1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第三章第三章 3.1 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 你知道吗？复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要 作用. 1.写出实数集的分类？ 2两个实数m，n可否比较大小？ 答案：1.实数 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 2可以 一 复数系 1复数的概念 设 a、 b 都是实数， 形如 abi 的数叫做复数， 即 zabi(a、 bR)其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，
2、i 叫做虚 数单位 当 b0 时， 复数就成为实数； 当 b0 时， abi 叫做虚数； 而当 b0 且 a0 时，bi 叫做纯虚数即复数 zabi(a0且ab 答案 D 解析 a2b20，且a|a|0. 二 复数的几何意义 1复平面 建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面在复平面 内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1，y 轴的单位 是 i. 实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示 纯虚数 注意：1.直角坐标平面可表示复平面，形式上不做改变， 要注意纵坐标仍是用 y 表示，不要认为是 yi. 2复平面内的点与复数的关系 位置 复数 实轴上的点 实数 虚轴(原点除
3、外)上的点 纯虚数 各象限的点 虚数 2.复数的几何意义 复数 zabi(a、bR)与复平面内的点 Z(a，b)及以原点 为起点，点 Z(a，b)为终点的向量OZ 是一一对应的，如图所示 由此可知复数的表示形式有三种：(1)代数形式：abi；(2) 复平面内的点 Z(a，b)；(3)平面向量OZ (O 为坐标原点) 3复数的模 设OZ 对应复数 abi(a， bR)，则向量OZ 的长度叫做复数 abi 的模(或绝对值)，记作|abi|.由向量长度的计算公式得|a bi| a2b2. 注意：在复数范围内，|z|2与 z2不一定相等，与向量的运算 有区别 复数 z11 3i 和 z21 3i 对应
4、的点在复平面内关于 _对称( ) A实轴 B虚轴 C第一、三象限的角平分线 D第二、四象限的角平分线 答案 A 解析 复数 z11 3i 对应的点为 P1(1， 3)，复数 z2 1 3i 对应的点为 P2(1， 3)，点 P1、P2关于 x 轴对称， 故选 A. 三 共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个 复数叫做互为共轭复数复数 z 的共轭复数用z表示，即当 z abi(a，bR)时，zabi.例如 z23i 的共轭复数是z2 3i. 注意：(1)当复数 zabi 的虚部 b0 时，有 zz，也就 是，任一实数的共轭复数是它本身 (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点
5、关于实轴对称，并 且它们的模相等 下列命题中： 任意两个确定的复数都不能比较大小； zz0z 是纯虚数； zzzR. 正确的是_ 答案 解析 当两个复数都是实数时，可以比较大小，故 错当 z0 时，z0，此时，zz0，但 z 不是纯虚数，故 错若 zabi(a，bR)与zabi 相等，则 bb，所 以 b0，所以 za 为实数，若 za 为实数，则za，所以 z z，故正确故填. 四 应用复数的几何意义解题(数形结合思想) 的策略 (1)复平面内|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即 |a|是表示实数a的点与原点O间的距离那么 在复数集中，类似地，|z|是表示复数z的点到 坐标
6、原点间的距离，也就是向量的模，即|z| |OZ|的策略 (2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别 为z1、z2，则|PQ|z2z1|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解 决有关问题 例如：若复数z满足|z|4，则点z在复平面内 的轨迹是以原点为圆心，以4为半径的圆 满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上的 对应点的轨迹是( ) A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆 答案 C 解析 |34i|5，|zi|z(0i)|， 0i在复平面上对应的点为(0,1)， 则z在复平面上对应的点的轨迹是以(0,1)为圆 心，5为半径的圆，故选C. 课堂典例探究课堂典例探
7、究 设mR，复数z(2i)m23(1 i)m2(1i) (1)若z为实数，则m_； (2)若z为纯虚数，则m_. 解题提示 本题给出的不是复数的标准形 式，因而要根据复数概念把z的形式进行整理， 分离出实部和虚部，构造方程(组)求解 复数的有关概念 解析 z(2i)m23(1i)m2(1i)(2m23m2) (m23m2)i. (1)令 m23m20，解得 m1 或 m2. (2)令 2m23m20， m23m20， 解得 m1 2. 答案 1 或 2 1 2 方法总结 复数zabi为纯虚数的充要条件是a0且 b0. 以 3i 2的虚部为实部，以 3i2 2i 的实部为虚部的复数 是( ) A
8、33i B3i C 2 2i D. 2 2i 答案 A 解析 3i 2的虚部为 3,3i2 2i 的实部为3，所以所 求复数为 33i. 复数相等的充要条件 已知M1，(m22m)(m2m 2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m 的值 解题提示 本题考查复数相等的充要条件， 由MPP知，M是P的子集，从而可知(m2 2m)(m2m2)i1或4i，利用复数相等 的充要条件即可求得m的值 解析 MPP，MP. 当(m22m)(m2m2)i1 时， 得 m22m1 m2m20 ，解得 m1； 当(m22m)(m2m2)i4i 时， 得 m22m0 m2m24 ，解得 m2. 综上可知，m1 或
9、m2. 方法总结 复数相等的充要条件是求复数的实部与虚部 中的待定系数及在复数集内解方程的重要依据根据复数相等 的定义可知，在 ac 和 bd 中，只要有一个不成立，那么 a bicdi(a、b、c、dR) 若log2(x23x2)ilog2(x22x1)3，则 实数x的值是_ 答案 2 解析 根据复数相等的充要条件， 得 log2x23x23 log2x22x10 ，即 x23x28 x22x11 ， 解得 x2. 复数的几何意义 已知复数x26x5(x2)i在复 平面内对应的点在第二象限，求实数x的取值范 围 解题提示 根据复数在复平面内对应点所 在的象限，确定实部和虚部对应的不等式，由
10、不等式组求出x的范围 解析 复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在 第二象限， x 满足 x26x50 ，解得 2x5， x(2,5) 方法总结 复数与复平面内的点之间是一一对应的，即 复数 zabi(a，bR)一一对应有序实数对(a，b)一一对应点 Z(a，b) 若2 3m1， 则复数 z(3m2)(m1)i 在复平面上对应的 点位于第几象限( ) A一 B二 C三 D四 答案 D 解析 当2 3m0，m10，故复数对应点 在第四象限. 共轭复数 已知复数z1m21(m2m)i与 z22(13m)i(mR)互为共轭复数，求m的 值 解题提示 根据共轭复数的定义，列方程 组求解 解析 由
11、已知得 m212， m2m13m， 所以 m1，即当 m1 时，z1与 z2是共轭复数 方法总结 共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性 质的复数，应注意它们的几何特征：关于实轴对称；代数特征： 实部相等，虚部互为相反数 如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共 轭复数的点是( ) AA BB CC DD 答案 B 解析 表示复数 z 的点 A 在第二象限，设 zabi(a、b R)，且 a0，则 z 的共轭复数zabi，a0，b0， 故应为 B 点. 复数的模与几何意义的应用 已知虚数(x2)yi(x，yR)的模为 3，求y x的 最大值 解题提示 本题主要利用复数模的几
12、何意义解题， 题中|x 2yi| 3表示点(x2，y)到原点的距离是 3. 解析 (x2)yi 上虚数，y0. 又|(x2)yi| 3， (x2)2y23. 其图象显然是圆(除点(2 3，0)，(2 3，0)， 圆心为 B(2,0)，半径为 3. 设y xk，则 ykx(其图象是过原点与圆上某点的直线，k 为直线的斜率)于是，当直线与圆相切且斜率为正时，斜率 k 即为y x的最大值，如右图所示 又OB2，AB 3，OA OB2AB21. y x的最大值tanAOB AB OA 3 1 3. 方法总结 解决与模有关的最值问题时，根据复数模的 概念及几何意义，利用数形结合思想把代数问题转化为几何问
13、 题 已知|z|2，求|z1 3i|的最大值和最小值 解析 设 zxyi，则由|z|2 知 x2y24， 故 z 对应的点在以原点为圆心，2 为半径的圆上， |z1 3i|表示圆上的点到点(1， 3)的距离 又点(1， 3)在圆 x2y24 上， 圆上的点到点(1， 3)的距离的最小值为 0，最大值 为圆的直径 4， 即|z1 3i|的最大值和最小值分别为 4 和 0. 若 mR，则(2m23m2)(m23m2)i 表示 纯虚数的条件是( ) Am1 2或 m2 Bm2 Cm1 2 Dm2 或 m1 误解 由 2m23m20，得 (2m1)(m2)0. 解得 m1 2或 m2.故选 A. 辨析 忽略了虚部可能为 0 的情况 正解 由纯虚数的定义， 可得 2m23m20 m23m20 ， 解得 m1 2.故选 C. 复数 有关概念理解 分类掌握 实数 有理数 无理数 虚数 非纯虚数 纯虚数 几何意义了解
