1、统计案例统计案例 第一章第一章 居民收入和消费支出都是变量，但是收入变 动与由此引起的居民收入和消费支出都是变 量但是收入变动与由此引起的消费支出变 动之间的比例关系比较稳定，但这种比例关 系的形式会随时期不同或地域不同而不同 对此我们有什么办法能够给予预测呢？人均 居民的消费又与人均国内生产总值有什么关 系呢？通过本章的学习能解决这个问题吗？ 1.1 独立性检验独立性检验 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 饮用水的质量是人类普遍关心的问题据统计，饮用优质 水的 518 人中，身体状况优秀的有 466
2、 人，饮用一般水的 312 人中，身体状况优秀的有 218 人，人的身体健康状况与饮用水 的质量之间有关系吗？ 1.互斥事件： _. 2对立事件： _. 3互斥事件的概率加法公式： P(A1A2An) _.(其中A1、 A2、An两两互斥) 答案：1.不可能同时发生的两个事件 2不能同时发生且必有一个发生的两个事件 3P(A1)P(A2)P(An) 一 事件相互独立的含义 一般地，对于两个事件 A、B，如果有 P(AB)P(A) P(B)， 就称事件 A 与 B 相互独立，简称 A 与 B 独立 (1)当事件 A 与 B 独立时，事件A与 B，A 与B，A与B也 独立 (2)依据定义容易验证必
3、然事件、不可能事件与任何事件是 相互独立的因为必然事件与不可能事件的发生与否，不受其 他任何事件的影响，也不影响其他事件是否发生 (3)从直观上可以认为不论事件A发生还是不发生都对事件 B 发生的概率没有影响，即事件 A 与事件 B 没有关系 (4)尽管独立性的定义用 P(AB)P(A) P(B)来刻画，但实际 应用时往往是从事件的实际意义出发来判断是否相互独立 (5)定义的推广：如果 P(A1A2An)P(A1) P(A2) P(An)， 则称事件 A1，A2，An相互独立 注意：“互斥”与“相互独立”的区别与联 系 相同点 不同点 都描述两个 事件间的关系 “互斥”强调不可能同时发生，“相
4、互独 立”强调一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响 “互斥”的两个事件可以“独立”，“独 立”的两个事件也可以“互斥” 某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6， 则三次中至少有一次射中的概率为( ) A0.216 B0.064 C0.936 D0.036 答案 C 解析 可以考虑利用对立事件的概率以及相 互独立事件的关系来求 P10.40.40.40.936. 二 独立性检验的含义 122 列联表 一般地，假设有两个变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为 A，A和 B，B，其样本频数列表如下： B B 合计 A n11 n12 n1 A n21 n22 n2 合计 n1 n2
5、n 表中：n1n11n21，n2n12n22，n1n11n12，n2 n21n22，nn11n12n21n22. 其中 n11、n12、n21、n22分别表示 X 与 Y 同时取 A 与 B，A 与B，A与 B 及A与B时的频数，n1，n2分别是变量 X 取 A、 A时的频数，n1、n2分别是变量 Y 取 B、B时的频数，上述 表称为 22 列联表 根据22列联表，以下各式： n1n11n21；n2n12n22；n1 n11n21； n2n12n22；nn1n2n1n2 . 其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 答案 B 解析 n1n11n21，n2n12n22， n1n11n1
6、2，n2n21n22，nn11n21 n12n22. 正确，故选B. 2统计假设 H0 假设 22 列联表的事件 A 与 B 无关时，即 A 与 B 独立， 应该有 P(AB)P(A) P(B)，用字母 H0表示，即 H0：P(AB) P(A)P(B)，上述假设称为统计假设，当 H0成立时，下面三个式 子也都成立 P( A B)P( A )P(B)，P(A B )P(A)P( B )，P( A B ) P(A)P(B. 3统计量 2 由概率的统计定义得出一个非常有用的统计量 2 nn11n22n12n212 n1n2n1n2 ，从统计学的角度可用 2的大小判断 A，B 是 否独立当 2非常小时
7、，可以认为 A、B 相互独立，而 2较大 时，则不能认为 A、B 相互独立，即 2的大小决定是否拒绝原 来的统计假设 H0，如果计算出的 2值较大，就拒绝 H0，也就 是拒绝“事件 A 与 B 无关”，从而就认为它们是有关的 42的两个临界值 经过对 2统计量的研究， 已经得到 2的两上临界值： 3.841 与 6.635.当根据具体的数据计算出的 23.841 时，有 95%的把 握说事件 A 与 B 有关；当 26.635 时，有 99%的把握说事件 A 与 B 有关；当 23.841 时，没有理由说明它们有关 注意：(1)作独立性检验时，要求 22 列联表中的 4 个数 据都要大于等于
8、5. (2)在统计假设 H0：P(AB)P(A)P(B)成立时，是用事件的 频率近似代替相应的概率，因而 2的结果也受到样本特征的影 响，具有随机性 经过对2统计量分布的研究，得到了两个临 界值，3.841与6.635，当23.841时，认为 事件A与事件B( ) A有95%的把握有关 B有99%的把握有 关 C没有理由说它们有关 D不确定 答案 C 解析 当根据具体的数据算出的23.841 时，认为事件A与事件B是无关的，故选C. 三 事件独立性的判断方法 1直接法：直接从事件的实际意义出发，判 断两事件是否独立 2定义法：对于两个事件A，B，若有P(AB) P(A)P(B)，则事件A与B相
9、互独立，通过 公式可以求相互独立事件的概率 甲、 乙两人分别对一目标进行一次射击， 记“甲射击一次， 击中目标”为事件 A，“乙射击一次，击中目标”为事件 B， 则在 A 与 B， A与 B， A 与B， A与B中， 满足相互独立的有( ) A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 答案 D 解析 由于 A 与 B 是两个相互独立事件，所以根据独立 事件的性质知 A 与B，A与 B，A与B也是独立事件 课堂典例探究课堂典例探究 某防疫站对屠宰场及肉食零售点的 猪肉检查沙门氏菌带菌情况，结果如下表，试 检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异 计算2的值 带菌头 数 不带菌 头数 合 计 屠宰 场 8
10、 32 40 零售 点 14 18 32 合计 22 50 72 解题提示 将数据代入2计算公式与临界值 进行比较，判断独立性 解析 2728181432 2 40325022 4.726. 因为 4.7263.841，所以我们有 95%的把握说，屠宰场与零 售点猪肉带菌率有差异 方法总结 在 22 列联表的独立性检验中，通过计算统 计量 2的大小，可判断独立性是否成立 下面22列联表的2的值为_. B B 合计 A 39 157 196 A 29 167 196 合计 68 324 392 答案 1.780 解析 上表中 n1139，n12157，n2129，n22167. nn11n21n
11、12n22392， n1n11n2168，n2n12n22324， n1n11n12196，n2n21n22196. 2nn 11n22n12n21 2 n1 n2 n1 n2 3923916715729 2 19619668324 1.780. 独立性的检验 为了了解衡阳市创建文明城市过程 中，学生对创建工作的满意情况，相关部门对 中学100名学生进行调查，得到如下的统计表： 满 意 不满 意 合 计 男 生 50 女 生 15 合 计 100 已知在全部 100 名学生中随机抽取 1 人，他对创建工作表 示满意的概率为4 5. (1)利用概率估计上表中的空白处相应的数据 (2)是否有充足的
12、证据说明学生对创建工作的满意情况与 性别有关？ 解题提示 (1)由对创建工作满意的概率为4 5填充统计表； (2)求出 2与两个临界值比较 解析 (1)填表如下： 满 意 不满 意 合 计 男 生 50 5 55 女 生 30 15 45 合 计 80 20 100 (2)2 nn11n22n12n212 n1n2n1n2 10050153052 80205545 9.0916.635，所以有 99%的把握认为学生对创造工作的满意 情况与性别有关 方法总结 进行独立性检验时，要先列出 22 列联表， 再求出 2的值与两个临界值比较得出结论 巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪 的官员与廉洁官
13、员之寿命的调查资料：580 名贪官中有348人的寿命小于平均寿命、152 人的寿命大于或等于平均寿命；580名廉洁 官中有93人的寿命小于平均寿命、487人的 寿命大于或等于平均寿命这里，平均寿命 是指“当地人均寿命”试分析官员在经济 上是否清白与他们寿命的长短之间是否独立？ 解析 列 22 列联表 短寿 长寿 合计 贪官 348 152 500 清官 93 497 590 合计 441 649 1 090 由公式得：21 09034849715293 2 500590441649 325.635. 325.6356.635. 我们有 99%的把握可以认为在经济上不清白的人易过早 死亡. 相互
14、独立的检验 从一副 52 张扑克牌(不含大小王)中，任意抽一 张出来，设事件 A：“抽到黑桃”，B：“抽到皇后 Q”，试用 P(AB)P(A) P(B)验证事件 A 与 B 及A与B是否独立？ 解题提示 独立性的检验应利用相互独立的定义，对于 事件 A 和事件 B，若 P(AB)P(A) P(B)，则事件 A 与 B 相互独 立，先求基本事件空间 中基本事件总数，求出 AB 中的基本 事件数和 A 与 B 中基本事件数，从而检验相互独立与否 解析 由题意知：P(A)13 52，P(B) 4 52， 又因为事件 AB 为抽到黑桃 Q，所以 P(AB) 1 52. 1 52 13 52 4 52，
15、P(AB)P(A) P(B)， 因此 A 与 B 相互独立 同理：P(A)113 52 3 4，P(B)1 4 52 12 13， P(A B)36 52 9 13，所以 P(A B)P(A) P(B)， 因此A与B相互独立 方法总结 事件 A 与 B 相互独立的检验，应充分利用相 互独立的性质，验证 P(AB)与 P(A) P(B)是否相等，若相等，则 相互独立；若不相等，则不相互独立解决这类问题，关键在 于准确求出基本事件空间中的基本事件总数，确定事件 A 与 B 的概率 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9，A 发生 B 不 发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，
16、则事件 A 发生的概 率 P(A)是( ) A.2 9 B. 1 18 C.1 3 D.2 3 答案 D 解析 A、B 是相互独立事件， P(A B)P(A) P(B)(1P(A)(1P(B)1 9 P(AB)P(BA)， 即 P(A)(1P(B)P(B)(1P(A) 由得 P(A)P(B)，代入得(1P(A)21 9， 1P(A)1 3，P(A) 2 3. 独立性检验思想的应用 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工 人300名，25周岁以下工人200名为研究工人 的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层 抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计 了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年 龄
17、在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以 下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件 数分成5组：50,60)，60,70)，70,80)， 80,90)，90,100分别加以统计，得到如图所 示的频率分布直方图 (1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”， 请你根据已知条件完成 22 列联表， 并判断是否有 90%的把握 认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：2nn 11n22n12n21 2 n1n2n1n2 P(2k) 0.100 0.050 0.010
18、 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解题提示 (1)利用列举法列出基本事件， 结合古典概型求解；(2)根据已知条件列出 22列联表，利用独立性检验公式计算求解. 解析 (1)由已知得， 样本中有 25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人 40 名 所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周 岁以上组工人有 600.053(人)，记为 A1，A2，A3；25 周岁以 下组工人有 400.052(人)，记为 B1，B2. 从中随机抽取 2 名工人， 所有的可能结果共有 10 种， 它们 是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)
19、，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2， B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2) 其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结构共有 7 种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3， B1)，(A3，B2)，(B1，B2)故所求的概率 P 7 10. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能手 600.2515(人)，“25 周岁以下 组”中的生产能手 400.37515(人)，据此可得 22 列联表 如下： 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 K2 nadbc2 abcdacbd 10015251545 2 60403070 25 141.79. 因为 1.796.635. 因此有 99%的把握认为“植入该病毒与感冒有关系”. 独 立 性 检 验 相互独立事件PABPAPB 独立性 检验 抽取 样本 提出 假设 2的 含义及 计算 23.841时，有95%的把握说 事件A与B有关 26.635时，有99%的把握说 事件A与B有关 23.841时，认为事件A与B 是无关的
