人教版B版选修1-2数学课件:1.1 独立性检验.ppt

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1、统计案例统计案例 第一章第一章 居民收入和消费支出都是变量,但是收入变 动与由此引起的居民收入和消费支出都是变 量但是收入变动与由此引起的消费支出变 动之间的比例关系比较稳定,但这种比例关 系的形式会随时期不同或地域不同而不同 对此我们有什么办法能够给予预测呢?人均 居民的消费又与人均国内生产总值有什么关 系呢?通过本章的学习能解决这个问题吗? 1.1 独立性检验独立性检验 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 饮用水的质量是人类普遍关心的问题据统计,饮用优质 水的 518 人中,身体状况优秀的有 466

2、 人,饮用一般水的 312 人中,身体状况优秀的有 218 人,人的身体健康状况与饮用水 的质量之间有关系吗? 1.互斥事件: _. 2对立事件: _. 3互斥事件的概率加法公式: P(A1A2An) _.(其中A1、 A2、An两两互斥) 答案:1.不可能同时发生的两个事件 2不能同时发生且必有一个发生的两个事件 3P(A1)P(A2)P(An) 一 事件相互独立的含义 一般地,对于两个事件 A、B,如果有 P(AB)P(A) P(B), 就称事件 A 与 B 相互独立,简称 A 与 B 独立 (1)当事件 A 与 B 独立时,事件A与 B,A 与B,A与B也 独立 (2)依据定义容易验证必

3、然事件、不可能事件与任何事件是 相互独立的因为必然事件与不可能事件的发生与否,不受其 他任何事件的影响,也不影响其他事件是否发生 (3)从直观上可以认为不论事件A发生还是不发生都对事件 B 发生的概率没有影响,即事件 A 与事件 B 没有关系 (4)尽管独立性的定义用 P(AB)P(A) P(B)来刻画,但实际 应用时往往是从事件的实际意义出发来判断是否相互独立 (5)定义的推广:如果 P(A1A2An)P(A1) P(A2) P(An), 则称事件 A1,A2,An相互独立 注意:“互斥”与“相互独立”的区别与联 系 相同点 不同点 都描述两个 事件间的关系 “互斥”强调不可能同时发生,“相

4、互独 立”强调一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响 “互斥”的两个事件可以“独立”,“独 立”的两个事件也可以“互斥” 某人独立射击三次,每次射中的概率为0.6, 则三次中至少有一次射中的概率为( ) A0.216 B0.064 C0.936 D0.036 答案 C 解析 可以考虑利用对立事件的概率以及相 互独立事件的关系来求 P10.40.40.40.936. 二 独立性检验的含义 122 列联表 一般地,假设有两个变量 X 和 Y,它们的可能取值分别为 A,A和 B,B,其样本频数列表如下: B B 合计 A n11 n12 n1 A n21 n22 n2 合计 n1 n2

5、n 表中:n1n11n21,n2n12n22,n1n11n12,n2 n21n22,nn11n12n21n22. 其中 n11、n12、n21、n22分别表示 X 与 Y 同时取 A 与 B,A 与B,A与 B 及A与B时的频数,n1,n2分别是变量 X 取 A、 A时的频数,n1、n2分别是变量 Y 取 B、B时的频数,上述 表称为 22 列联表 根据22列联表,以下各式: n1n11n21;n2n12n22;n1 n11n21; n2n12n22;nn1n2n1n2 . 其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 答案 B 解析 n1n11n21,n2n12n22, n1n11n1

6、2,n2n21n22,nn11n21 n12n22. 正确,故选B. 2统计假设 H0 假设 22 列联表的事件 A 与 B 无关时,即 A 与 B 独立, 应该有 P(AB)P(A) P(B),用字母 H0表示,即 H0:P(AB) P(A)P(B),上述假设称为统计假设,当 H0成立时,下面三个式 子也都成立 P( A B)P( A )P(B),P(A B )P(A)P( B ),P( A B ) P(A)P(B. 3统计量 2 由概率的统计定义得出一个非常有用的统计量 2 nn11n22n12n212 n1n2n1n2 ,从统计学的角度可用 2的大小判断 A,B 是 否独立当 2非常小时

7、,可以认为 A、B 相互独立,而 2较大 时,则不能认为 A、B 相互独立,即 2的大小决定是否拒绝原 来的统计假设 H0,如果计算出的 2值较大,就拒绝 H0,也就 是拒绝“事件 A 与 B 无关”,从而就认为它们是有关的 42的两个临界值 经过对 2统计量的研究, 已经得到 2的两上临界值: 3.841 与 6.635.当根据具体的数据计算出的 23.841 时,有 95%的把 握说事件 A 与 B 有关;当 26.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关;当 23.841 时,没有理由说明它们有关 注意:(1)作独立性检验时,要求 22 列联表中的 4 个数 据都要大于等于

8、5. (2)在统计假设 H0:P(AB)P(A)P(B)成立时,是用事件的 频率近似代替相应的概率,因而 2的结果也受到样本特征的影 响,具有随机性 经过对2统计量分布的研究,得到了两个临 界值,3.841与6.635,当23.841时,认为 事件A与事件B( ) A有95%的把握有关 B有99%的把握有 关 C没有理由说它们有关 D不确定 答案 C 解析 当根据具体的数据算出的23.841 时,认为事件A与事件B是无关的,故选C. 三 事件独立性的判断方法 1直接法:直接从事件的实际意义出发,判 断两事件是否独立 2定义法:对于两个事件A,B,若有P(AB) P(A)P(B),则事件A与B相

9、互独立,通过 公式可以求相互独立事件的概率 甲、 乙两人分别对一目标进行一次射击, 记“甲射击一次, 击中目标”为事件 A,“乙射击一次,击中目标”为事件 B, 则在 A 与 B, A与 B, A 与B, A与B中, 满足相互独立的有( ) A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 答案 D 解析 由于 A 与 B 是两个相互独立事件,所以根据独立 事件的性质知 A 与B,A与 B,A与B也是独立事件 课堂典例探究课堂典例探究 某防疫站对屠宰场及肉食零售点的 猪肉检查沙门氏菌带菌情况,结果如下表,试 检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异 计算2的值 带菌头 数 不带菌 头数 合 计 屠宰 场 8

10、 32 40 零售 点 14 18 32 合计 22 50 72 解题提示 将数据代入2计算公式与临界值 进行比较,判断独立性 解析 2728181432 2 40325022 4.726. 因为 4.7263.841,所以我们有 95%的把握说,屠宰场与零 售点猪肉带菌率有差异 方法总结 在 22 列联表的独立性检验中,通过计算统 计量 2的大小,可判断独立性是否成立 下面22列联表的2的值为_. B B 合计 A 39 157 196 A 29 167 196 合计 68 324 392 答案 1.780 解析 上表中 n1139,n12157,n2129,n22167. nn11n21n

11、12n22392, n1n11n2168,n2n12n22324, n1n11n12196,n2n21n22196. 2nn 11n22n12n21 2 n1 n2 n1 n2 3923916715729 2 19619668324 1.780. 独立性的检验 为了了解衡阳市创建文明城市过程 中,学生对创建工作的满意情况,相关部门对 中学100名学生进行调查,得到如下的统计表: 满 意 不满 意 合 计 男 生 50 女 生 15 合 计 100 已知在全部 100 名学生中随机抽取 1 人,他对创建工作表 示满意的概率为4 5. (1)利用概率估计上表中的空白处相应的数据 (2)是否有充足的

12、证据说明学生对创建工作的满意情况与 性别有关? 解题提示 (1)由对创建工作满意的概率为4 5填充统计表; (2)求出 2与两个临界值比较 解析 (1)填表如下: 满 意 不满 意 合 计 男 生 50 5 55 女 生 30 15 45 合 计 80 20 100 (2)2 nn11n22n12n212 n1n2n1n2 10050153052 80205545 9.0916.635,所以有 99%的把握认为学生对创造工作的满意 情况与性别有关 方法总结 进行独立性检验时,要先列出 22 列联表, 再求出 2的值与两个临界值比较得出结论 巴西医生马廷思收集犯有各种贪污、受贿罪 的官员与廉洁官

13、员之寿命的调查资料:580 名贪官中有348人的寿命小于平均寿命、152 人的寿命大于或等于平均寿命;580名廉洁 官中有93人的寿命小于平均寿命、487人的 寿命大于或等于平均寿命这里,平均寿命 是指“当地人均寿命”试分析官员在经济 上是否清白与他们寿命的长短之间是否独立? 解析 列 22 列联表 短寿 长寿 合计 贪官 348 152 500 清官 93 497 590 合计 441 649 1 090 由公式得:21 09034849715293 2 500590441649 325.635. 325.6356.635. 我们有 99%的把握可以认为在经济上不清白的人易过早 死亡. 相互

14、独立的检验 从一副 52 张扑克牌(不含大小王)中,任意抽一 张出来,设事件 A:“抽到黑桃”,B:“抽到皇后 Q”,试用 P(AB)P(A) P(B)验证事件 A 与 B 及A与B是否独立? 解题提示 独立性的检验应利用相互独立的定义,对于 事件 A 和事件 B,若 P(AB)P(A) P(B),则事件 A 与 B 相互独 立,先求基本事件空间 中基本事件总数,求出 AB 中的基本 事件数和 A 与 B 中基本事件数,从而检验相互独立与否 解析 由题意知:P(A)13 52,P(B) 4 52, 又因为事件 AB 为抽到黑桃 Q,所以 P(AB) 1 52. 1 52 13 52 4 52,

15、P(AB)P(A) P(B), 因此 A 与 B 相互独立 同理:P(A)113 52 3 4,P(B)1 4 52 12 13, P(A B)36 52 9 13,所以 P(A B)P(A) P(B), 因此A与B相互独立 方法总结 事件 A 与 B 相互独立的检验,应充分利用相 互独立的性质,验证 P(AB)与 P(A) P(B)是否相等,若相等,则 相互独立;若不相等,则不相互独立解决这类问题,关键在 于准确求出基本事件空间中的基本事件总数,确定事件 A 与 B 的概率 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9,A 发生 B 不 发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,

16、则事件 A 发生的概 率 P(A)是( ) A.2 9 B. 1 18 C.1 3 D.2 3 答案 D 解析 A、B 是相互独立事件, P(A B)P(A) P(B)(1P(A)(1P(B)1 9 P(AB)P(BA), 即 P(A)(1P(B)P(B)(1P(A) 由得 P(A)P(B),代入得(1P(A)21 9, 1P(A)1 3,P(A) 2 3. 独立性检验思想的应用 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工 人300名,25周岁以下工人200名为研究工人 的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层 抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计 了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年 龄

17、在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以 下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件 数分成5组:50,60),60,70),70,80), 80,90),90,100分别加以统计,得到如图所 示的频率分布直方图 (1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件完成 22 列联表, 并判断是否有 90%的把握 认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 附:2nn 11n22n12n21 2 n1n2n1n2 P(2k) 0.100 0.050 0.010

18、 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解题提示 (1)利用列举法列出基本事件, 结合古典概型求解;(2)根据已知条件列出 22列联表,利用独立性检验公式计算求解. 解析 (1)由已知得, 样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周 岁以上组工人有 600.053(人),记为 A1,A2,A3;25 周岁以 下组工人有 400.052(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人, 所有的可能结果共有 10 种, 它们 是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)

19、,(A1,B1),(A1,B2),(A2, B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2) 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结构共有 7 种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3, B1),(A3,B2),(B1,B2)故所求的概率 P 7 10. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 600.2515(人),“25 周岁以下 组”中的生产能手 400.37515(人),据此可得 22 列联表 如下: 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 K2 nadbc2 abcdacbd 10015251545 2 60403070 25 141.79. 因为 1.796.635. 因此有 99%的把握认为“植入该病毒与感冒有关系”. 独 立 性 检 验 相互独立事件PABPAPB 独立性 检验 抽取 样本 提出 假设 2的 含义及 计算 23.841时,有95%的把握说 事件A与B有关 26.635时,有99%的把握说 事件A与B有关 23.841时,认为事件A与B 是无关的

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