1、推理与证明推理与证明 第二章第二章 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 第第1课时课时 综合法与分析法综合法与分析法 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶 杀案， 时间大约是下午 4 时左右 警方经过三天的深入调查后， 终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方作出不在现 场证明时，他说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游 玩，直至下午 4 时左右，我到芦之湖划船当时适值雨后天晴， 我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以
2、凶手是别人，不是我！”你知道嫌犯的话露出了什么破绽吗？ 警方是怎样证明他在说谎的呢？ 设 、(0， 2)，且 tan 1 2，tan 1 5，tan 1 8，求证 4. 答案：因为 、(0， 2)，且 tan 1 21,0 1 ex0， 即f(x)0， f(x)在(0，)上是增函数 他使用的证明方法是( ) A综合法 B分析法 C反证法 D以上都不是 答案 A 解析 该证明方法符合综合法的定义，应选 A. 二 分析法 1定义 分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充 分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 2分析法的推证过程 用 P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q
3、 表示 所需证明的结论，则分析法的推证过程可表示为： QP1P1P2P2P3P 3分析法的特点 “执果索因”，即从未知看需知，逐步向已知靠扰其优 点为方向较为明确，便于寻找解题思路 4分析法的证明格式 要证只需证只需证只需证 因为成立，所以成立 5综合法与分析法的比较 综合法 分析法 定 义 从已知条件出发， 经过逐步的推理， 最后达到待证结 论的方法 从待证的结论出发，一 步一步寻求结论成立的 充分条件，最后达到题 设的已知条件或已被证 明的事实 证 明 步 骤 P1(已知 )P1P2 P3P(结论) B(结论)B1B2BnA 优 点 条理清晰，易于 表达 容易探路，且探路与表 述合一 缺
4、点 探路艰难，易生 枝节 表述烦琐，容易出错 若 P a a7，Q a3 a4(a0)，则 P、Q 的 大小关系是( ) APQ BPQ CPc ac. 加法性质： ab cR acbc. ab cd acbd. 乘法性质： ab c0 acbc. ab0 cd0 acbd. ab0 nN anbn. 开方性质： ab0 nN nanb. 已知 a、b、c 是正数，且 abc1， 求证：(1 a1)( 1 b1)( 1 c1)8. 证明 因为 a、b、cR ，且 abc1， 所以1 a1 abc a 1b a c a2 bc a ， 1 b1 abc b 1a b c b2 ac b ， 1
5、c1 abc c 1a c b c2 ab c . 所以(1 a1)( 1 b1)( 1 c1) 8 bc a ac b ab c 8， 故(1 a1)( 1 b1)( 1 c1)8(当且仅当 abc 时取等号) 四 综合法和分析法的综合应用 分析法和综合法是对立统一的两种方法一 个命题用何种方法证明，要能针对具体问题 进行分析，灵活地运用各种证法当不知从 何入手时，有时可以运用分析法而获得解 决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目 往往更是行之有效的方法一般来说，对于 较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入 手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通 常用分析法探索证题途径，然后用综合法加 以证
6、明，或者在证题过程中综合法与分析法 并用，所以分析法和综合法经常是结合在一 起使用的 这种边分析边综合的证明方法，称为分析综 合法，或称“两头挤法”分析综合法充分 表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、 互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综 合的起点，综合的终点又成为进一步分析的 起点 已知 a、b、c 表示ABC 的三边长，m0，求证： a am b bm c cm. 证明 要证明 a am b bm c cm， 只需证明 a am b bm c cm0 即可， 所以 a am b bm c cm abmcmbamcmcambm ambmcm . 因为 a0，b0，c0，m0， 所以(am
7、)(bm)(cm)0. 因为 a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm) abcabmacmam2abcabmbcmbm2abc bcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc (abc)m2. 因为ABC 中任意两边之和大于第三边， 所以 abc0， 所以(abc)m20， 所以 2abmabc(abc)m20， 所以 a am b bm c cm. 课堂典例探究课堂典例探究 综合法及其应用 已知 a，b，c 是互不相等的正数，且 abc1， 求证 a b c0， 25 310， 所以要证 5 12 35 12 3 25 31. 只要证(5 12 35 12 3
8、)2 ( 25 31)2， 左边 5 12 3 5 12 3 25 12 35 12 3 2 52 42 32( 5 31)右边， 所以原等式成立 方法总结 在用分析法的证明中，从结论出发的每一个 步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归纳到 已经被证明了的事实，因此从最后一步可以倒推回去，得到结 论 设a、bR，且ab.求证：a3b3a2b ab2. 证明 要证 a3b3a2bab2成立， 只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立， 又因 ab0，只需证 a2abb2ab 成立， 只需证 a22abb20 成立， 即需证(ab)20 成立 而依题设 ab，则(ab)20 显然
9、成立由此命题得证. 综合法与分析法的综合应用 已知 a、 b、 c 是不全相等的正数， 且 00，bc 2 bc0，ac 2 ac0. a，b，c 不全相等，上面三式相乘，得ab 2 bc 2 ac 2 a2b2c2abc，即ab 2 bc 2 ac 2 abc 成立， logxab 2 logxbc 2 logxac 2 0，b0 且 ab1. 求证：(a1 a)(b 1 b) 25 4 . 证明 欲证(a1 a)(b 1 b) 25 4 . 因为(a1 a)(b 1 b) a21 a b21 b a 2b2a2b21 ab ， 所以只需证明 4(ab)24(a2b2)25ab40， 即证明
10、 4(ab)24(ab)22ab25ab40， 即 4(ab)233ab80， 即证 ab1 4或 ab8. 因为 a0，b0，ab1， 所以 ab8 不可能成立， 而 1ab2 ab，所以 ab1 4. 所以原不等式成立. 是否存在实数 m，使不等式|xm|1 在(1 3， 1 2)上 恒成立？若存在， 求出所有的 m 的值； 若不存在， 请说明理由 误解 |xm|11xm1m1xm11 3x 1 2， 所以 m11 3， m11 2， 此方程组无解 故符合题意的 m 值不存在 辨析 1 3x 1 2是不等式|xm|1 成立的充要条件，上述解 法中，错把它当成充要条件了 正解 |xm|11xm1m1xm11 3x 1 2， 得 m11 3， m11 2， 解得1 2m 4 3， 故当1 2m 4 3时，不等式|xm|1 在( 1 3， 1 2)上恒成立. 直接证明 综合法了解 定义 基本思路 推证过程 分析法了解 定义 基本思路 推证过程
