1、第4章第1页EXIT第4章第2页EXIT 闭环系统的稳定性及性能主要由闭闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。高阶，直接用时域法求解困难。第4章第3页EXIT第4章第4页EXIT1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法法根轨迹法。根轨迹法。考虑到开环零极点更易获取，考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化闭环
2、极点随系统参数变化（如（如放大系数）而在放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途：用途：对系统的性能进行分析；对系统的性能进行分析；确定系统应有的结构、参数；确定系统应有的结构、参数；进行设计和综合。进行设计和综合。第4章第5页EXIT第4章第6页EXIT一、根轨迹图一、根轨迹图1.定义：定义：根平面：根平面：在一个复平面（在一个复平面（s平面）上标出开环零、极点，并平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面根平面。根轨迹：根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为指系统开环传递函
3、数中某一参数（一般为Kg，根轨根轨迹增益迹增益）变化）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。第4章第7页EXIT2()(0.51)(2)(2)gKKKG ssss ss s2gKK2.用解析法绘制根轨迹（实例）用解析法绘制根轨迹（实例）例例4-1：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：1.1.时间常数表示法主要用于频率分析中；时间常数表示法主要用于频率分析中；2.2.零极点表示法主要用于根轨迹分析中。零极点表示法主要用于根轨迹分析中。第4章第8页EXIT开环有两个极点：开环有两个极点：p1=0，p2=2开环没有零点。开环没有零点。1211,11ggs
4、KsK 可见，可见，当当Kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。变化，两个闭环极点也随之连续变化。当当Kg 从从0变化时，直接描点作出两个闭环极点的变变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹化轨迹闭环特征方程为：闭环特征方程为：D(s)=s2+2s+Kg=0解得解得闭环特征根（亦即闭环极点）闭环特征根（亦即闭环极点）第4章第9页EXIT1gj K（1）当）当 Kg=0时，时，s1=0、s2=2，此时闭环极，此时闭环极点就是开环极点。点就是开环极点。（2）当）当0Kg1时，时，s1、s2均为负实数，且位于均为负实数，且位于负实轴的（负实轴的（2，0）一段上。一段上。（3）当）当Kg=1时，时，
5、s1=s2=1，两个负实数闭环，两个负实数闭环极点重合在一起。极点重合在一起。（4）当）当1Kg时，时，s1，2=1 ，两，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实的实部不随部不随Kg变化，其位于过（变化，其位于过（1，0）点且平行于）点且平行于虚袖的直线上。虚袖的直线上。（5）当）当Kg时，时，s1=1+j、s2=1j，此时此时s1、s2将趋于无限远处。将趋于无限远处。第4章第10页EXIT可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：（1）根轨迹增益）根轨迹增益Kg从从0时，根轨迹均在时，根轨迹均在s平面
6、左半部，在所有的平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。值下系统都是稳定的。（2）当）当0Kg1时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶其阶跃响应为衰减的振荡过程。跃响应为衰减的振荡过程。（5）有一个为）有一个为0的开环极点，系统为的开环极点，系统为型系统，其阶跃作用下的稳型系统，其阶跃作用下的稳态误差态误差ess为零。为零。arcco%s,gK阻尼角第4章第11页EXIT 由上述分析过程可知，由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于：系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而，由较易获取的开环零极
7、点分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。对系统的动态性能和稳态性能进行分析。但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨闭环系统的特征根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解
8、的方法绘制出来的。图解的方法绘制出来的。第4章第12页EXIT二、二、根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置平面寻找闭环特征根的位置。()()()()1()()C sG ssR sG s H s闭环传递函数为闭环传递函数为0)()(1sHsG 1)(sGK闭环特征方程为闭环特征方程为 即即 11()1)(mgiinjjKkszspGs m个开环零点个开环零点 n个开环极点个开环极点 （根轨迹方程）（根轨迹方程）Kg：根轨迹增益：根轨迹增益 在在s平面上凡是满足上式的任意一个点平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s
9、2、s，都是闭环特征根，即闭环极点。对，都是闭环特征根，即闭环极点。对应于应于Kg 从从0。第4章第13页EXIT1、根轨迹的幅值条件根轨迹的幅值条件方程方程和相角条件和相角条件方程方程 1)()()(11njjmiigKpszsksGsj为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。111 mgiinjjkszsp11()()(211),02mnijijszpksk，相角条件：相角条件：幅值条件：幅值条件：第4章第14页EXIT 相角条件方程和相角条件方程和kg无关，无关，s平面上任意一点，只要满平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定
10、足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。（实、虚轴选（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）用相同的比例尺刻度）11()()(211),02mnijijszpksk，第4章第15页EXIT2、幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件应用应用()()iijjszszspsp 为从一个开环零点指向为从一个开环零点指向s s的向量的向量为从一个开环极点点指向为从一个开环极点点指向s s的向量的向量向量的模为长度，即向量的模为长度，即s s
11、平面上两点之间的距离；平面上两点之间的距离；相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，逆时针为正，顺时针为负；逆时针为正，顺时针为负；1.1.可以直接计算可以直接计算 ；2.2.或在图上直接测量或在图上直接测量S S为试探点为试探点第4章第16页EXIT解：解：不符合相角条件，不符合相角条件，s1不在根轨迹上。不在根轨迹上。221220()()(116.6)(63.4:)180spsps 满足相角条件，满足相角条件，s2在根轨迹上。在根轨迹上。（1）.用相角条件求根轨迹（试探法）用相角条件求根轨迹（试探法）11()()(21,1)02mnijijszpksk，
12、()(1)gKKGss s12(1,1),(0.5,1)sjsj例：已知系统的例：已知系统的开环传递函数开环传递函数如下，试判断如下，试判断 是否是否在根轨迹上。在根轨迹上。111()():mnijijszsps)()(02111psps)1(11ss22590135第4章第17页EXIT（2）.用幅值条件确定用幅值条件确定kg的值的值解：解：21220.500.511.118 1.1181.25gKsp spjj 112121njjngmmiispsp spspKsz szszsz开环点测试点长积开环点测试点长积各各极极至至向向量量度度之之 各各零零至至向向量量度度之之)1,5.0(2js例
13、：求上例中根轨迹上例：求上例中根轨迹上 点对应的点对应的Kg。22ps 12ps、也可以用直尺测量向量的长度。也可以用直尺测量向量的长度。第4章第18页EXIT小结：小结：相角条件相角条件 判断是否闭环极点（根）判断是否闭环极点（根）幅值条件幅值条件 确定对应的根轨迹增益确定对应的根轨迹增益图解法：注意坐标、比例图解法：注意坐标、比例 但是控制系统的根轨迹图不能遍历但是控制系统的根轨迹图不能遍历s s平面上所有的点来平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘有一些规
14、律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。制出控制系统的根轨迹草图。第4章第19页EXIT第4章第20页EXIT第4章第21页EXIT1()0KGs是是Kg或其它参数的连续函数。或其它参数的连续函数。当当Kg从从0+连续变化连续变化时，时，闭环极点连续变化，即闭环极点连续变化，即根根轨迹是连续变化的曲线或直线。轨迹是连续变化的曲线或直线。线性系统特征方程系数均为实数，线性系统特征方程系数均为实数，闭环极点均为实数或闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。一、连续性与对称性一、连续性与对称性第4章第
15、22页EXIT二、根轨迹的分支数二、根轨迹的分支数 开环传递函数为开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环数都为阶，故开环极点和闭环数都为n个，个，当当Kg从从0+变化时，变化时，n个根在个根在s平面上连续形成平面上连续形成n条根轨条根轨迹。迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随一条根轨迹对应一个闭环极点随Kg的连续变化轨迹。的连续变化轨迹。根轨迹的分支数根轨迹的分支数=系统的阶数系统的阶数第4章第23页EXIT三、三、根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点111miingjjsznmKsp由幅值条件有：由幅值条件有：(1,2,)jspjn 1.起点：起点：Kg=0，等式右边等式右边=，仅当，仅当成立，成
16、立，n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的n个开环极点。个开环极点。第4章第24页EXIT(1,2,)isz im 01limlimmnsnmssss方程左边另外另外nm条根轨迹终止于条根轨迹终止于处（处（，相角可为任意方向）。，相角可为任意方向）。结论：结论：根轨迹以根轨迹以n个开环极点为起点；以个开环极点为起点；以m个开环零个开环零点为终点，另外点为终点，另外nm条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。2.终点：终点：kg=，等式右边等式右边=0当当由于由于nm时，只有时，只有s 处处成立，成立，m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m 个开环零点处；个开环零点处；111,miingj
17、jsznmKsp第4章第25页EXIT四、四、根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 个夹角取够mnkmnk,2,1,012180 若若nm，当，当Kg从从0+时，有时，有(nm)条根轨迹分支沿着实轴正方条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角向夹角，截距为，截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。的一组渐近线趋向无穷远处。amnmnzpnjmiija开环零点和开环极点和11)()(与实轴交点的坐标：与实轴交点的坐标：仅当仅当s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近，逼近，Kg，根轨迹才与渐近线重合。，根轨迹才与渐近线重合。一般直接取一般直接取180。第4章第26页EXIT-2-10 12gK
18、KGss ss60018021180133002kkkk1 213a 第4章第27页EXIT-2-10 12gKKGss ss第4章第28页EXIT例例4-1已知控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的支数、起点和终点。若终点在无穷远处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。51sssKsGgK图4 渐进线0-1-2-51平面j解解 由于n=3，所以有3条根轨迹，起点分别在由于m=0，开环传递函数没有有限值零点，所以三条根轨迹的终点都在无穷远处，其渐近线与实轴的交点及倾斜角 分别为 5,1,0321ppp20351031mnpii31218012180kmnk当 时，；当 时，；当 时，。根
19、轨迹的起点和三条渐近线如图4.4所示。0k 6011k18022k 3003第4章第29页EXIT五、五、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹)(21ps)(31ps 、两向量对称两向量对称于实轴，引起的相角大小相于实轴，引起的相角大小相等、方向相反；等、方向相反；、两向量也对称两向量也对称于实轴，引起的相角大小相于实轴，引起的相角大小相等、方向相反。等、方向相反。)(21zs)(31zs 开环开环复平面上的开环零、极点，由于是共轭复数对，复平面上的开环零、极点，由于是共轭复数对，对实轴上任一点对实轴上任一点s1的相角影响为的相角影响为0 0，对于实轴上根轨迹，对于实轴上根轨迹的判别来说不影响幅角条件
20、。的判别来说不影响幅角条件。判断判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。第4章第30页EXIT位于位于s1左边的实数零、极点：左边的实数零、极点：、向量引起的相角为向量引起的相角为0 判断判断 s1是否落在根轨迹上，位于是否落在根轨迹上，位于s1左边的零、极点不考虑。左边的零、极点不考虑。)(11zs)(41ps 位于位于s1右边的实数零、极点：右边的实数零、极点：每个零、极点提供每个零、极点提供180相角。相角。结论：结论：s1右边的实数零、极点（开环）个右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则数的总和为奇数，则s1位于根轨迹上。位于根轨迹
21、上。第4章第31页EXIT例例4.2设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。解解 系统的开环零点为0.5，开环极点为0（二重极点），1，1.5，4（如图4.5所示）。根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到区间4，5右方的开环零点数和极点数总和为5，以及区间1，0.5右方的开环零点数和极点数总和为3，均为奇数，故实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。45.115.02sssssKsGgKj图实轴根轨迹平面第4章第32页EXIT六、六、根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点分
22、开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般多出一般多出现在实轴上。现在实轴上。1(,z 12,pp分析：分析：1.如图，如图，为实轴上的根轨迹。为实轴上的根轨迹。两条根轨迹分别由两条根轨迹分别由-p1和和-p1出发，随出发，随kg的增大，会合于的增大，会合于a点继而又点继而又分开，离开实轴，进入复平面，再回到实轴，会合于分开，离开实轴，进入复平面，再回到实轴，会合于b点再离开，一点再离开，一条终止于条终止于-z1，另一趋于负无穷远处。，另一趋于负无穷远处。第4章第33页EXIT2.2.规律：规律：若实轴上两相邻开环极点之间存
23、在根轨迹，之间必有若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点；分离点；若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点；在根轨迹，之间必有会合点；若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。能既有分离点也有会合点，也可能都没有。第4章第34页EXITld1803.3.求分离角（会合角）：求分离角（会合角）：在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，l为相分离的根轨迹分支数。为相分
24、离的根轨迹分支数。第4章第35页EXIT4.分离点的求取分离点的求取 00A sA s11()()()()()mgiiKgnjjKszN sGsKD ssp()10()gN sKD s()()0gD sK N s ()()0()()0ggA sD sK N sA sD sK N s()()()()0D s N sN s D s消消Kg得：得：特征方程：特征方程：s 分离点分离点 重根法重根法 特征方程：特征方程：A（s）=0 具有重根，具有重根，则：则：第4章第36页EXIT 极值法极值法 牛顿余数定理的使用（二阶以上）牛顿余数定理的使用（二阶以上）()()()()0D s N sN s D
25、s()10()gN sKD s()()gD sKN s 0gdKds第4章第37页EXIT举例：已知控制系统的开环传递函数如举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。下，试求根轨迹在实轴上的分离点。12gKKGss ss解：解：（用重根法）（用重根法）sssssssD23)2)(1()(231)(sN2()()()()3620D s N sN s D sss263)(2sssD0)(sN120.4231.577ss 第4章第38页EXIT1230,1,2ppp 判断：开环极点有三个判断：开环极点有三个(,2,1,0 在实轴上在实轴上 为根轨迹为根轨迹 ，则则 s1满足，
26、为分离点。满足，为分离点。120.4231.577ss -2-10-0.423180902d 12gKKGss ss第4章第39页EXIT七、七、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角ab11180(21)mnaijijj ak ：由其它各开环零点指向：由其它各开环零点指向 的向量的幅角的向量的幅角 ：由其它各开环极点指向：由其它各开环极点指向 的向量的幅角的向量的幅角ija
27、pap入射角：入射角：11180(21)nmbjijii bk 出射角：出射角：第4章第40页EXIT例例4.4设开环传递函数极、零点如图4.10所示，试确定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。解解 利用公式（4.30），由作图可得 6.2621806.2613590451218012180413121111kkppppppzpkc考虑到幅角的周期性，取 =26.6。同理，可得 =+26.6。c1c2j图10 例题系统的出射角和入射角41231平面第4章第41页EXIT八、八、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 随着随着Kg，根轨迹可能由，根轨迹可能由s s左半平面左半平面右半平面，系统会从稳右
28、半平面，系统会从稳定定不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征方程出现不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根纯虚根，出现临界稳定。出现临界稳定。求解方法（两种方法）：求解方法（两种方法）：劳斯判据：第一列有劳斯判据：第一列有0元素（纯虚根），代入辅助方元素（纯虚根），代入辅助方程，此处的增益程，此处的增益临界根轨迹增益临界根轨迹增益Kgp。Re()Im()0A sA s 令令s=j代入闭环特征方程代入闭环特征方程A（s）=0，再令，再令 求出求出、交点坐标和、交点坐标和Kg。第4章第42页EXIT例：已知系统的开环传递函数，求根轨例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临
29、界根轨迹增益迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益kgp。12gKKGss ss解：解：3212320ggA ss ssKsssK32()3()2()0gpjjjK23(3)(2)0gpKj020332gpk00gpk26gpk 2jj32gpkK 交点坐标：交点坐标：得：得：（舍去）（舍去）令令s=j代入有代入有第4章第43页EXIT当当 时，时，s1 行等于行等于0，有一对纯虚根，辅助方程，有一对纯虚根，辅助方程 6gK 230gsK1 2 3 0s3s2s1s0 gK63gKgk22s2js解：解：劳斯判据劳斯判据 32320gA ssssK第4章第44页EXIT-2-10-0.423 12gK
30、KGss ss2j2j 根轨迹和虚轴交点相应于系根轨迹和虚轴交点相应于系统处于临界稳定状态。即统处于临界稳定状态。即K3后，后，系统不稳定（有闭环右极点）。系统不稳定（有闭环右极点）。第4章第45页EXIT九、九、闭环极点的和闭环极点的和由根与系数的关系，当：由根与系数的关系，当：2mn开环极点之和开环极点之和=闭环极点之和闭环极点之和=常数常数 表明，随着表明，随着Kg，若闭环一些特征根增大时，另一些特征根必定减若闭环一些特征根增大时，另一些特征根必定减小，以保持其代数和为常数。小，以保持其代数和为常数。即一些分支向右移动时，另一些分支必即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平
31、衡。向左移动，保持左右平衡。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。对于某一对于某一Kg，若已知（，若已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。第4章第46页EXIT 110111101mmimiKggnnnnjjszsbb sbGskksasa sasp设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为11)(nnjjap由根与系数的关系：由根与系数的关系：0011cscssAnnn 111101100nnmmngmA ssasa saksbsbsbmn sAnsss,21系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为
32、 是一个是一个n阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为 ，则，则闭环极点之积闭环极点之和0111)1()()(cscsnnjjnnjj由根与系数的关系：由根与系数的关系：constpsnjjnjj11)()(2mn11nnca当当 时，时，第4章第47页EXIT例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为 ，试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益Kgp 12gKKGss ss1,22sj 3)2()1(03123()()()()(2)(
33、2)3ssssjj 3()3s 解：开环极点之和解：开环极点之和闭环极点之和：闭环极点之和：1121213 1 26njjngmmiispsp spspKsz szszsz 第4章第48页EXIT-2-10-0.423 12gKKGss ss2j2j 向左，向左，、关于实关于实轴对称，只能向右移动。轴对称，只能向右移动。第4章第49页EXIT小结：小结：按按9条规则条规则绘制控制系统从绘制控制系统从Kg=0+时根轨迹的草图时根轨迹的草图直观分析直观分析Kg变化对性能的影响；变化对性能的影响；进一步根据幅角条件，采用试探法准确确定若干点的位进一步根据幅角条件，采用试探法准确确定若干点的位置（特别
34、是虚轴附近或原点附近）置（特别是虚轴附近或原点附近）精确根轨迹。精确根轨迹。（根轨（根轨迹的重要部位，稳定迹的重要部位，稳定不稳定）不稳定）第4章第50页EXIT第4章第51页EXIT例4.6：设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。5.01.01sssKsGgK解 绘制根轨迹图的步骤如下：（1）根轨迹共有2支。起点在开环极点s=0.1，1.5，一支根轨迹的终在s=1，另一支沿负实轴趋向无穷远处。（2）实轴上的根轨迹在区间（，1），0.5，0.1。（3）根轨迹在实轴的分离点和会合点已在例4.3中求得：分离点坐标为d1=0.33，Kgd1=0.06；会合点的坐标为d2=1.67，Kgd2=22
35、.6。（4）复平面上的根轨迹是圆。=0=0图11 例4-6的根轨迹图1.6=2.6=0.06平面j一、单回路负反馈系统的根轨迹单回路负反馈系统的根轨迹第4章第52页EXIT例例4.74.7：设系统开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。22322sssssKsGgK解解 绘制步骤如下：（1）求得系统的开环共轭复数极点为1j。（2）根轨迹共有4条，起点在开环极点0，3，1j，一条根轨迹终止于开环零点2其余3条终止于无穷远处。（3）根轨迹的渐近线与实轴的交点为渐进线倾角为当k=0，1，2时分别和倾斜角为60，180，300（4）实轴上根轨迹在区间（，3）和2，0。（5）实轴上无分离点和会合点。12113
36、031111jjzpmnnjmiij31218012180kmnk（6）根轨迹离开复数极点1j的出射角已在例4-4中求得为26.6第4章第53页EXIT（7）计算根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为即 列出劳斯矩阵为s4 1 8 2Kg s3 5 6+Kgs2 2Kg s1 0022232sKssssg02685234ggKsKsss5640gKgggKKK34506034506gggKKK由于Kg0，若劳斯矩阵第一列的s1行等于零，则系统具有共轭虚根。即当 可解得Kg=7.0。相应的值由s2行系数组成的辅助方程确定，即以s=j代入可得：1.640(6+7)s2+527=0第4章第54页E
37、XIT=0-3图12 例4-7的根轨迹图j=0=-1=7.0=0j=7.0j-2=0平面第4章第55页EXIT二、参数根轨迹某些开环零、极点、时间常数、反馈比例系数等，作为可变参数所绘制的根轨迹，称之为参数根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数对系统的影响。绘制参数根轨迹的步骤如下：（1）写出原系统的特征方程。（2）以特征方程中不含参数的各项除特征方程，得等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参数即为等效系统的根轨迹增益。（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。例例4.8 控制系统如图4.15所示，当Kg=4时，试绘制开环极点p变化时参数根轨迹。解解 当Kg=4时，系统的开环
38、传递函数为 psspssKsGgKgK44图例4-8控制系统系统的闭环传递函数为 442psss闭环特征方程为042 pss第4章第56页EXIT所以系统的等效开环传递函数为 由于所以系统的等效开环传递函数为 由于所以系统的等效开环传递函数为由于所以系统的等效开环传递函数为 （4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含参量的各项去除特征方程求得。由于由于所以系统的等效开环传递函数为 （4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含参量的各项去除特征方程求得。142sps 42spssGDKGDK(s)与原系统的开环传递函数GK(s)在闭环特征方程上是等价的，因此称为等效开环传递函数。GDK(s
39、)中的参数 称为等效根轨迹增益。按照根轨迹绘图规则，可以绘制等效系统的等效根轨迹从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹如图4.16所示。p图参 数 根 轨 迹j=0=4j平 面=0j第4章第57页EXIT三、多回路系统的根轨迹三、多回路系统的根轨迹实际中，许多系统为抑制干扰以提高系统的性能，除了有主反馈闭环外，还设置了内环通道，这就是多回路系统。例如在机电调速系统中，通常是除了速度反馈外，还有电流反馈形成的内环，亦称双闭环系统。在工业过程控制中也有类似的双闭环控制系统，如串级控制系统。这些都是多回路系统。多回路系统的根轨迹的绘制较单回路要复杂一些。第4章第58页EXIT四、正反馈系统的根轨迹四、正
40、反馈系统的根轨迹我们知道，负反馈是自动控制系统的一个重要特点。但在有些系统中，内环是一个正反馈回路（如图4.21所示）。这种局部正反馈的结构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的某种性能要求在设计系统时加进的。因此，在利用根轨迹法对系统进行分析或综合时，有时需绘制正反馈系统的根轨迹。这时，绘制根轨迹的条件和规则与上述有所区别。2图局部正反馈系统211在绘制正反馈回路的根轨迹时，需对表4.1中的一些规则，作如下修改。规则4 n-m条渐进线与实轴的夹角的计算公式为：规则5 在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边的开环零、极点数目之和为偶数。规则7 根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 除了
41、上述3项规则修改外，其他规则均不变。mnk21802,1,0kxiniimjjxc11niiyjmjjyr11第4章第59页EXIT例例4.9设单位正反馈系统的开环传递函数为 51sssKsGgK试绘制系统的根轨迹。解解 绘制步骤如下：（1）根轨迹起点在0，1，5。共有三支，终点均在无穷远处。（2）趋于无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴相交于2，夹角由（4-53）计算，结果为0，120，240（3）实轴上根轨迹的区间：5，1和0，。（4）根轨迹的分离点按下式计算 051230561323sDsNsDsNsssDsNssssDsN即 051233ss解得 s=3.52，0.48由于0.48不在根轨迹
42、上，所以根轨迹分离点为3.52，分离角为90系统的零度根轨迹如图4.22所示。图例系统根轨迹j=0-1=0-5=00平面第4章第60页EXIT五、五、滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹 包含时间滞后环节的系统称为纯时间滞后系统，或简称为滞后系统。滞后环节的存在使根轨迹具有一定的特殊性，并往往对系统的稳定性带来不利的影响。滞后系统的根轨迹方程为111sniimjjgepszsK相应的幅值方程为ezspsKepszsKmjjniigniimjjg11111或幅角方程为121803.570011kpszsniimjj ,2,1,0k第4章第61页EXIT当=0时幅值方程和幅角方程与一般系统的幅值方程和
43、幅角方程相同。当0时，特征根s=+j的实部将影响幅值方程，而幅角方程也不是180，他是的函数，且和k值有关，当k=0时，幅角方程为1803.57011niimjjpszs当k=1时，幅角方程变为5403.57011niimjjpszs显然，当k值从0，1，2变到时，幅角条件公式的右边也有无穷多个数值。因此，对应于一定的Kg值，同时满足幅值条件和幅角条件的复平面上的点有无穷多个，即滞后系统的根轨迹有无穷多支。可见，绘制一般系统的根轨迹的基本法则，用于滞后系统均应作相应的更改。第4章第62页EXIT第4章第63页EXIT第4章第64页EXIT一、求取闭环系统极点的方法：一、求取闭环系统极点的方法：
44、例：已知系统开环传递函数例：已知系统开环传递函数，求具有阻尼比，求具有阻尼比=0.5的共的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。指标。)15.0)(1()(sssKsGk解解：2()(1)(2)(1)(2)gkKKG ss sss ss 绘制根轨迹绘制根轨迹第4章第65页EXIT)0,422.0(j1230.4220.4220.4220.422 0.578 1.5780.385gKppp 分离点：分离点：6,2gpkj30,60Kkg 与虚轴的交点：与虚轴的交点：稳定范围稳定范围第4章第66页EXIT58.033.02,1j
45、s0.5252gKK 60arccos 作图求作图求=0.5时三个闭环极点时三个闭环极点34.2)58.033.0()58.033.0(33jjs1112130.330.580.330.58 10.330.5821.05gKspspspjjj 第4章第67页EXIT非主导极点与主导极点实部之比非主导极点与主导极点实部之比 （倍）1.733.034.2（倍）5.3667.034.2 性能分析性能分析 模之比模之比10.667,0.5ns 21%16.3%339()0.50.667snets-s1、-s2 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极
46、点。环主导极点。可根据由可根据由-s1、-s2 所构成的二阶系统来估算三阶系统。所构成的二阶系统来估算三阶系统。第4章第68页EXIT0525.0avpKKKK9.11vssKe单位斜坡给定作用下稳态误差：单位斜坡给定作用下稳态误差：型系统：型系统：第4章第69页EXIT1.系统要稳定：闭环极点全部位于系统要稳定：闭环极点全部位于s左半平面，左半平面，与闭环零点无关；与闭环零点无关；2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快；分量衰减更快；3.平稳性好：主导共轭复数极点位于平稳性好：主导共轭复数极点位于=45等阻尼线上，其对应最佳阻尼系数为等阻
47、尼线上，其对应最佳阻尼系数为=0.707；第4章第70页EXIT4.若非主导极点与主导极点实部比若非主导极点与主导极点实部比5，且主导极，且主导极点附近又无闭环零点，则非主导极点可忽略。一点附近又无闭环零点，则非主导极点可忽略。一般可近似将高阶系统看成由共轭复数主导极点构般可近似将高阶系统看成由共轭复数主导极点构成的二阶系统或由实数主导极点组成的一阶系统。成的二阶系统或由实数主导极点组成的一阶系统。5.闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用，闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用，当某个零点当某个零点-zi与某个极点与某个极点-pj非常接近，成为一对非常接近，成为一对偶极子。偶极子。可在系
48、统中人为引入适当的零点，以抵消对可在系统中人为引入适当的零点，以抵消对动态过程中有明显坏影响的极点，从而提高性能动态过程中有明显坏影响的极点，从而提高性能指标。指标。第4章第71页EXIT()(1)gkKG ss s1.已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数，增加，增加-p=-2或或-z=-2，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移第4章第72页EXIT增加极点后，增加极点后，Kg从从0，两条根轨迹离开实轴，并进，两条根
49、轨迹离开实轴，并进入入s右半平面，系统不稳定。右半平面，系统不稳定。当根轨迹仍在当根轨迹仍在s左半平面时，左半平面时，Kg，振荡程度，振荡程度，n，衰减因子，衰减因子，快速性，快速性，动态性能，动态性能。第4章第73页EXIT增加零点后，根轨迹始终在增加零点后，根轨迹始终在s左半平面，最后变为两个左半平面，最后变为两个负实根，稳定性负实根，稳定性，%，tS，动态性能，动态性能。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。第4章第74页EXIT例例2.已知系统开环传递函数，讨论增加开环已知系统开环传递函数，讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。零点对系统
50、稳定性的影响。2()(10)gkKG sssa.原系统：原系统：3个开环极点，无开环零点，结构不稳定个开环极点，无开环零点，结构不稳定1230,10ppp 1(10,0)z b.，稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈衰减振荡衰减振荡1(,10)z c.，不稳定，不稳定引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。第4章第75页EXIT增加开环零点对根轨迹的影响：增加开环零点对根轨迹的影响：改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截改变了根轨迹渐近线的条数
