1、2022年年12月月28日日10时时53分分2.7 一元函数的连续性与间断点一元函数的连续性与间断点1.函数的连续性函数的连续性2.函数的间断点函数的间断点3.连续函数的运算法则连续函数的运算法则4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质2022年年12月月28日日10时时53分分1.函数的连续性函数的连续性【定义【定义 2.8】设变量从初值改变到终t1t说明说明改变量可以是正的，也可是负的。例如例如101t 从0变到1，t011t 从1变到0，t第第2 2章章 极限与连续极限与连续2t值，变量变量，21tt t终值与初值之差称为变量的改改21ttt 记作。则则2022年年12月月28日
2、日10时时53分分Oxy)(xfy 0 x)0(xfxx 0)0(xxf x y 如图所示00()()yf xxf x 设函数，()yf x 第第2 2章章 极限与连续极限与连续0 xx 时，x0 x当自变量从改变到y y函数相应的改变量函数相应的改变量为。2022年年12月月28日日10时时53分分例例设正方形的边长有一个改变量0 xx 如图所示，0 xxxx 020 xA xx 02)(x面积的改变量面积改变了多少？y00()()yf xxf x 2200()xxx 202()xxx 第第2 2章章 极限与连续极限与连续2022年年12月月28日日10时时53分分简单地说，Oxy)(xfy
3、 0 xxx 0 x y Oxy)(xgy 0 xxx 0 x y。0y 如图所示0 x处不连续处不连续处连续处连续0 x第第2 2章章 极限与连续极限与连续函数也有一个很小的变化。当自变量有一个很小的变化时，0 x 即时，2022年年12月月28日日10时时53分分0lim0 xy 000lim()()0,xf xxf x 或则称函数在点处连续在点处连续。0 x()f x函数连续定义的等价形式函数连续定义的等价形式【定义【定义 2.9】设函数在点的某()yf x 0 x即【定义【定义 2.10】设函数在的某个()yf x 0 x在点处连续在点处连续。0 x()f x第第2 2章章 极限与连续
4、极限与连续邻域内有定义，00lim()(),xxf xf x 若则称函数个邻域内有定义，0 x 得的改变量时，x如果当自变量在点处取0 x0y 函数的改变量，2022年年12月月28日日10时时53分分事实上，（1）函数在处有定义；）函数在处有定义；()yf x 0 x（2）极限存在；）极限存在；0lim()xxf x（3）极限值等于函数值。）极限值等于函数值。00lim()()xxf xf x 若有一条不满足，函数在处不连续若有一条不满足，函数在处不连续0 x第第2 2章章 极限与连续极限与连续具备具备下列三个条件：()yf x 0 x函数在处连续要同时同时2022年年12月月28日日10时
5、时53分分例例1证明函数 在给定点处连续。2yx 0 x证证当在处有一个改变量时，x0 xx 函数有改变量2yx 2200()yxxx 2000limlim(2)xxyxxx 0 所以，函数在处连续。2yx 0 x第第2 2章章 极限与连续极限与连续202xxx 证毕。2022年年12月月28日日10时时53分分【定义【定义 2.11】设函数在区间上()f x ,a blim()(),xaf xf a 说明说明在左端点处和右端点处连()f xablim()()xbf xf b 如上例中，在内连续。2yx ,第第2 2章章 极限与连续极限与连续每一点都连续，()f x ,a b是的连续区间连续区
6、间。()f x ,a b则称在上连续在上连续，并称续是指 ,0 x而点可以是内的任意一点，0 x2yx 函数在给定点处连续，因此2022年年12月月28日日10时时53分分 ,例例2证明函数 在 内连续。sinyx 证证设为内任意一点，0 x ,00sin()sinyxxx 02sincos()22xxx因为0cos()1,2xx sin22xx 212xy 所以xyx 即第第2 2章章 极限与连续极限与连续x 处有改变量，函数的改变量x0 x在x 2022年年12月月28日日10时时53分分0lim0 xy 因而所以函数在点处连续。sinyx 0 x再由的任意性知，0 x证毕。同理可证在内连
7、续。cosyx ,第第2 2章章 极限与连续极限与连续 ,内连续。sinyx 函数在2022年年12月月28日日10时时53分分说明说明由函数在一点处连续的定义及0 x00lim,xxxx 00lim()()xxf xf x 连续函数的连续函数的极限符号极限符号与与函数符号函数符号可以交换可以交换2limsinxx 例如例如求2limsinxx 解解sin2 第第2 2章章 极限与连续极限与连续有2sin(lim)xx 0(lim)xxfx 1 2022年年12月月28日日10时时53分分2.函数的间断点函数的间断点【定义【定义 2.12】若函数在点处不满足()f x0 x定义等价于定义等价于
8、第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续条件，()f x0 x称函数在点处间断，断点断点。()f x0 x则称函数在点处不连续点处不连续，或0 x()f x点称为的间间2022年年12月月28日日10时时53分分若函数在的去心邻域内有定义，()f x0 x0 x（1）函数在处无定义；()f x0lim()xxf x（2）不存在；（3）00lim()()xxf xf x 第第2 2章章 极限与连续极限与连续则下列情形之一下列情形之一，()f x0 x称函数在处间断处间断2022年年12月月28日日10时时53分分例例3讨论函数在点处的连续1yx 0 x Oxyxy1 如图所示解解由于函数1yx
9、在点处无定义，0 x 函数在1yx 0 x 处间断。第第2 2章章 极限与连续极限与连续性。故2022年年12月月28日日10时时53分分例例4设函数，10()0010 xxf xxxx 函数在点处的连续性。()f x0 x y1 Ox1解解由于0lim()xf x 0lim()xf x 则不存在，0lim()xf x()f x在处间断。0 x 如图所示第第2 2章章 极限与连续极限与连续0lim(1)1xx 0lim(1)1xx故讨论2022年年12月月28日日10时时53分分例例5设函数，11()11xxf xx 数在点处的连续性。()f x1x 12yOx1 1解解由于1lim()xf
10、x(1)1f故函数在处1x ()f x如图所示第第2 2章章 极限与连续极限与连续间断。讨论函1lim(1)2xx2022年年12月月28日日10时时53分分间断点的类型间断点的类型【定义【定义2.13】设是函数的间断点0 x00(),()f xf x均存在若，称为可去间断点可去间断点。00()()f xf x 0 x若，称为跳跃间断点跳跃间断点。00()()f xf x 0 x0 x 例4中，是跳跃间断点。例5中，是可去间断点；1x 第第2 2章章 极限与连续极限与连续第一类间断点第一类间断点2022年年12月月28日日10时时53分分第二类间断点第二类间断点00(),()f xf x至少有
11、一个不存在若其中至少有一个振荡，0 x 例3中，是无穷间断点；若其中至少有一个为，xy1sinoxy如图1sinyx 0 x 是函数的振荡间断点。第第2 2章章 极限与连续极限与连续0 x称为无穷间断点无穷间断点；0 x称为振荡间断点振荡间断点。2022年年12月月28日日10时时53分分3.连续函数的运算法则连续函数的运算法则【定理】【定理】若函数与在点处()f x()g x0 x()(),f xg x()(),f xg x 0()()0)()f xg xg x 当在处也连续。0 x例例因为在区间内连续，sin,cosxx ,证证只要证明极限值等于函数值即可（略）sintancosxxx 所
12、以在其定义域内连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续，则2022年年12月月28日日10时时53分分【定理】【定理】若函数在区间上单调()yf x xI例例由于函数在闭区间sinyx,2 2 上单调增加且连续，1,1 在闭区间上也是单调增加且连续。所以其反函数arcsinyx 第第2 2章章 极限与连续极限与连续增加（减少）且连续，(),yxIy yf xxI也在对应的区间上，调增加（减少）且连续。（证略）1()xfy 则其反函数单2022年年12月月28日日10时时53分分【定理】【定理】设函数由函数()yf g x()yf u 000lim()lim()()xxuuf g xf u
13、f u例例求233lim9xxx 即00lim()lim()xxxxf g xfg x 解解233lim9xxx 1666第第2 2章章 极限与连续极限与连续()ug x 与函数复合而成，()yf u 0uu 而函数在连续，00lim(),xxg xu 若则233lim9xxx （证略）2022年年12月月28日日10时时53分分1sinyx 例例讨论函数的连续性。【定理】【定理】设函数由函数()yf g x()yf u 解解由于函数在内连续sinyu ,1ux 而在内连续，,00,1sinyx 在内连续。,00,第第2 2章章 极限与连续极限与连续()ug x 与函数复合而成，00()g x
14、u 0 xx 连续，且，0uu 连续，也连续。（证略）()ug x 若函数在()yf u 而函数在()yf g x 0 xx 则复合函数在则函数2022年年12月月28日日10时时53分分初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的基本初等函数在其基本初等函数在其定义域定义域内都是连续的内都是连续的初等函数的连续性初等函数的连续性第第2 2章章 极限与连续极限与连续包含在定义包含在定义域内的区间域内的区间2022年年12月月28日日10时时53分分4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质【定理】（有界性定理）【定理】（有界性定理）若函数【定理】（最大值与最小值定理）
15、【定理】（最大值与最小值定理）第第2 2章章 极限与连续极限与连续严格的理论证明省略。下面定理只从几何直观上加以说明，()yf x ,a b在闭区间上连续，区间上有界。()f x则在此()yf x ,a b若函数在闭区间上连续，在此区间上一定有最大值和最小值。()f x则将2022年年12月月28日日10时时53分分)(xfy aOxyM2xm1xb如图所示在闭区间上连续，()f x ,a b得最小值；2xx 在处取得最大值。函数在此区间上有界。第第2 2章章 极限与连续极限与连续1xx 在处取因此，2022年年12月月28日日10时时53分分【定理】（介值定理）【定理】（介值定理）若函数在(
16、)f x推论（零点存在定理）推论（零点存在定理）若函数在闭区()f x第第2 2章章 极限与连续极限与连续 ,a b闭区间上连续，上的最大值和最小值，(),c mcM任一个实数()fc 使得。mM()f x ,a b和分别为在mM则对介于和之间的 ,a b 至少存在一点 ,a b间上连续，,a b 点，()()0f af b 且，则至少存在一()0f 使得。2022年年12月月28日日10时时53分分)(xfy aOxymMcf)(Oxyab)(xfy cb 如图所示()0f 介值定理介值定理零点存在定理零点存在定理第第2 2章章 极限与连续极限与连续2022年年12月月28日日10时时53分
17、分例例6利用介值定理证明方程32330 xxx在区间内各有一个实根。2,0,0,2,2,4 证证设32()33,f xxxx(2)150,f (0)30,f(2)30,f (4)150,f由介值定理知，存在 12,0,20,2,32,4,使得123()()()0fff即为给定方程的实根。123,又由于三次方程最多有三个根，第第2 2章章 极限与连续极限与连续所以各区间内只有一个。2022年年12月月28日日10时时53分分ln1e例例7求20coslimarcsin(1)xxexx 20coslimarcsin(1)xxexx 解解122 例例8求0ln(1)limxxx 解解0ln(1)li
18、mxxx 第第2 2章章 极限与连续极限与连续0cos0arcsin(10)e 10lnlim(1)xxx2022年年12月月28日日10时时53分分1 sinsinln(1)xx 例例9证明当时，0 x 证证0sinsinlimln(1)xxx 所以sinsinln(1)xx 证毕。第第2 2章章 极限与连续极限与连续0sinlimxxx 2022年年12月月28日日10时时53分分内容小结内容小结1.函数连续的等价定义函数连续的等价定义2.间断点间断点函数在点连续0 x00lim()()xxf xf x 000lim()()0 xf xxf x 000()()()f xf xf x左连续
19、右连续 第一类间断点第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点可去间断点，跳跃间断点）第二类间断点第二类间断点（无穷间断点，振荡间断点无穷间断点，振荡间断点）第第2 2章章 极限与连续极限与连续存在左右极限至少有一个不左右极限都存在充分必要条件充分必要条件2022年年12月月28日日10时时53分分3.初等函数在其定义区间内连续初等函数在其定义区间内连续4.分段函数在分界点处的连续性，分段函数在分界点处的连续性，5.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定有界性定理，最大值、最小值定理，介值定第第2 2章章 极限与连续极限与连续定义或充要条件讨论。定义或充
20、要条件讨论。需要用需要用理，零点存在定理理，零点存在定理）2022年年12月月28日日10时时53分分备用题备用题1.若函数在点连续，0 x()f x解解因为00lim()()xxf xf x 0220lim()(),xxfxfx 所以00lim()()xxf xf x 即在处连续。2(),()fxf x0 x反之不成立，1()1f x 是有理数是无理数xx处处间断，()f x第第2 2章章 极限与连续极限与连续0 x是否在处连续？2(),()fxf x问反之是否成立？2(),()fxf x而处处连续。如2022年年12月月28日日10时时53分分221()32xf xxx 2.讨论函数间断点
21、的类型解解是其间断点。1,2xx因为22111lim()lim32xxxf xxx 22221lim()lim32xxxf xxx 所以，1x 是可去间断点，2x 是无穷间断点，第第2 2章章 极限与连续极限与连续11lim2xxx 2 即第一类间断点。即第二类间断点。2022年年12月月28日日10时时53分分0,_a 时，函数为连续函数。()f x解解(0)f(0)f 由连续性知0a 第第2 2章章 极限与连续极限与连续01limsinxxx 0 20lim()xaxa 3.设函数21sin,0(),0 xxf xxaxx 2022年年12月月28日日10时时53分分0lim()xf x 11()1xxf xe 4.确定函数间断点的类型。解解间断点0,1xx0 x为无穷间断点。1,x 当时1xx ()0f x1,x 当时()1f x1xx 1x 故，为跳跃间断点。第第2 2章章 极限与连续极限与连续
