1、概率论概率论 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数概率论概率论 第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质概率论概率论 如果知道了随机变量如果知道了随机变量 X X 的概率分布的概率分布,那么那么 X X 的全的全部概率特征也就知道了部概率特征也就知道了.然而然而,在实际问题中在实际问题
2、中,概率分布一般是概率分布一般是较难确定较难确定的的.而在一些实际应用中而在一些实际应用中,人们人们并不需要并不需要知道随机变量的一知道随机变量的一切概率性质切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了,例如分布的中心位置、分散程度等等例如分布的中心位置、分散程度等等.因此因此,在对随机变量的研究中在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是确定某些数字特征是重要的重要的.在这些数字特征中在这些数字特征中,最常用的是最常用的是:数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数概率论概率论 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的
3、引入：、概念的引入：例例1:某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如何定义如何定义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况若统计若统计100天天,32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中天中每天的平均废品数为每天的平均废品数为(假定小张每天至多出现三件废品假定小张每天至多出现三件废品)27.1100213100172
4、100301100320这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？概率论概率论 可以想象可以想象,若另外统计若另外统计100天天,车工小张不出废品车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同天一般不会完全相同,这另外这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天
5、的平均废品数为:(假定小张每天至多出三件废品假定小张每天至多出三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是以频率为权的加权平均这是以频率为权的加权平均概率论概率论 当当N很大时很大时,频率接近于概率频率接近于概率,所以我们在求废品数所以我们在求废品数 X 的平均值时的平均值时,用用概率代替频率概率代替频率,得平均值为得平均值为:32103210pppp这是以这是以概率概率为权的加权平均为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量我们就用这个数作为随机变量X 的平均值的平均值.nnnnnnnn32103210这是以这是以频率频率为权的加权平均为权的加
6、权平均概率论概率论 2.定义定义:设设X是离散型随机变量是离散型随机变量,它的分布律是它的分布律是:PX=xk=pk,k=1,2,请注意请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称数学期望简称期望期望,又称为又称为均值均值。1)(kkkpxXE若级数若级数 1kkkpx绝对收敛绝对收敛,则称级数则称级数 1kkkpx即即:的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望,记为记为 E(X),(expectation or mean)概率论概率论 例例1:,21XX所所得得分分数数分分别别记记为为甲甲、乙乙二二人人进进行
7、行打打靶靶，它们的分布律分别为它们的分布律分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的数学期望，的数学期望，和和解：我们先来算解：我们先来算21XX分）分）分）分）(5.01.023.016.00)(8.18.022.0100)(21 XEXE概率论概率论 1)0-11)0-1分布分布 b(1,p)的数学期望的数学期望101XPpp E(X)=p2)二项分布二项分布 b(n,p)的数学期望的数学期望1!()(1)!()!nkn kknE Xkppk nk (1)0,1,.kkn knP XkC ppkn 例例2:三个重要的离散型三个重要的离散型 r.v
8、.的期望的期望1!(1)(1)!()!nkn kknppknk 11(1)1(1)!(1)(1)!()!nknkknnpppknk np 11101(1)nllnlnllknpCpp 令令概率论概率论 3)3)泊松分布泊松分布,0,1,2,.!kXP Xkekk 0()!kkE Xkek 11(1)!kkek .概率论概率论 一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例3:按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00和和 9:0010:00 都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。且两者
9、到站的时间相互独立。其规律为：其规律为：0 102050309070110到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6概率论概率论 0 105030907011020到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6其其分分布布律律为为以以分分计计为为解解：设设旅旅客客的的候候车车时时间间),(X X 10 30 50 70 90 kp6362概率论概率论 0 105030907011020到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概
10、率概率 1/6 3/6 2/670()P XP AB8:10,9:30.AB其中 为事件 第一班车到站为事件 第二班车到站13()()66P A P B概率论概率论 分分22.2736290363703615062306310)(XE:X候车时间 的数学期望为 X 10 30 50 70 90 kp6362616163616261概率论概率论 定义定义:设设X是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为 f(x),如果积分如果积分:()xf x dx 绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望,即即:dxxfxXE)()(请注意请注意:连续型随机变量的数
11、学期望是一个绝对收敛的积分连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望概率论概率论 1)均匀分布均匀分布 U(a,b)1,()0,axbXf xba 其其他他1();2baabE Xxdxba 例例4:三个重要的连续型三个重要的连续型 r.v.的期望的期望2)指数分布指数分布 E()0()00 xexf xx 1 0()xE Xx edx 0 xxde 00 xxxeedx 01xe 概率论概率论 3)正态分布正态分布 N(,2)22()21(),2xXf xex 22()21()2xEXxedx 222txttedt 令令 概率论概率
12、论 三、二维随机变量的数学期望三、二维随机变量的数学期望 ,1,2,ijijP Xx Yypi j 则：则：1.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：的联合分布律为：111(),iiiijiijE Xx px p 111().jjjijjijE Yy py p 2.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 f(x,y),则：则：()()(,),XE Xxfx dxxf x y dxdy ()()(,).YE Yyfy dyyf x y dxdy 概率论概率论 解解:()(,)d dE Xxf x yx y 11007d()d
13、12xx xyy 例例5:设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为:,01,01,(,)0,.xyxyf x y 其其它它求求 E(X).概率论概率论 四、随机变量的函数的数学期望四、随机变量的函数的数学期望1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布的分布,我们需要计算的是我们需要计算的是X的某个函数的某个函数 g(X)的期望的期望,那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是一种方法是,因为因为 g(X)也是随机变量也是随机变量,它的分布可以由已知的它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了 g(X)的分布的分布,就可以按照期望的定
14、义把就可以按照期望的定义把 Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布的分布,一般是比较复杂的一般是比较复杂的.概率论概率论(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布律为它的分布律为P(X=xk)=pk,绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(),2,1(kkkpxgk1()()()kkkg Xg xE YEp(2)当当X为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度函数为 f(x),若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()()()()()g Xg xE YEf x dx2.定理定理:设设Y是随机变量是随机变量X的函
15、数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)1)(kkkpxXEdxxfxXE)()(概率论概率论)(,(,是是连连续续函函数数的的函函数数是是随随机机变变量量设设gYXgZYXZ 则则是一维随机变量是一维随机变量,Z(1)(,),(,),X Yf x y若若是是二二维维连连续续型型概概率率密密度度为为则则有有:(,)(,)()(,)E ZEf x y dxdg X Yg x yy (2)(,),(,1,2,)ijijX YP Xx Yyp i j若若是是二二维维离离散散型型概概率率分分布布为为则则有有:11()(,)(,)iijjjig X YEg xZEpy.积分或级数都绝对收敛积分或
16、级数都绝对收敛这里假定上两式右边的这里假定上两式右边的概率论概率论(0,),Va设设风风速速在在上上服服从从均均匀匀分分布布 即即具具有有概概率率密密度度:2:(0,),.WVWkVkW又又设设飞飞机机机机翼翼受受到到的的正正压压力力是是 的的函函数数常常数数求求的的数数学学期期望望2()()E Wkv f v dv解解:由由上上面面的的公公式式1,0,()0,vaf va其它,220113akvdvkaa概率论概率论,sin()0,0(,)220X YAxyxyf x y 设设二二维维连连续续型型随随机机变变量量（）的的概概率率密密度度为为其其它它).(),()2(,)1(XYEXEA求求求
17、系数求系数1解解：（）/2/200(,)sin()1f x y dxdydyAxy dx ，/2/20012sin()24E Xxxy dxdy（）（）12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYE12A 得得概率论概率论 五、数学期望的性质五、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立相互独立，则，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广(诸诸Xi相互独立时相互独
18、立时)反之不然反之不然:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立概率论概率论 Xb(n,p),若设若设则则:X=X1+X2+Xn=np1,0,iiXi若第 次试验成功,若第 次试验失败.i=1,2，n因为因为:P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-pniiXE1)(所以所以:E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=)1(01pp=p例例8 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望(简便方法简便方法)概率论概率论 例例10:一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个
19、车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立)10,2,110 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第引入随机变量引入随机变量解解1021XXXX 易知易知概率论概率论 10,2,1,10911,10902020 iXPXPii10,2,1,1091)(20 iXEi由此由此次次进而进而784.8109110)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE概率论概率论 作业习题4-1 2,3,5,6,9,11,12
