1、推理与证明推理与证明 第二章第二章 数学中常用证明方法有以下几种方法： 1比较法 比较法是证明不等式的最基本、 最重要的方法 之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法 可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商 法) 2综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证 明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐 步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是 “由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论” 3 分析法 分析法是指从需证的不等式出发， 分析这个不 等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其 特点和思路是“执果索因
2、”，即从“未知”看“需知”，逐步 靠拢“已知” 4反证法 有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可 以从正难则反的角度考虑， 凡涉及到的证明不等式为否定命题、 惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可 能”等词语时，可以考虑用反证法 5换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变 量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代 换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来 新的启迪和方法 2.1 合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理 第第1课时课时 合情推理合情推理 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主
3、预习 1 课前自主预习课前自主预习 相传，春秋时期鲁国的公输班(后 人称鲁班，被认为是木工的祖师)一次 去林中砍树时，不小心被一株茅草割破 了手，他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子 两边长着锋利的齿，他的手就是被这些小齿割破的鲁班想， 要是用这样齿状的工具，不是也能很快锯断树木了吗？他经过 多次试验，终于发明了锯子，大大提高了工效锯子的发明蕴 含着怎样的思维过程？ 1.在数列an中 a11，an1 2an 2an，nN ，猜想这个数 列的通项公式 2上题用到哪种推理方法？ 答案：1.在数列an中，a11，a2 2a1 2a1 2 3，a3 2a2 2a2 2 4，a4 2a3 2a3 2 5，所以猜
4、想 an 2 n1，nN . 2不完全归纳法 一 推理 1 定义： 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断， 这种思维方式就是推理 2推理的结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的 事实(或假设)，叫做前提；另一部分是由已知判断推出的新判 断，叫做结论 3推理的形式：推理的一般形式为前提结论例如，在 推理“ab，bc，则 ac”中，“ab，bc”是推理的前 提，“ac”是推理的结论 4推理的分类：推理一般分为合情推理与演绎推理两种 观察如图所示图形的规律，在其 右下角的空格内画上合适的图形 为( ) A B C D 答案 A 解析 因前两行两列中每一行、每一列各有 两个黑图，故应选黑图
5、；从黑图排列不重复 看应选A. 二 合情推理 1 定义： 前提为真时， 结论可能为真的推理叫做合情推理， 合情推理的结论可能为真，也可能为假 2数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理 若f(n)n2n21，nN，下列说法中正确 的是( ) Af(n)可以为偶数 Bf(n)一定为奇数 Cf(n)一定为质数 Df(n)必为合数 答案 B 解析 f(n)n(n1)21，n(n1)是偶 数， n(n1)21是奇数 三 归纳推理 1定义：根据一类事物的部分对象具有某种 性质，推出这类事物的所有对象都具有这种 性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳) 即：归纳推理是由部分到整体、由个别到一 般的推理 例如由
6、“铜、铁、铝、金、银等金属能导 电”，得出“一切金属都能导电” 2归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质 (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题(猜想) 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，的第 100项的值是( ) A13 B14 C15 D16 答案 B 解析 123451313131 2 91， 第 100 项的值是 14. 四 类比推理 1定义：根据两类不同事物之间具有某些类 似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另 一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做 类比推理(简称类比)简而言之，类比推理 是由特殊到特殊的
7、推理 2类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性 质，得出一个明确的命题(猜想) 在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2， 则它们的面积比为1:4，类似地，在空间中， 若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体 积比为_ 答案 1:8 解析 由题意知在平面上，两个正三角形的 面积比是边长比的平方由类比推理可得体 积比是棱长比的立方，即可得它们的体积比 为1:8. 五 归纳推理的常见方法 1善于观察，寻找规律 观察是实现归纳推理的一般途径，尤其是对 于图形推理问题 2列举分析，寻找规律 列举出特殊的几项(一般是前几项)进行分 析
8、、寻找规律是解决具有递推关系、周期性 等归纳问题的有效途径 观察下列等式： (11)21， (21)(22)2213， (31)(32)(33)23135， 照此规律，第n个等式可为 _ 答案 (n1)(n2)(nn) 2n13(2n1) 解析 从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式 个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘 数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从 1 开始， 逐项加 1 递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以 1 为 首项，2 为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，照此 规 律 ， 第n个 等 式 可 为 (n 1)(n 2)(n n) 2n
9、13(2n1) 六 几种常见类比 1类比定义 关键要找出两个概念的相似性和不同点，得 出结论的异同 2类比性质 关键要深刻理解已知性质的内涵与外延及应 用，通过类比得出新性质 3类比解题方法(或公式) 关键在解题方法(或公式)中，获得方法(或公 式)的来源及原理和应用方法，从而指导解决 新问题 4范例比较 对有些提供了范例的推理题，应根据所给的信息与所求的 问题之间的相似性， 运用类比的方法， 依照范例， 使问题解决 例 如： 将平面几何中的性质定理类比推理到三维空间， 类比如下： 平面几何 点 线 角 边长 立体几何 线 面 二面角 面积 已知 O 是ABC 内任意一点，连接 AO，BO，C
10、O 并延长， 分别交对边于 A，B，C，则OA AA OB BB OC CC1， 这是一道平面几何题， 其证明常采用“面积法”， OA AA OB BB OC CC SOBC SABC SOCA SABC SOAB SABC1.请运用类比思想，对于空间 中的四面体 VBCD，存在什么类似的结论？并证明. 解析 在四面体 VBCD 中任取一点 O，连接 VO，DO， BO，CO 并延长分别交四个面于 E，F，G，H 点，则OE VE OF DF OG BG OH CH1. 证明如下： 在四面体 OBCD 与 VBCD 中， OE VE h1 h 1 3S BCD h1 1 3S BCD h V
11、OBCD VVBCD. 同理，OF DF VOVBC VDVBC， OG BG VOVCD VBVCD， OH CH VOVBD VCVBD， OE VE OF DF OG BG OH CH V OBCDVOVBCVOVCDVOVBD VVBCD V VBCD VVBCD1. 课堂典例探究课堂典例探究 归纳推理在数列中的应用 已知在数列an中， a11， an1 2an an2(nN )， (1)求 a2，a3，a4； (2)推测数列an的通项公式 解题提示 由递推关系求出 a2，a3，a4后观察 a1，a2，a3， a4的特征，找出 an与 n 的关系，归纳猜想 an的表达式 解析 (1)由
12、 a11，an1 2an an2得 a2 2a1 a12 2 3，a3 2a2 a22 1 2，a4 2a3 a32 2 5. (2)由(1)可得 a12 3，a2 2 3，a3 2 4，a4 2 5. 由此猜想：an 2 n1(nN ) 方法总结 归纳猜想 an，Sn的表达式时，关键是找出项 与序号 n 的关系，从中发现规律，归纳出 an与 Sn的表达式 下面各列数都依照一定规律排列， 在括号里填上适当的数： (1)1,5,9,13,17，( )； (2)2 3，1,1 1 2，2 1 4，3 3 8，( )； (3)3 4， 5 8， 1 2， 9 22， 11 32，( )； (4)32
13、,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 答案 (1)21 (2)5 1 16 (3) 13 44 (4)8,21 解析 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每 列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩 (1)考察相邻两数的差： 514,954， 1394,17134， 可见，相邻两数之差都是 4.按此规律，括号里的数减去 17 等于 4，所以应填入括号里的数是 17421. (2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改 写为2 3，1， 3 2， 9 4， 27 8 可以发现： 1 2 3 3 2， 3 2 1 3 2， 9 4 3 2 3 2， 27
14、 8 9 4 3 2. 后一个数是前一个数的3 2倍， 按照这个规律， 括号中的数应 是27 8 3 2 81 165 1 16. (3)为探究规律，作适当变形：3 4， 5 8， 7 14， 9 22， 11 32. 这样一来，分子是首项为 3，公差为 2 的等差数列，故括 号内的数的分子为 13.再看分母部分：4,8,14,22,32.相邻两数之 差得4,6,8,10.可见括号内的数的分母应为321244.故括号中 应填入13 44. (4)分成两列数：奇数位的数为 32,16，( )，4,2. 可见前面括号中应填入 8；偶数位的数为 31,26，( )，16,11. 括号中的数应填入 2
15、1. 所以，两括号内依次填入 8,21. 归纳推理在几何中的应用 在ABC 中，不等式1 A 1 B 1 C 9 成立； 在四边形 ABCD 中，不等式1 A 1 B 1 C 1 D 16 2成立； 在五边形 ABCDE 中，不等式1 A 1 B 1 C 1 D 1 E 25 3成立 猜想：在 n 边形 A1A2An中，有怎样的不等式成立？ 解析 根据已知特殊的数值：9 ， 16 2， 25 3，总结归纳出 一般性的规律： n2 n2(n3) 在 n 边形 A1A2An中，有 1 A1 1 A2 1 An n2 n2 (n3) 方法总结 归纳是依据特殊现象推断出一般现象，运用 归纳推理可以发现
16、一些新的几何问题，再运用已学的知识进行 证明，这是数学创新的一条重要途径 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( ) A6n2 B8n2 C6n2 D8n2 答案 C 解析 由图形的变化规律可以看出，后一个 图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形 为8根， 可以写成a1862. 又a214622，a320632， 所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒 的根数为6n2. 类比推理在数列中的应用 若数列an(nN)是等差数列， 则有数列bn(n N)也是等差数列，其中 bna 1a2a3an n .类比上述性 质，相应地有，若数列cn(nN
17、)是等比数列，且 cn0，则数 列dn(nN)也是等比数列，其中 dn_. 解题提示 根据等差数列与等比数列的特点，等差数列 的和、倍、商应与等比数列的积、乘方、开方进行类比 解析 由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比 数列在运算上具有相似性等差与等比类比是和与积、倍与乘 方、商与开方的类比由此猜想 dnnc1c2c3cn. 答案 n c1c2c3cn 方法总结 合理地应用类比的方法，在解某些题目时， 往往收到事半功倍的效果 根据等差数列的性质，利用类比方法试写出 等比数列的一些性质. 等差数列性质an，公差 d 等比数列性质bn， 公比q 若mnpq则aman apaq 若mn2p，则
18、aman 2ap ak，akm，ak2m，构 成公差为md的等差数列 Sn为前n项和，则Sn， S2nSn，S3nS2n成公 差为n2d的等差数列 aman(mn)d 解析 由等差数列、等比数列性质，不难类比得到 的性质 若 mnpq，则 bm bnbp bq 若 mn2p，则 bm bnb2 q bk，bkm，bk2m构成公比为 qm的等比数列 公比 q1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列， 公比为 qn bmbn qm n. 类比推理在几何中的应用 如图所示，在四面体 SABC 中，SASB，SB SC，SASC，且 SA、SB、SC 与底面 ABC 所成的角分别为 1、 2
19、、3，三个侧面 SBC、SAC、SAB 的面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想 解题提示 与DEF 相对应的是四面体 SABC， 与三角形 三条边长相对应的是四面体三个侧面的面积，与三角形三个角 相对应的是四面体的三条侧棱与底面所成的三个角根据平面 几何中三角形的正弦定理，用类比的方法，推广到四面体中 解析 在DEF 中，由正弦定理得 d sin D e sin E f sin F . 类比平面几何中三角形的正弦定理，在四面体 SABC 中， 可以猜想： S1 sin1 S2 sin2 S3 sin3. 方法总结 常见的类比有： 三角形四面体；圆球；
20、点线；正方形正方体； 直线平面；长方形长方体； 平面角二面角；面积体积； 平行四边形平行六面体； 角平分线二面角的平分面 在ABC中，若C90，则cos2A cos2B1，用类比推理的方法，猜想三棱锥 的类似性质 解析 将平面图形(如图)类比到空间图形 (如图)中，有： 在三棱锥PABC中，三个侧面PAB、 PBC、PCA两两垂直，与底面所成的角分别 为、，则有cos2cos2cos21. 在平面中，正三角形ABC的内切圆 和外接圆的半径之比为1:2.由此类比到空间的 结论是_ 误解 正四面体内切球半径和外接球的半 径之比为1:2. 辨析 由平面到空间，简单地理解成由圆的半径到球的半径，没 有注意到数值的变化如图所示，在正四面体 ABCD 中，A 在 平面 BCD 内的射影为 M， 显然内切球与外接球球心相同， 设为 O，设正四面体棱长为 a，内切球半径为 r，外接球半径为 R.由 题意知 MD 3 3 a，ADa，所以 AM 为 6 3 a，在 RtOMD 中， OM2MD2OD2，所以( 6 3 aR)2( 3 3 a)2R2，解得 R 6 4 a， 所以 rOM 6 3 a 6 4 a 6a 12 ，所以 r:R1:3. 正解 正四面体内切球半径和外接球的半径之比为 1:3. 合情推理 归纳推理了解 定义 一般步骤 类比推理了解 定义 一般步骤
