1、导数的概念导数的概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从
2、而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。小变化时，函数大体上变化多少。重点重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导
3、数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则基本要求基本要求准确叙述导数定义并深刻理解它的实质准确叙述导数定义并深刻理解它的实质会用定义求导数会用定义求导数熟记求导基本公式熟记求导基本公式牢固掌握链式法则牢固掌握链式法则掌握隐函数和参量函数求导法掌握隐函数和参量函数求导法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度
4、度求求t0t,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于t,t 运动时间运动时间t tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为其运动路程为s=s(t)，则物体在时刻，则物体在时刻 t 0 的的瞬时速度定义为瞬时速度定义为tsvtvtt 000limlim)(ttsttst )()(lim000 速度反映了路程对时间变化的快慢程度速度反映了路
5、程对时间变化的快慢程度 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放Toxy)(xfy CNM 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设0 xx的斜率为的斜率为割线割线MN如图如图,00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义二、导数的定义定义定义,)(,)(,0);()(,)
6、(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000其它形式其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(000
7、0 xxxfxfxfxx 关于导数的说明：关于导数的说明：导数概念是概括了各种各样的变化率而得出导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质变化率的本质.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x平均变化率平均变化率为端点的区间上的为端点的区间上的和和在以在以是是xxxyxy 00.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就
8、称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意:.)()(.100 xxxfxf 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.播放播放单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(000
9、00000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 2.右导数右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(
10、0存在存在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存在存在xf ,)()(00axfxf 且且则则)(xf在在点点0 x可可导导，.)(0axf 且且三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求
11、求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx 例如例如,)(x12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 例例4 4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim
12、0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即特别地特别地.)(xxee 例例5 5.)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa.log1)(logexxaa 即即特别地特别地.1)(lnxx 例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导
13、在在函数函数 xxfy四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义oxy)(xfy 0 xT)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxfM且有限时且有限时若若0)(0 xf切线方程为切线方程为的的过过)(,(00 xfx).)(000 xxxfyy 法线方程为法线方程为).()(1000 xxxfyy 时时当当0)(0 xf切线方程为切线方程为)(0 xfy 法线方程为法线方程为0 xx 时时当当 )(0 xf切线方程为切线方程为0 xx 法线方程为法线方程为)(0 xfy
14、 例例7 7.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为),21(42 xy.044 yx即即法线方程为法线方程为),21(412 xy.01582 yx即即2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流
15、电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxy)0(0 x xxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.连续函数不存在导数举例连续
16、函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx )(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如,1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x31 xyxy01.,)()(.30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的
17、左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf例如例如,0,00,1sin)(xxxxxf.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy.)()(,)(.4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx0)(lim)0(0 xffx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001
18、sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf六、小结六、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题
19、 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？思考题解答思考题解答 由由导导数数的的定定义义知知，)(0 xf 是是一一个个具具体体的的数数值值，)(xf 是是由由于于)(xf在在某某区区间间I上上每每一一点点都都可可导导而而定定义义在在I上上的的一一个个新新函函数数，即即Ix ，有有唯唯一一值值)(xf 与与之之对对应应，所所以以两两者者的的区区别别是是：一一个个是是数数值值，另另一一个个是是函函数数两两者者的的联联系系是是：在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 即即是是导导函函数数)(xf 在在0 x处处的的函函数数值值
