二次函数模型，列出表达式，若涉及题
3、意，建立二次函数模型，列出表达式，若涉及分段函数的问题，要根据自变量的取值范围，分分段函数的问题，要根据自变量的取值范围，分别列出符合题意的函数表达式别列出符合题意的函数表达式.二次函数应用二次函数应用销售销售利润问题解题策略利润问题解题策略（2）运用公式或配方法，求出二次函数的最大）运用公式或配方法，求出二次函数的最大值或最小值；值或最小值；若二次函数的取值范围是全体实数，那么二次函若二次函数的取值范围是全体实数，那么二次函数在顶点处取值数在顶点处取值.若自变量的取值范围是若自变量的取值范围是x1xx2,此时往往有最大此时往往有最大值，又有最小值，解决的方法是：画出函数的草值，又有最小值，解
4、决的方法是：画出函数的草图，数形结合，对最大值或最小值作出判断图，数形结合，对最大值或最小值作出判断.考点考点2 二次函数与几何图形综合应用二次函数与几何图形综合应用（高频考点高频考点）1.二次函数与几何图形综合的几种模型二次函数与几何图形综合的几种模型二次函数与几何知识的综合应用题型很多，最常二次函数与几何知识的综合应用题型很多，最常见的类型有存在探究问题、动点问题，涉及的内见的类型有存在探究问题、动点问题，涉及的内容有方程、函数、等腰三角形、直角三角形、相容有方程、函数、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形等多种知识似三角形、平行四边形、矩形、菱形等多种知识.2.解决
5、此类问题的方法和一般思想解决此类问题的方法和一般思想解决这类综合应用问题，关键是要善于借助数学解决这类综合应用问题，关键是要善于借助数学综合题中所隐含的数形结合、转化、方程等重要综合题中所隐含的数形结合、转化、方程等重要的数学思想建立函数模型的数学思想建立函数模型.通常情况下，它们的通常情况下，它们的应对策略如下：应对策略如下：（1）对存在探究性问题：注意灵活运用数形结）对存在探究性问题：注意灵活运用数形结合思想，可先画出函数图象，然后再借助已知条合思想，可先画出函数图象，然后再借助已知条件求解，如果有解（求出的结果符合题目要求），件求解，如果有解（求出的结果符合题目要求），则假设成立，即存在
6、，如果无解（推出矛盾或求则假设成立，即存在，如果无解（推出矛盾或求出的结果不符合题目要求），则假设不成立，即出的结果不符合题目要求），则假设不成立，即不存在不存在;（2）对动点问题：通常利用数形结合、分类和）对动点问题：通常利用数形结合、分类和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解后根据题意建立方程模型或者函数模型求解.常考类型剖析常考类型剖析典例精讲典例精讲类型一类型一 二次函数的实际应用二次函数的实际应用例例1某化工产品某化
7、工产品C是由是由A，B两种原料加工而成的，两种原料加工而成的，每个每个C产品的质量为产品的质量为50 kg，经测定加工费与，经测定加工费与A的的质量的平方成正比，质量的平方成正比，A原料的成本为原料的成本为10元元/kg，B原料的成本为原料的成本为40元元/kg，C产品中产品中A的含量不能低的含量不能低于于10%，又不能高于，又不能高于60%.（1）设每个）设每个C产品的成本为产品的成本为y（元），每个（元），每个C产品产品含含A的质量为的质量为x（kg），当一个），当一个C产品含产品含A种原料种原料10%时，成本价是时，成本价是1875元，求元，求y与与x之间的函数关之间的函数关系式，并写出
8、系式，并写出x的范围；（每个的范围；（每个C成本成本=A的成本的成本+B的成本的成本+加工费用）加工费用）（2）C产品出厂价经核算是所含产品出厂价经核算是所含B的质量的一次的质量的一次函数，且满足如下数表：函数，且满足如下数表：含含A x（kg）515出厂价出厂价z（元（元/kg）24502350求求C产品的出厂价产品的出厂价z（元）与含（元）与含A的质量的质量x（kg）之间的函数关系式；之间的函数关系式；求每个求每个C产品的利润产品的利润w（元）与含（元）与含A的质量的质量x（kg）之间的函数关系式；（利润）之间的函数关系式；（利润=出厂价出厂价-成本）成本）（3）若生产的产品都能销售出去，
9、工厂生产哪）若生产的产品都能销售出去，工厂生产哪一种含量的一种含量的C产品获利最高，最高为多少；产品获利最高，最高为多少；（4）某客户买了）某客户买了100个相同的个相同的C产品，厂家获利产品，厂家获利50000元，问这种元，问这种C产品中含产品中含A原料的百分比是原料的百分比是多少多少.【思路分析思路分析】（1）设）设y=10 x+40（50-x）+ax2，利用当一个利用当一个C产品含产品含A种原料种原料10%时，成本价是时，成本价是1875元，进而求出即可；元，进而求出即可；（2）利用待定系数法求一次函数解析式，进而）利用待定系数法求一次函数解析式，进而得出得出w与与x的函数解析式；的函数
10、解析式；（3）利用配方法求出二次函数最值即可；）利用配方法求出二次函数最值即可；（4）根据题意得出）根据题意得出 =-x2+20 x+500，进，进而求出即可而求出即可.50000100解解：（：（1）设）设y=10 x+40(50-x)+ax2，由题意可得，由题意可得，x=5010%=5时，时，y=1875,1875=105+10(50-5)+a52,解得解得:a=1,y=x2-30 x+2000(5x30);（2）设）设z=k(50-x)+b(k,b为常数，为常数，k0)，由题意，由题意得：得：2450=k(50-5)+b k=10 2350=k(50-15)+b，b=2000.z=-10
11、 x+2500;w=(-10 x+2500)-(x2-30 x+2000),w=-x2+20 x+500;解得解得（3）由（）由（2）知：）知：w=-x2+20 x+500.w=-(x-10)2+600.由由x=10.即生产含即生产含A 20的的C产品时，利润最高，产品时，利润最高，最高利润为最高利润为600元；元；（4）由（）由（2）知）知w=-x2+20 x+500,=-x2+20 x+500,解得：解得：x=0（舍）或（舍）或x=20.=40%这种这种C产品中含产品中含A原料的百分比是原料的百分比是40500001002050拓展拓展1（14徐州徐州）某种商品每天销售利润）某种商品每天销
12、售利润y（元）（元）与销售单价与销售单价x（元）之间满足关系：（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75，其图象如图所示其图象如图所示.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？售利润最大？（2）销售单价在什么范围内时，该种商品每天）销售单价在什么范围内时，该种商品每天的销售利润不低于的销售利润不低于16元？元？拓展拓展1题图题图【思路分析思路分析】（1）根据待定系数法，可得二次）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；（函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；（2）根据函数值大于或等于根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集
13、，可得不等式的解集，可得答案可得答案.解；（解；（1）y=ax2+bx-75图象过点（图象过点（5，0）、（）、（7，16），），25a+5b-75=0 49a+7b-75=16,a=-1 b=20,y=-x2+20 x-75的顶点坐标是（的顶点坐标是（10，25），），当当x=10时，时，ymax=25，答：销售单价为答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为润最大，最大利润为25元；元；解得解得（2）函数函数y=-x2+20 x-75图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=10，可知点（可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（）关于对称轴的对称
14、点是（13，16），），又又函数函数y=-x2+20 x-75图象开口向下，图象开口向下，当当7x13时，时，y16答：销售单价不少于答：销售单价不少于7元且不超过元且不超过13元时，该种元时，该种商品每天的销售利润不低于商品每天的销售利润不低于16元元.类型二类型二 二次函数与几何图形的综合应用二次函数与几何图形的综合应用例例2（14贵港贵港）如图所示，抛物线）如图所示，抛物线y=ax2+bx-3a（a0）与）与x轴交于点轴交于点A（-1，0）和点）和点B，与，与y轴交轴交于点于点C（0，2），连接），连接BC.（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线
15、段段BC的中点坐标；的中点坐标；（2）将线段）将线段BC先向左平移先向左平移2个单位长度，再向下个单位长度，再向下平移平移m个单位长度，使点个单位长度，使点C的对应点的对应点C1恰好落在恰好落在该抛物线上，求此时点该抛物线上，求此时点C1的坐标和的坐标和m的值；的值；（3）若点）若点P是该抛物线上的动点，点是该抛物线上的动点，点Q是该抛物是该抛物线对称轴上的动点，当以线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标的坐标.例例2题图题图【思路分析思路分析】（1）把点）把点A（-1，0）和点）和点C（0，2）的坐标代
16、入所给抛物线可得的坐标代入所给抛物线可得a、b的值，进而得到的值，进而得到该抛物线的解析式和对称轴，再求出点该抛物线的解析式和对称轴，再求出点B的坐标，的坐标，根据中点坐标公式求出线段根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标即可；的中点坐标即可；（2）根据平移的性质可知，点）根据平移的性质可知，点C的对应点的对应点C1的横的横坐标为坐标为-2，再代入抛物线可求点，再代入抛物线可求点C1的坐标，进一的坐标，进一步得到步得到m的值；（的值；（3）B、C为定点，可分为定点，可分BC为平为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标的坐标.解解：(1)抛物线
17、抛物线y=ax2+bx-3a（a0）与）与x轴交于点轴交于点A（-1，0）和点）和点B，与，与y轴交于点轴交于点C（0，2），），a-b-3a=0,-3a=2,a=-b=.解得解得2343抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-x2+x+2=-(x-1)2+83,对称轴是对称轴是x=1,1+(1+1)=3,B点坐标为（点坐标为（3，0），），BC的中点坐标为的中点坐标为(1.5,1);432323（2）线段线段BC先向左平移先向左平移2个单位长度，再向下个单位长度，再向下平移平移m个单位长度，使点个单位长度，使点C的对应点的对应点C1恰好落在该恰好落在该抛物线上，抛物线上，点点C1的横坐标为的横
18、坐标为-2，当当x=-2时，时，y=-(-2)2+(-2)+2=-,点点C1的坐标为（的坐标为（-2，-），），m=2-(-)=;2343103103103153（3）若）若BC为平行四边形的一边，为平行四边形的一边，BC的横坐标的差为的横坐标的差为3，点点Q的横坐标为的横坐标为1，P的横坐标为的横坐标为4或或-2，P在抛物线上，在抛物线上，P的纵坐标为的纵坐标为-,P1(4,-),P2(-2,-);133133133若若BC为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，则则BC与与PQ互相平分，互相平分，点点Q的横坐标为的横坐标为1，BC的中点坐标为（的中点坐标为（1.5，1），），P点的横坐
19、标为点的横坐标为1.5+（1.5-1）2，P的纵坐的纵坐-22+2+2=2,P3(2,2).综上所述，点综上所述，点P的坐标为：的坐标为：P1（4，-）,P2（-2，-）,P3（2，2）.1331332343拓展拓展2（14益阳益阳）如图，直线）如图，直线y=-3x+3与与x轴、轴、y轴分别交于点轴分别交于点A、B，抛物线，抛物线y=a(x-2)2+k经过点经过点A、B，并与，并与x轴交于另一点轴交于另一点C，其顶点为，其顶点为P.（1）求）求a，k的值；的值；（2）抛物线的对称轴上有一点）抛物线的对称轴上有一点Q，使，使ABQ是以是以AB为底边的等腰三角形，求为底边的等腰三角形，求Q点的坐标
20、点的坐标.（3）在抛物线及其对称轴上分别取点）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使，使以以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长形的边长.拓展拓展2题图题图【思路分析思路分析】（1）先求出直线）先求出直线y=-3x+3与与x轴交点轴交点A，与，与y轴交点轴交点B的坐标，再将的坐标，再将A、B两点坐标代入两点坐标代入y=a(x-2)2+k，得到关于，得到关于a,k的二元一次方程组，解的二元一次方程组，解方程组即可求解；（方程组即可求解；（2）设）设Q点的坐标为点的坐标为(2,m)，对，对称轴称轴x=2交交x轴于点轴于点F，过点，过点B作作BE垂直
21、于直线垂直于直线x=2于点于点E，在，在RtAQF与与RtBQE中，用勾股定理中，用勾股定理分别表示出分别表示出AQ2=AF2+QF21+m2，BQ2=BE2+EQ24+(3-m)2，由，由AQ=BQ，得到方程，得到方程1+m2=4+(3-m)2，解方程求出解方程求出m=2，即可求得，即可求得Q点的坐标；点的坐标；（3）当点）当点N在对称轴上时，由在对称轴上时，由NC与与AC不垂直不垂直.所所以以AC应为正方形的对角线，根据抛物线的对称性应为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到及正方形的性质，得到M点与顶点点与顶点P（2，-1）重）重合，合，N点为点点为点P关于关于x轴的对称
22、点，此时，轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且，且ACMN，则四边形，则四边形AMCN为正方形，在为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即中根据勾股定理即可求出正方形的边长可求出正方形的边长.解解：(1)直线直线y=-3x+3与与x轴、轴、y轴分别交于点轴分别交于点A、B，A(1,0)，B(0,3).又又抛物线抛物线y=a(x-2)2+k经过点经过点A(1,0),B(0,3)，a+k=0 a=1 4a+k=3 k=-1,即即a，k的值分别为的值分别为1，-1.解得解得拓展拓展2题解图题解图（2）设）设Q点的坐标为点的坐标为(2,m)，对称轴，对称轴x=2交交x轴于点轴于点F，过点，过
23、点B作作BE垂直于直线垂直于直线x=2于点于点E.在在RtAQF中，中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在在RtBQE中，中，BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2.AQ=BQ，1+m2=4+(3-m)2，m=2.Q点的坐标为点的坐标为(2,2).（3）当点）当点N在对称轴上时，在对称轴上时，NC与与AC不垂直不垂直.所以所以AC应为正方形的对角线应为正方形的对角线.又又对称轴对称轴x=2是是AC的中垂线，所以，的中垂线，所以，M点与顶点与顶点点P(2,-1)重合，重合，N点为点点为点P关于关于x轴的对称点，其轴的对称点，其坐标为坐标为(2,1).此时，此时，MF=NF=AF=CF=1，且，且ACMN，四边形四边形AMCN为正方形为正方形.在在RtAFN中，中，AN=2，即正方形的，即正方形的边长为边长为2.22AFNF
